- Kā panākt parasto vektoru plaknē?
- Normāls vektors no vektora produkta
- Piemērs
- Risinājums
- Vektora produkta aprēķins
- Plaknes vienādojums
- Atsauces
Normāls vektors ir tāds, kas nosaka virzienu perpendikulāri kādu ģeometrisku vienībai ar atlīdzību, kas var būt ar līkni, lidmašīnā vai virsmas, piemēram.
Tas ir ļoti noderīgs jēdziens kustīgas daļiņas vai kādas virsmas novietojumā telpā. Šajā diagrammā ir iespējams redzēt, kāds ir parasts patvaļīgas līknes C vektors:
1. attēls. Līkne C ar vektoru, kas normāls līknei punktā P. Avots: Svjo
Apsveriet punktu C uz līknes C. Šis punkts var attēlot kustīgu daļiņu, kas virzās pa C formas ceļu.Pie līknes pieskares līnija punktā P ir novilkta sarkanā krāsā.
Ņemiet vērā, ka vektors T ir pieskaras C katrā punktā, savukārt vektors N ir perpendikulārs T un norāda uz iedomāta apļa centru, kura loka loks ir C segments. Vektorus apzīmē drukātā tekstā treknrakstā, lai atšķirt tos no citiem nevektora lielumiem.
Vektors T vienmēr norāda, kur daļiņa pārvietojas, tāpēc norāda uz daļiņas ātrumu. No otras puses, vektors N vienmēr norāda tajā virzienā, kurā daļiņa griežas, šādā veidā tas norāda līknes C izliekumu.
Kā panākt parasto vektoru plaknē?
Normāls vektors ne vienmēr ir vienības vektors, tas ir, vektors, kura modulis ir 1, bet, ja ir, tad to sauc par normālu vienības vektoru.
2. attēls. Kreisajā pusē plakne P un abi vektori, kas ir normāli pret minēto plakni. Labajā pusē vienības vektori trīs virzienos, kas nosaka atstarpi. Avots: Wikimedia Commons. Skatīt lapu autoram
Daudzās lietojumprogrammās ir jāzina nevis plakanā līkne, bet gan plaknes vektors. Šis vektors parāda minētās plaknes orientāciju telpā. Piemēram, ņemiet vērā attēla plakni P (dzeltenu):
Šai plaknei ir divi normāli vektori: n 1 un n 2 . Viena vai otra lietojums būs atkarīgs no konteksta, kurā minētā plakne atrodas. Parastā vektora iegūšana plaknei ir ļoti vienkārša, ja ir zināms plaknes vienādojums:
Šeit vektoru N izsaka ar perpendikulāru vienības vektoru i , j un k , kas vērsti pa trim virzieniem, kas nosaka xyz telpu, sk. 2. attēlu pa labi.
Normāls vektors no vektora produkta
Ļoti vienkārša parastā vektora atrašanas procedūra izmanto vektoru produkta īpašības starp diviem vektoriem.
Kā zināms, trīs dažādi punkti, kas nav savstarpēji kolineāri, nosaka plakni P. Tagad ir iespējams iegūt divus vektorus u un v, kas pieder šai plaknei, kurai ir šie trīs punkti.
Kad vektori ir iegūti, vektora produkts u x v ir operācija, kuras rezultāts savukārt ir vektors, kura īpašība ir perpendikulāra plaknei, kuru nosaka u un v .
Pazīstams ar šo vektoru, to apzīmē ar N , un no tā būs iespējams noteikt plaknes vienādojumu, izmantojot vienādojumu, kas norādīts iepriekšējā sadaļā:
N = u x v
Šajā attēlā parādīta aprakstītā procedūra:
3. attēls. Ar diviem vektoriem un to vektoru reizinājumu vai krustu nosaka plaknes vienādojumu, kurā ir divi vektori. Avots: Wikimedia Commons. Nav sniegts neviens mašīnlasāms autors. M.Romero Schmidtke pieņēma (pamatojoties uz autortiesību prasībām).
Piemērs
Atrodiet plaknes vienādojumu, ko nosaka punkti A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1.).
Risinājums
Šis uzdevums ilustrē iepriekš aprakstīto procedūru. Ar 3 punktu palīdzību viens no tiem tiek izvēlēts kā kopēja izcelsme diviem vektoriem, kas pieder plaknei, kuru šie punkti nosaka. Piemēram, punkts A ir noteikts kā sākums, un vektori AB un AC ir konstruēti .
Vektors AB ir vektors, kura sākums ir punkts A un kura beigu punkts ir punkts B. Vektora AB koordinātas nosaka, attiecīgi atņemot B koordinātas no A koordinātām:
Mēs rīkojamies tāpat, lai atrastu vektoru AC :
Vektora produkta aprēķins
Ir vairākas procedūras, lai atrastu šķērsproduktu starp diviem vektoriem. Šajā piemērā tiek izmantota mnemoniska procedūra, kurā, lai atrastu vektora produktus starp vienības vektoriem i , j un k , tiek izmantots šāds attēls :
4. attēls. Grafiks, lai noteiktu vektora produktu starp vienības vektoriem. Avots: pašu gatavots.
Sākumā der atcerēties, ka vektoru produkti starp paralēliem vektoriem nav spēkā, tāpēc:
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
Un tā kā vektora produkts ir vēl viens vektors, kas ir perpendikulārs iesaistītajiem vektoriem, virzoties sarkanās bultiņas virzienā, kas mums ir:
Ja jums jāpārvietojas bultiņas pretējā virzienā, pievienojiet zīmi (-):
Kopumā ir iespējams izgatavot 9 vektoru produktus ar vienības vektoriem i , j un k , no kuriem 3 būs nulle.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
Plaknes vienādojums
Vektoru N nosaka pēc iepriekš aprēķināta vektora produkta:
N = 2 i -8 j -2 k
Tāpēc a = 2, b = -8, c = -2, meklētā plakne ir:
D vērtība vēl ir jānosaka. Tas ir viegli, ja jebkura pieejamā punkta A, B vai C vērtības tiek aizstātas ar plaknes vienādojumu. Piemēram, izvēloties C:
x = 4; y = 2; z = 1
Paliek:
Īsāk sakot, meklētā karte ir šāda:
Interesants lasītājs var jautāt, vai tāds pats rezultāts būtu iegūts, ja tā vietā, lai izdarītu AB x AC, mēs izvēlējāmies darīt AC x AB. Atbilde ir jā, plakne, ko nosaka šie trīs punkti, ir unikāla, un tai ir divi normāli vektori, kā parādīts 2. attēlā.
Attiecībā uz punktu, kas izvēlēts kā vektoru izcelsme, nav problēmu izvēlēties kādu no pārējiem diviem.
Atsauces
- Figueroa, D. (2005). Sērija: Fizika zinātnei un inženierijai. Sējums 1. Kinemātika. Rediģēja Douglas Figueroa (USB). 31.-62.
- Meklējot normālu plaknei. Atgūts no: web.ma.utexas.edu.
- Larsons, R. (1986). Aprēķins un analītiskā ģeometrija. Mc Graw Hill. 616-647.
- Līnijas un plaknes R 3. Atgūts no: math.harvard.edu.
- Normāls vektors. Atgūts no mathworld.wolfram.com.