AKSIĀLĀ SIMETRIJA: ĪPAŠĪBAS, PIEMĒRI UN VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Axial simetrija ir tad, kad punktus, skaitlis sakrīt ar punktiem no citas figūriņas ar taisnu bisektrise sauc par simetrijas asi. To sauc arī par radiālo, rotācijas vai cilindrisko simetriju.

To parasti izmanto ģeometriskos skaitļos, bet tas ir viegli novērojams dabā, jo ir tādi dzīvnieki kā tauriņi, skorpioni, mārītes vai cilvēki, kuriem ir aksiāla simetrija.

Aksiālā simetrija ir parādīta šajā Toronto pilsētas horizonta un tā atstarojuma ūdenī fotoattēlā. (Avots: pixabay)

Kā atrast aksiāli simetrisku

Lai atrastu punkta P aksiālo simetriju P 'attiecībā pret līniju (L), veic šādas ģeometriskās operācijas:

1.- Perpendikulāri līnijai (L), kas iet caur punktu P.

2.- Abu līniju pārtveršana nosaka punktu O.

3.- Izmēra PO segmenta garumu, pēc tam šo garumu nokopē uz līnijas (PO), sākot no O virzienā no P uz O, nosakot punktu P '.

4. Punkts P 'ir punkta P aksiālā simetrija attiecībā pret asi (L), jo līnija (L) ir segmenta PP bisektors, kas ir O minētā segmenta viduspunkts.

1. attēls. Divi punkti P un P 'ir aksiāli simetriski pret asi (L), ja šī ass ir segmenta PP bisektors

Aksiālās simetrijas īpašības

- Aksiālā simetrija ir izometriska, tas ir, tiek saglabāti ģeometriskas figūras attālumi un tai atbilstošā simetrija.

- Leņķa izmērs un tā simetrija ir vienādi.

- Punkta aksiālā simetrija uz simetrijas ass ir pats punkts.

- Simetriskās līnijas līnija, kas ir paralēla simetrijas asij, ir arī līnija, kas ir paralēla minētajai asij.

- Simetrijas asij esošajā līnijā kā simetriska līnija ir cita secant līnija, kas, savukārt, krusto simetrijas asi tajā pašā sākotnējās līnijas vietā.

- Līnijas simetriskais attēls ir vēl viena līnija, kas veido leņķi ar simetrijas asi ar tādu pašu izmēru kā ar sākotnējo līniju.

- Simetrisks līnijas attēls, kas ir perpendikulārs simetrijas asij, ir vēl viena līnija, kas pārklājas ar pirmo.

- Līnija un tās aksiālā simetriskā līnija veido leņķi, kura bisektors ir simetrijas ass.

2. attēls. Aksiālā simetrija saglabā attālumus un leņķus.

Aksiālās simetrijas piemēri

Daba demonstrē bagātīgus aksiālās simetrijas piemērus. Piemēram, daudzu citu starpā jūs varat redzēt seju, kukaiņu, piemēram, tauriņu, simetriju, atspulgu uz mierīgām ūdens virsmām un spoguļiem vai augu lapām.

3. attēls. Šim tauriņam ir gandrīz ideāla ass simetrija. (Avots: pixabay)

4. attēls. Šīs meitenes sejai ir aksiāla simetrija. (Avots: pixabay)

Aksiālās simetrijas vingrinājumi

1. vingrinājums

Mums ir virsotņu A, B un C trīsstūris, kura Dekarta koordinātas ir attiecīgi A = (2, 5), B = (1, 1) un C = (3,3). Atrodiet taisnstūra, kas atrodas simetriski ap Y asi, koordinātas, koordinātas (ordinātu ass).

Risinājums: Ja punktam P ir koordinātas (x, y), tad tā simetrija attiecībā pret ordinātu asi (Y ass) ir P ’= (- x, y). Citiem vārdiem sakot, tās abscisas vērtība izmaina zīmi, kamēr ordināta vērtība paliek nemainīga.

