ELIPSOĪDS: RAKSTURLIELUMI UN PIEMĒRI - ARTE - 2025

Elipses ir virsmas telpā, kas pieder grupai quadric virsmu un kuru Vispārējā formula ir šādā formā:

Tas ir elipse trīsdimensiju ekvivalents, kam dažos īpašos gadījumos raksturīgas elipses un apļveida pēdas. Pēdas ir līknes, kas iegūtas, krustojot elipsoīdu ar plakni.

1. attēls. Trīs dažādi elipsoīdi: augšpusē lode, kurā trīs pusass ir vienādas, apakšā pa kreisi sfēra, ar divām vienādām pusasīm un atšķirīgu, un, visbeidzot, labajā apakšējā daļā - triaksiāls sfēras, ar trim dažādām asīm. garums. Avots: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Papildus elipsoīdam ir vēl pieci kvadricikli: vienas loksnes un divu lokšņu hiperboloīds, divu veidu paraboloīdi (hiperboliski un eliptiski) un elipsveida konuss. Arī tās pēdas ir koniskas.

Elipsoīdu var izteikt arī ar standarta vienādojumu Dekarta koordinātēs. Elipsoīds, kura centrā ir izcelsme (0,0,0) un izteikts šādā veidā, atgādina elipsi, bet ar papildu apzīmējumu:

A, b un c vērtības ir reālie skaitļi, kas lielāki par 0, un attēlo trīs elipsoīda pusass asis.

Elipsoīdu raksturojums

- Standarta vienādojums

Standarta vienādojums Dekarta koordinātēs elipsēm, kuru centrā ir punkts (h, k, m), ir:

- elipsoīda parametru vienādojumi

Sfēriskās koordinātās elipsoīdu var raksturot šādi:

x = grēks θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Elipsoīda pusass asis paliek a, b un c, savukārt parametri ir šāda attēla leņķi θ un φ:

2. attēls. Sfēriskā koordinātu sistēma. Elipsoīdu var parametrizēt, par parametriem izmantojot parādītos leņķus theta un phi. Avots: Wikimedia Commons. Andeggs / Publiskais īpašums.

- elipsoīda pēdas

Vispārējs virsmas virsmas vienādojums telpā ir F (x, y, z) = 0, un virsmas pēdas ir līknes:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Elipsoīda gadījumā šādas līknes ir elipses un dažreiz apļi.

- Apjoms

Elipsoīda tilpumu V iegūst (4/3) π reizinot ar tā trīs pusass reizinājumu:

V = (4/3) π. abc

Īpaši elipsoīda gadījumi

- Elipsoīds kļūst par sfēru, ja visas pusass ir vienāda lieluma: a = b = c ≠ 0. Tam ir jēga, jo elipsoīds ir kā lode, kas ir izstiepta atšķirīgi pa katru ass.

-Sferoids ir elipsoīds, kurā divas pusass ir identiskas un trešā ir atšķirīga, piemēram, tā varētu būt a = b ≠ c.

Sfēru sauc arī par revolūcijas elipsoīdu, jo to var ģenerēt, rotējot elipsi ap asi.

Ja rotācijas ass sakrīt ar galveno asi, tad sfēra ir prolatīva, bet, ja tā sakrīt ar blakus asi, tā ir pagarināta:

3. attēls. Izgrieziet spheroid kreisajā pusē un prolate spheroid labajā pusē. Avots: Wikimedia Commons.

Sfēras saplacināšanas lielumu (elipsētiskumu) aprēķina ar garuma starpību starp abām pusass, izteiktu frakcionētā formā, tas ir, tas ir vienības saplacinājums, ko aprēķina pēc:

f = (a - b) / a

Šajā vienādojumā a apzīmē pusmēroga asi un b daļēji mazo asi, atcerieties, ka trešā ass ir vienāda ar vienu no šīm sfēras. F vērtība ir no 0 līdz 1, un sfērai ir jābūt lielākai par 0 (ja tā būtu vienāda ar 0, mums vienkārši būtu lode).

Atsauces elipsoīds

Planētas un zvaigznes kopumā parasti nav perfektas sfēras, jo rotācijas kustība ap to asīm izlīdzina ķermeni pie poliem un izliek to pie ekvatora.

