KAS IR KOPLANĀRIE VEKTORI? (AR ATRISINĀTIEM VINGRINĀJUMIEM) - FIZISKĀ - 2025

The koplanāru vektori vai coplanar ir tie, kas ir iekļauti vienā un tajā pašā plaknē. Ja ir tikai divi vektori, tie vienmēr ir vienlīmeņa, jo ir plaknes, un vienmēr ir iespējams izvēlēties vienu, kurā tie atrodas.

Ja jums ir trīs vai vairāk vektoru, iespējams, ka daži no tiem neatrodas vienā plaknē ar pārējiem, tāpēc tos nevar uzskatīt par koplīniskiem. Šajā attēlā parādīts kopēju vektoru kopums, kas apzīmēts ar trekniem A , B , C un D :

1. attēls. Četri līdzplānu vektori. Avots: pašu gatavots.

Vektori ir saistīti ar fizikālo lielumu izturēšanos un īpašībām, kas attiecas uz zinātni un inženieriju; piemēram, ātrums, paātrinājums un spēks.

Spēks ietekmē objektu atšķirīgi, ja tiek mainīts tā pielietošanas veids, piemēram, mainot intensitāti, virzienu un virzienu. Pat mainot tikai vienu no šiem parametriem, rezultāti ir ievērojami atšķirīgi.

Daudzos pielietojumos gan statikā, gan dinamikā spēki, kas iedarbojas uz ķermeni, atrodas vienā plaknē, tāpēc tos uzskata par koplīniskiem.

Nosacījumi, lai vektori būtu vienlīmeņa

Lai trīs pārnēsātāji būtu vienlīmeņi, tiem jāatrodas vienā plaknē, un tas notiek, ja tie atbilst kādam no šiem nosacījumiem:

-Vektori ir paralēli, tāpēc to komponenti ir proporcionāli un lineāri atkarīgi.

-Jūsu jauktais produkts nav spēkā.

-Ja jums ir trīs vektori un jebkuru no tiem var uzrakstīt kā pārējo divu lineāru kombināciju, šie vektori ir kopēji. Piemēram, vektors, kas rodas no divu citu summu, visi trīs atrodas vienā plaknē.

Alternatīvi līdzenitātes nosacījumu var iestatīt šādi:

Jaukts produkts starp trim vektoriem

Jauktais produkts starp vektoriem tiek definēts ar trim vektoriem u , v un w, iegūstot skalāru, kas rodas, veicot šādu darbību:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Vispirms tiek veikts iekavās esošais šķērsprodukts: v x w , kura rezultāts ir normāls vektors (perpendikulārs) plaknei, kurā atrodas gan v, gan w .

Ja u atrodas vienā plaknē ar v un w , dabiski skalārajam reizinājumam (punktveida produktam) starp u un minēto normālo vektoru jābūt 0. Šādā veidā tiek pārbaudīts, vai trīs vektori ir koplīmēti (tie atrodas vienā plaknē).

Ja sajauktais produkts nav nulle, tā rezultāts ir vienāds ar paralēlskaldņa tilpumu, kura blakus esošās puses ir vektori u , v un w .

Lietojumprogrammas

Koplāni, vienlaicīgi un bez kolineāriem spēki

Visi vienlaicīgi spēki tiek pielietoti vienā un tajā pašā punktā. Ja tie ir arī plakani, tos var aizstāt ar vienu, ko sauc par izrietošo spēku un kam ir tāda pati iedarbība kā sākotnējiem spēkiem.

Ja ķermenis ir līdzsvarā, pateicoties trim vienplāniem spēkiem, vienlaicīgiem un bez kolineāriem (nevis paralēliem), sauktiem par A , B un C, Lamija teorēma norāda, ka šo spēku (magnitūdu) attiecības ir šādas:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Ar α, β un γ pretējiem leņķiem pret pieliktajiem spēkiem, kā parādīts šajā attēlā:

2. attēls. Trīs pretplānu spēki A, B un C iedarbojas uz objektu. Avots: Kiwakwok angļu Vikipēdijā

Atrisināti vingrinājumi

-Uzdevums 1

Atrodiet k vērtību, lai šādi vektori būtu vienlīmeņi:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Risinājums

Tā kā mums ir vektoru komponenti, tiek izmantots jauktā produkta kritērijs:

u ( v x w ) = 0

Vispirms atrisiniet v x w. Vektorus izsaka ar vienību vektoriem i , j un k, kas atšķir trīs perpendikulārus virzienus telpā (platumu, augstumu un dziļumu):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Tagad mēs uzskatām skalārā lieluma koeficientu starp u un vektoru, kas iegūts no iepriekšējās operācijas, operāciju iestatot vienādu ar 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Vēlamā vērtība ir: k = - 6

Tātad vektors u ir:

u = <-3, -6, 2>

- 2. vingrinājums

Attēlā parādīts objekts, kura svars ir W = 600 N, kurš karājas līdzsvarā, pateicoties kabeļiem, kas novietoti leņķos, kas parādīti 3. attēlā. Vai šajā situācijā ir iespējams pielietot Lamija teorēmu? Jebkurā gadījumā atrodiet T ₁ , T ₂ un T ₃ lielumus, kas padara iespējamu līdzsvaru.

3. attēls. Svars līdzsvara stāvoklī karājas trīs parādīto spriegumu ietekmē. Avots: pašu gatavots.

Risinājums

Lamija teorēma ir pielietojama šajā situācijā, ja tiek ņemts vērā mezgls, uz kuru attiecas trīs spriegumi, jo tie veido koplāņu spēku sistēmu. Pirmkārt, lai noteiktu T ₃ lielumu, tiek sastādīta karājas svara brīva ķermeņa diagramma _:

4. attēls. Brīva ķermeņa diagramma svara pakarināšanai. Avots: pašu gatavots.

No līdzsvara stāvokļa izriet, ka:

Leņķi starp spēkiem ir parādīti sarkanā krāsā šajā attēlā, var viegli pārliecināties, ka to summa ir 360º. Tagad ir iespējams pielietot Lamija teorēmu, jo ir zināms viens no spēkiem un trīs leņķi starp tiem:

5. attēls. Sarkanā krāsā leņķi, lai piemērotu Lamija teorēmu. Avots: pašu gatavots.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Tāpēc: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Atkal Lamija teorēma tiek piemērota, lai atrisinātu T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Atsauces

1. Figueroa, D. Sērija: Fizika zinātnēm un inženierzinātnēm. Sējums 1. Kinemātika. 31-68.
2. Fiziskā. 8. modulis: Vektori. Atgūts no: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mehānika inženieriem. Statiskā 6. izdevums. Kontinentālās izdevniecības uzņēmums, 28. – 66.
4. Makleins, W. Schaum sērija. Mehānika inženieriem: statika un dinamika. 3. izdevums. Makgreiva kalns. 1-15.
5. Wikipedia. Vektors. Atgūts no: es.wikipedia.org.