KOSMOSĀ ESOŠIE VEKTORI: KĀ GRAFIKS, LIETOJUMPROGRAMMAS, VINGRINĀJUMI - FIZISKĀ - 2025

Vektors telpā ir viss, kas pārstāv koordinātu sistēmā, ko X, Y un Z. Lielāko daļu laika xy plakne ir horizontālās virsmas plakne, un z ass apzīmē augstumu (vai dziļumu).

Dekarta centra koordinātu asis, kas parādītas 1. attēlā, sadala telpu 8 reģionos, ko sauc par oktantiem, līdzīgi kā x - y asis sadala plakni 4 kvadrantos. Pēc tam mums būs 1. oktants, 2. oktants utt.

1. attēls. Vektors telpā. Avots: pašu gatavots.

1. attēlā ir parādīts vektors v kosmosā. Lai ekrāna plaknē izveidotu trīs dimensiju ilūziju, ir nepieciešama zināma perspektīva, ko panāk, uzzīmējot slīpu skatu.

Lai diagrammētu 3D vektoru, jums jāizmanto punktētās līnijas, kas uz režģa nosaka v projekcijas vai "ēnas" koordinātas uz xy virsmas. Šī projekcija sākas pie O un beidzas ar zaļo punktu.

Kad esat tur nokļuvis, jums jāturpina pa vertikāli līdz vajadzīgajam augstumam (vai dziļumam) atbilstoši z vērtībai, līdz sasniedzat P. Vektors tiek uzzīmēts, sākot no O un beidzot ar punktu P, kas piemērā ir 1. oktāns.

Lietojumprogrammas

Kosmosa vektorus plaši izmanto mehānikā un citās fizikas un inženierzinātņu nozarēs, jo konstrukcijām, kas mūs ieskauj, nepieciešama ģeometrija trīs dimensijās.

Vietas vektorus telpā izmanto, lai pozicionētu objektus attiecībā pret atskaites punktu, ko sauc par VAI sākumu, tāpēc tie arī ir nepieciešami navigācijas instrumenti, taču tas vēl nav viss.

Spēki, kas iedarbojas uz tādām konstrukcijām kā bultskrūves, stiprinājumi, kabeļi, statņi un citas, ir vektora rakstura un orientēti telpā. Lai uzzinātu tā iedarbību, ir jāzina tā adrese (un arī piemērošanas vieta).

Bieži vien spēka virzienu zina, zinot divus kosmosa punktus, kas pieder pie tā darbības līnijas. Tādā veidā spēks ir:

F = F u

Kur F ir lielums vai lielums no spēka un u ir vienība vektors (modulis 1) virzīta gar līniju darbības F .

Apzīmējumi un 3D vektoru attēlojumi

Pirms turpināt risināt dažus piemērus, mēs īsumā apskatīsim 3D vektora notāciju.

1. attēla piemērā vektoram v, kura sākuma punkts sakrīt ar sākumu O un kura gals ir punkts P, ir pozitīvas xyz koordinātas, bet y koordinātei ir negatīva. Šīs koordinātas ir: x ₁ , y ₁ , z ₁ , kas precīzi norāda P koordinātas.

Tātad, ja mums ir ar izcelsmi saistīts vektors, tas ir, kura sākuma punkts sakrīt ar O, ir ļoti viegli norādīt tā koordinātas, kas būs galējā punkta vai P. koordinātas. Lai atšķirtu punktu un vektoru, mēs izmantosim, lai pēdējie treknie burti un iekavas, piemēram:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Kamēr punktu P apzīmē ar iekavām:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

Citā attēlojumā izmantoti vienības vektori i , j un k, kas attiecīgi definē trīs telpas virzienus uz x, y un z asīm.

Šie vektori ir perpendikulāri viens otram un veido ortonormālu bāzi (sk. 2. attēlu). Tas nozīmē, ka 3D vektoru var uzrakstīt šādi:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Lektora leņķi un režisora ​​kosinusi

2. attēlā parādīti arī režisora ​​leņķi γ ₁ , γ ₂ un γ ₃ , ko vektors v veido attiecīgi ar x, y un z asīm. Zinot šos leņķus un vektora lielumu, tas ir pilnībā noteikts. Turklāt režisora ​​leņķu kosinusi atbilst šādām attiecībām:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

2. attēls. Vienības vektori i, j un k nosaka 3 telpas preferenciālos virzienus. Avots: pašu gatavots.

Atrisināti vingrinājumi

-Uzdevums 1

2. attēlā leņķi γ ₁ , γ ₂ un γ ₃ , ko veido moduļa 50 vektors v ar koordinātu asīm, ir attiecīgi 75,0 °, 60,0 ° un 34,3 °. Atrodiet šī vektora Dekarta komponenti un attēlojiet to vienību vektoru i , j un k izteiksmē .

Risinājums

Vektora v projekcija uz x asi ir v _x = 50. cos 75º = 12,941. Tādā pašā veidā v projekcija uz y ass ir v _y = 50 cos 60 º = 25 un, visbeidzot, uz z ass ir v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Tagad v var izteikt šādi:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

- 2. vingrinājums

Atrodiet spriegumus katrā no kabeļiem, kas tur spaini attēlā, kas atrodas līdzsvarā, ja tā svars ir 30 N.

3. attēls. Stresa shēma 2. vingrinājumam.

Risinājums

Uz kausa brīvā ķermeņa diagramma norāda, ka T _D (zaļš) atsver svaru W (dzeltens), tāpēc T _D = W = 30 N.

Mezglā vektors T _D ir vērsts vertikāli uz leju, tad:

T _D = 30 (- k ) N.

Lai noteiktu atlikušos spriegumus, rīkojieties šādi:

1. solis: atrodiet visu punktu koordinātas

A = (4.5,0,3) (A atrodas sienas plaknē xz)

B = (1,5,0,0) (B atrodas uz x ass)

C = (0, 2,5, 3) (C atrodas sienas plaknē un z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D atrodas uz horizontālās xy plaknes)

2. solis: Atrodiet vektorus katrā virzienā, atņemot beigu un sākuma koordinātas

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; viens; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

3. solis: aprēķiniet moduļus un vienības vektorus

Vienības vektoru iegūst ar izteiksmi: u = r / r, kur r (treknrakstā) ir vektors un r (nav treknrakstā) kā minētā vektora modulis.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; viens; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -viens; 0>

u _D = <0; 0; -1>

4. solis: izteikt visus spriegumus kā vektorus

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -viens; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

5. solis: piemērojiet statiskā līdzsvara nosacījumu un atrisiniet vienādojumu sistēmu

Visbeidzot, spainim piemēro statiskās līdzsvara stāvokli tā, lai visu uz mezglu esošo spēku vektora summa būtu nulle:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Tā kā spriegumi atrodas telpā, tas radīs trīs vienādojumu sistēmu katrai spriegumu sastāvdaļai (x, y un z).

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Risinājums ir: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Atsauces

1. Bedfords, 2000. A. Inženierzinātņu mehānika: Statika. Adisons Veslijs. 38-52.
2. Figueroa, D. Sērija: Fizika zinātnēm un inženierzinātnēm. 1. sējums. Kinemātika 31–68.
3. Fiziskā. 8. modulis: Vektori. Atgūts no: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mehānika inženieriem. Statiskā 6. izdevums. Kontinentālās izdevniecības uzņēmums. 15-53.
5. Vektoru pievienošanas kalkulators. Atgūts no: 1728.org