Tāpēc Zeme izrādās līdzīga oblātai sfērai, kaut arī nav tik pārspīlēta kā iepriekšējā attēlā, un no savas puses gāzes gigants Saturns ir plakanākais no Saules sistēmas planētām.

Tātad reālāks veids, kā attēlot planētas, ir pieņemt, ka tās ir kā revolūcijas sfēras vai elipsoīdi, kuru puslīdz galvenā ass ir ekvatoriālais rādiuss un pusminorālā ass - polārā rādiusa.

Rūpīgi mērījumi, kas veikti uz zemeslodes, ļāva izveidot Zemes atskaites elipsoīdu kā visprecīzāko veidu, kā to darbināt matemātiski.

Zvaigznēm ir arī rotācijas kustības, kas tām piešķir vairāk vai mazāk saplacinātas formas. Ātrās zvaigznes Achernara, astotā spožākā zvaigzne nakts debesīs, dienvidu zvaigznājā Eridanus ir ievērojami elipsveida, salīdzinot ar lielāko daļu. Tas ir 144 gaismas gadu attālumā no mums.

Otrkārt, pirms dažiem gadiem zinātnieki atrada sfēriskāko objektu, kāds jebkad atrasts: zvaigzne Kepler 11145123, kas atrodas 5000 gaismas gadu attālumā, divreiz pārsniedz mūsu Sauli un atšķirība starp pusasīm ir tikai 3 km. Kā gaidīts, tas arī griežas lēnāk.

Runājot par Zemi, tas nav ideāls sfēris arī nelīdzenās virsmas un vietējo smaguma atšķirību dēļ. Šī iemesla dēļ ir pieejama vairāk nekā viena atsauces sfēra, un katrā vietā tiek izvēlēta vietējai ģeogrāfijai piemērotākā.

Satelītu palīdzība ir nenovērtējama, veidojot arvien precīzākus Zemes formas modeļus, pateicoties viņiem, piemēram, ir zināms, ka dienvidu pole ir tuvāk ekvatoram nekā ziemeļpols.

4. attēls. Haumea, trans-Neptūnas punduru planētai ir elipsoidāla forma. Avots: Wikimedia Commons.

Skaitlisks piemērs

Zemes rotācijas dēļ rodas centrbēdzes spēks, kas lodes vietā tai piešķir iegarenas elipsoīda formu. Zināms, ka Zemes ekvatoriālais rādiuss ir 3963 jūdzes, bet polārā rādiuss - 3942 jūdzes.

Atrodiet ekvatoriālās pēdas vienādojumu, šo elipsoīdu un vienādojumu. Salīdziniet arī ar Saturna eliptiskumu ar šādiem datiem:

-Surnīra ekvatoriālais rādiuss: 60,268 km

-Polar Saturna rādiuss: 54,364 km

Risinājums

Nepieciešama koordinātu sistēma, kuru mēs koncentrēsim uz izcelsmi (Zemes centru). Mēs pieņemsim, ka vertikālā z ass ir, un ekvatoram atbilstošā pēda atrodas uz xy plaknes, kas ir ekvivalenta z = 0 plaknei.

Ekvatoriālajā plaknē pusass a un b ir vienādas, tāpēc a = b = 3963 jūdzes, bet c = 3942 jūdzes. Šis ir īpašs gadījums: sfēras, kuras centrā ir punkts (0,0,0), kā minēts iepriekš.

Ekvatoriālā izsekošana ir aplis ar rādiusu R = 3963 jūdzes, kura centrā ir izcelsme. To aprēķina, standarta vienādojumā izdarot z = 0:

Zemes elipsoīda standarta vienādojums ir:

f _Zeme = (a - b) / a = (3963-3942) jūdzes / 3963 jūdzes = 0,0053

f _Saturns = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Ņemiet vērā, ka elipsētiskums f ir bezizmēra lielums.

Atsauces

1. ArcGIS darbvirsmai. Sferoīdi un sfēras. Atgūts no: desktop.arcgis.com.
2. BBC pasaule. Sfēriskākā objekta, kas jebkad ir atklāts Visumā, noslēpums. Atgūts no: bbc.com.
3. Larsons, R. Kalkulus un analītiskā ģeometrija. Sestais izdevums. 2. sējums. Makgreiva kalns.
4. Wikipedia. Elipsoīds. Atgūts no: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Spheroid. Atgūts no: en.wikipedia.org.