HIPERBOLISKAIS PARABOLOĪDS: DEFINĪCIJA, ĪPAŠĪBAS UN PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Hiperbolisks paraboloīds ir virsma, kuru vispārīgo vienādojumu Dekarta koordinātes (x, y, z) apmierina sekojošu vienādojumu:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Nosaukums "paraboloid" cēlies no tā, ka mainīgais z ir atkarīgs no mainīgo x un y kvadrātu. Kamēr īpašības vārds "hiperbolisks" ir saistīts ar faktu, ka pie fiksētām z vērtībām mums ir hiperbolas vienādojums. Šīs virsmas forma ir līdzīga zirga seglu formai.

1. attēls. Hiperboliskais paraboloīds z = x ² - y ² . Avots: F. Zapata, izmantojot Wolfram Mathematica.

Hiperboliskā paraboloīda apraksts

Lai izprastu hiperboliskā paraboloīda raksturu, tiks veikta šāda analīze:

1.- Mēs ņemsim konkrēto gadījumu a = 1, b = 1, tas ir, paraboloīda Dekarta vienādojums paliek kā z = x ² - y ² .

2.- Plaknes uzskata par paralēlām ZX plaknei, tas ir, y = ctte.

3.- Ar y = ctte paliek z = x ² - C, kas attēlo parabolas ar zariem uz augšu un virsotni zem XY plaknes.

2. attēls. Līkņu saime z = x ² - C. Avots: F. Zapata, izmantojot Geogebra.

Ar x = ctte paliek z = C - y ² , kas attēlo parabolas ar zariem uz leju un virsotni virs XY plaknes.

3. attēls. Līkņu saime z = C - y ² . Avots: F. Zapata caur Geogebra.

5.- Ar z = ctte tas paliek C = x ² - y ² , kas attēlo hiperbolas plaknēs, kas ir paralēlas XY plaknei. Kad C = 0, ir divas līnijas (pie + 45 ° un -45 ° attiecībā pret X asi), kas krustojas sākumā XY plaknē.

4. attēls. Līkņu saime x ² - y ² = C. Avots: F. Zapata, izmantojot Geogebra ..

Hiperboliskā paraboloīda īpašības

1.- Četri dažādi punkti trīsdimensiju telpā definē vienu un tikai vienu hiperbolisko paraboloīdu.

2.- Hiperboliskais paraboloīds ir divtik valdoša virsma. Tas nozīmē, ka, neskatoties uz to, ka virsma ir izliekta, caur katru hiperboliskā paraboloīda punktu iet divas dažādas līnijas, kas pilnībā pieder pie hiperboliskā paraboloīda. Otra virsma, kas nav plakne un tiek divkārt valdīta, ir revolūcijas hiperboloīds.

Tieši hiperboliskā paraboloīda otrais īpašums ir ļāvis to plaši izmantot arhitektūrā, jo virsmu var radīt no taisnām sijām vai stīgām.

Otrais hiperboliskā paraboloīda īpašums ļauj to alternatīvi definēt: tieši virsmu var radīt kustīga taisna līnija, kas ir paralēla fiksētai plaknei, un tā sagriež divas fiksētas līnijas, kuras kalpo par vadotni. Šis hiperboliskā paraboloīda alternatīvās definīcijas skaidrojums ir parādīts šajā attēlā:

5. attēls. Hiperboliskais paraboloīds ir divkārša virsma. Avots: F. Zapata.

Darbojušies piemēri

- 1. piemērs

Parādiet, ka vienādojums: z = xy, atbilst hiperboliskam paraboloīdam.

Risinājums

X un y mainīgajiem lielumiem tiek piemērota transformācija, kas atbilst Dekarta asu rotācijai attiecībā pret Z asi + 45º. Vecās x un y koordinātas tiek pārveidotas par jaunajām x 'un y' atbilstoši šādām attiecībām:

x = x '- y'

y = x '+ y'

kamēr z koordināta paliek nemainīga, tas ir, z = z '.

Aizvietojot vienādojumu z = xy, mums ir:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Piemērojot ievērojamo starpības reizinājumu ar summu, kas vienāda ar kvadrātu starpību, mums ir:

z '= x' ² - y ' ²

kas skaidri atbilst sākotnēji sniegtajai hiperboliskā paraboloīda definīcijai.

XY asij paralēlu plakņu pārtveršana ar hiperbolisko paraboloīdu z = xy nosaka vienādmalu hiperbolus, kuriem asimptoti ir plaknes x = 0 un y = 0.