Šajā gadījumā simetriskajam trīsstūrim ar virsotnēm A ', B' un C 'būs koordinātas:

A '= (- 2,5,); B '= (- 1, 1) un C' = (- 3, 3), kā redzams 6. attēlā.

6. attēls. Ja kādam punktam ir koordinātas (x, y), tā simetriskajam attiecībā pret Y asi (ordinātu asi) būs koordinātas (-x, y).

2. vingrinājums

Atsaucoties uz trīsstūri ABC un tā simetrisko A'B'C 'no 1. vingrinājuma, pārbaudiet, vai sākotnējā trīsstūra un tā simetrijas atbilstošajām pusēm ir vienāds garums.

Risinājums: Lai atrastu attālumu vai malu garumu, izmantojam Eiklīda attāluma formulu:

d (A, B) = √ ((Bx - ass) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Atbilstošās simetriskās malas A'B 'garumu aprēķina šādi:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Šādā veidā tiek pārbaudīts, vai aksiālā simetrija saglabā attālumu starp diviem punktiem. Procedūru var atkārtot abām trijstūra pusēm un tās simetriskai, lai pārbaudītu invariances garumu. Piemēram, -AC- = -A'C'- = √5 = 2236.

3. vingrinājums

Pārbaudiet, vai oriģinālajam trīsstūrim un tā simetriskajam leņķim ir vienāds leņķa lielums attiecībā pret trīsstūri ABC un tā simetrisko A'B'C 'no 1. vingrinājuma.

Risinājums: Lai noteiktu leņķu BAC un B'A'C 'izmērus, vispirms aprēķināsim vektora AB ar skalas koeficientu AC un pēc tam A'B' skalārā koeficientu ar A'C ' .

Atceroties, ka:

A = (2, 5), B = (1, 1) un C = (3,3)

A '= (- 2,5,); B '= (- 1, 1) un C' = (- 3, 3).

Tam ir:

AB = <1-2, 1-5> un AC = <3-2, 3-5>

līdzīgi

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> un AC = <-3 + 2, 3-5>

Tad tiek atrasti šādi skalārie produkti:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Līdzīgi

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Leņķa BAC lielums ir:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4123⋅2,236)) = 40,6º

Līdzīgi leņķa B'A'C lielums ir:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4123⋅2,236)) = 40,6º

Secinot, ka aksiālā simetrija saglabā leņķu lielumu.

4. vingrinājums

Ļaujiet punktam P būt koordinātām (a, b). Atrodiet tās aksiālās simetrijas P 'koordinātas attiecībā pret līniju y = x.

Risinājums: Mēs izsauksim (a ', b') simetriskā punkta P 'koordinātas attiecībā pret līniju y = x. Segmenta PP 'viduspunktam M ir koordinātas ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) un tas atrodas arī uz līnijas y = x, tātad ir šāda vienādība:

a + a '= b + b'

No otras puses, segmentam PP 'ir slīpums -1, jo tas ir perpendikulārs līnijai y = x ar slīpumu 1, tāpēc pastāv šāda vienlīdzība:

b - b '= a' -a

Atrisinot abas iepriekšējās vienādības a un b, tiek secināts, ka:

a '= ar to b' = a.

Tas ir, ņemot vērā punktu P (a, b), tā aksiālā simetrija attiecībā pret līniju y = x ir P '(b, a).

Atsauces

1. Arce M., Blázquez S un citi. Plaknes pārvērtības. Atgūts no: eduutmxli.files.wordpress.com
2. Aprēķins cc. Aksiālā simetrija. Atgūts no: calculo.cc
3. Superprof. Aksiālā simetrija. Atgūts no: superprof.es
4. wikipedia. Aksiālā simetrija. Atgūts no: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Apļveida simetrija. Atgūts no: en.wikipedia.com