- 2. piemērs

Nosakiet hiperboliskā paraboloīda parametrus a un b, kas iet caur punktiem A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) un D (2, -1, 32/9).

Risinājums

Saskaņā ar tā īpašībām četri punkti trīsdimensiju telpā nosaka vienu hiperbolisko paraboloīdu. Vispārīgais vienādojums ir:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Mēs aizstājam dotās vērtības:

Punktam A mums ir 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , vienādojums, kas ir izpildīts neatkarīgi no parametru a un b vērtībām.

Aizstājot punktu B, iegūstam:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

C punktam tas paliek:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Visbeidzot, attiecībā uz punktu D mēs iegūstam:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Kas ir identisks iepriekšējam vienādojumam. Galu galā jāatrisina vienādojumu sistēma:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Atņemot otro vienādojumu no pirmā, iegūst:

27/9 = 3 / a ^2, kas nozīmē, ka a ² = 1.

Līdzīgā veidā no pirmā četrkāršā tiek atņemts otrais vienādojums, iegūstot:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Kas ir vienkāršots kā:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Īsāk sakot, hiperboliskajam paraboloīdam, kas iet caur dotajiem punktiem A, B, C un D, ​​ir Dekarta vienādojums, ko iegūst:

z = x ² - (4/9) y ²

- 3. piemērs

Atbilstoši hiperboliskā paraboloīda īpašībām, caur katru punktu iet divas līnijas, kuras tajā pilnībā atrodas. Gadījumam z = x ^ 2 - y ^ 2 atrodiet divu līniju vienādojumu, kas iet caur punktu P (0, 1, -1), kas skaidri pieder hiperboliskajam paraboloīdam, tā, ka visi šo līniju punkti arī pieder tas pats.

Risinājums

Izmantojot izcilu kvadrātu starpības rezultātu, hiperboliskā paraboloīda vienādojumu var uzrakstīt šādi:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Kur c ir nemainīga konstante.

Vienādojums x + y = cz, un vienādojums x - y = 1 / c atbilst divām plaknēm ar normālajiem vektoriem n = <1,1, -c> un m = <1, -1,0>. Vektora produkts mxn = <- c, -c, -2> dod mums divu plakņu krustošanās līnijas virzienu. Tad vienai no līnijām, kas iet caur punktu P un pieder pie hiperboliskā paraboloīda, ir parametriskais vienādojums:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Lai noteiktu c, mēs aizstājam punktu P vienādojumā x + y = cz, iegūstot:

c = -1

Līdzīgā veidā, bet, ņemot vērā vienādojumus (x - y = kz) un (x + y = 1 / k), mums ir līnijas parametriskais vienādojums:

= <0, 1, -1> + s ar k = 1.

Rezumējot, abas līnijas:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> un = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Tie ir pilnībā ietverti hiperboliskajā paraboloīdā z = x ² - y ^{2, kas} iet caur punktu (0, 1, -1).

Kā pārbaudi pieņemsim, ka t = 1, kas dod mums punktu (1,2, -3) uz pirmās līnijas. Jums jāpārbauda, ​​vai tas atrodas arī paraboloīdā z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Kas apstiprina, ka tas patiešām pieder pie hiperboliskā paraboloīda virsmas.

Hiperboliskais paraboloīds arhitektūrā

6. attēls Valensijas (Spānija) okeanogrāfija. Avots: Wikimedia Commons.

Hiperbolisko paraboloīdu arhitektūrā izmantojuši lielie avangarda arhitekti, starp kuriem izceļas spāņu arhitekta Antoni Gaudí (1852-1926) vārdi un īpaši spāņu Félix Candela (1910-1997) vārdi.

Zemāk ir daži darbi, kuru pamatā ir hiperboliskais paraboloīds:

-Kernavakas pilsētas kapela (Meksika), arhitekta Fēliksa Kandelas darbs.

- Valensijas (Spānija) okeanogrāfija, arī Fēliksa Kandela.

Atsauces

1. Matemātikas enciklopēdija. Valdītā virsma. Atgūts no: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubēna. Hiperbolisks paraboloīds. Atgūts no: rubenllera.wordpress.com
3. Veisšteins, Ēriks W. "Hiperboliskais paraboloīds." No MathWorld - Wolfram tīmekļa resurss. Atgūts no: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloīds. Atgūts no: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloīds. Atgūts no: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Valdītā virsma. Atgūts no: en.wikipedia.com