- Piemēri
- 1. piemērs
- Risinājums
- 2. piemērs
- Risinājums
- Skaitīšanas paņēmieni
- Papildināšanas princips
- Piemērs
- Risinājums
- Permutācijas princips
- Piemērs
- Risinājums
- Piemērs
- Risinājums
- Piemērs
- Risinājums
- Kombinācijas princips
- Piemērs
- Risinājums
- Atrisināti vingrinājumi
- 1. vingrinājums
- Risinājums
- 2. vingrinājums
- Risinājums
- Atsauces
Multiplikatīvā princips ir metode, ko izmanto, lai atrisinātu uzskaites problēmas rast risinājumu bez uzskaitīt tās elementus. To sauc arī par kombinatoriskās analīzes pamatprincipu; tā pamatā ir secīga reizināšana, lai noteiktu, kā notikums var notikt.
Šis princips nosaka, ka, ja lēmumu (d 1 ) var pieņemt n veidā un citu lēmumu (d 2 ) var pieņemt m veidā, kopējais lēmumu pieņemšanas veidu d 1 un d 2 skaits būs vienāds. reizināt no n * m. Pēc principa katrs lēmums tiek pieņemts viens pēc otra: ceļu skaits = N 1 * N 2 … * N x veidi.
Piemēri
1. piemērs
Paula plāno doties uz filmām kopā ar draugiem, un, lai izvēlētos drēbes, kuras viņa valkā, es nošķiru 3 blūzes un 2 svārkus. Cik veidos Paula var ģērbties?
Risinājums
Šajā gadījumā Paulai jāpieņem divi lēmumi:
d 1 = Izvēlieties starp 3 blūzes = n
d 2 = Izvēlieties starp 2 svārkiem = m
Tādā veidā Paulai ir n * m lēmumu pieņemt vai dažādi ģērbšanās veidi.
n * m = 3 * 2 = 6 lēmumi.
Reizināšanas princips ir radies no koku diagrammas metodes, kas ir diagramma, kas saista visus iespējamos rezultātus, lai katrs no tiem varētu notikt ierobežotu skaitu reižu.
2. piemērs
Mario bija ļoti izslāpis, tāpēc devās uz maizes ceptuvi pirkt sulu. Luiss par viņu rūpējas un stāsta, ka tas ir divu izmēru: liels un mazs; un četras garšas: ābolu, apelsīnu, citronu un vīnogu. Cik daudzos veidos Mario var izvēlēties sulu?
Risinājums
Diagrammā redzams, ka Mario ir 8 dažādi sulas izvēles veidi un ka, tāpat kā reizināšanas principā, šo rezultātu iegūst, reizinot n * m. Vienīgā atšķirība ir tā, ka caur šo diagrammu var redzēt, kā Mario izvēlas sulu.
No otras puses, ja iespējamo iznākumu skaits ir ļoti liels, praktiskāk ir izmantot reizināšanas principu.
Skaitīšanas paņēmieni
Skaitīšanas paņēmieni ir metodes, kuras izmanto tieša skaitīšanas veikšanai, un tādējādi jāzina iespējamo izkārtojumu skaits, kādas var būt dotās kopas elementiem. Šīs metodes ir balstītas uz vairākiem principiem:
Papildināšanas princips
Šis princips nosaka, ka, ja divi notikumi m un n nevar notikt vienlaicīgi, pirmā vai otrā notikuma paņēmienu skaits būs m + n summa:
Formu skaits = m + n… + x dažādas formas.
Piemērs
Antonio vēlas doties ceļojumā, bet neizlemj, kuru galamērķi; Dienvidu tūrisma aģentūrā viņi piedāvā jums ceļojuma ceļojumu uz Ņujorku vai Lasvegasu, savukārt Austrumu tūrisma aģentūra iesaka ceļot uz Franciju, Itāliju vai Spāniju. Cik dažādas ceļojuma alternatīvas Antonio jums piedāvā?
Risinājums
Ar Dienvidu tūrisma aģentūru Antonio ir 2 alternatīvas (Ņujorka vai Lasvegasa), savukārt Austrumu tūrisma aģentūrā viņam ir 3 iespējas (Francija, Itālija vai Spānija). Dažādu alternatīvu skaits ir:
Alternatīvu skaits = m + n = 2 + 3 = 5 alternatīvas.
Permutācijas princips
Runa ir par visu vai dažu elementu, kas veido komplektu, pasūtīšanu, lai atvieglotu visu iespējamo elementu uzskaiti.
N dažādu elementu permutāciju skaits, kas ņemti visi uzreiz, tiek attēlots šādi:
n P n = n!
Piemērs
Četri draugi vēlas nofotografēties un vēlas uzzināt, cik dažādos veidos tos var sakārtot.
Risinājums
Jūs vēlaties zināt visu iespējamo veidu kopumu, kā 4 cilvēkus var novietot attēla uzņemšanai. Tādējādi jums:
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 dažādas formas.
Ja n pieejamo elementu permutāciju skaitu ņem no kopas daļām, kuras veido r elementi, to attēlo šādi:
n P r = n! ÷ (n - r)!
Piemērs
Klasē ir 10 sēdvietas. Ja stundu apmeklē 4 studenti, cik dažādos veidos studenti var aizpildīt vietas?
Risinājums
Mums ir tas, ka kopējais krēslu komplekts ir 10, un no tiem tiks izmantoti tikai 4. Dotā formula tiek izmantota, lai noteiktu permutāciju skaitu:
n P r = n! ÷ (n - r)!
10 P 4 = 10! ÷ (10 - 4)!
10 P 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 pozīciju aizpildīšanas veidi.
Ir gadījumi, kad daži no pieejamiem komplekta elementiem tiek atkārtoti (tie ir vienādi). Lai aprēķinātu masīvu skaitu, kas vienlaikus ņem visus elementus, tiek izmantota šāda formula:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 !… n r !
Piemērs
Cik daudz dažādu četru burtu vārdu var veidot no vārda "vilks"?
Risinājums
Šajā gadījumā ir 4 elementi (burti), no kuriem divi ir pilnīgi vienādi. Pielietojot doto formulu, ir zināms, cik daudz dažādu vārdu rodas:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 !… n r !
4 P 2, 1,1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 dažādi vārdi.
Kombinācijas princips
Tas ir par visu vai dažu elementu, kas veido komplektu, sakārtošanu bez īpaša pasūtījuma. Piemēram, ja jums ir XYZ izkārtojums, tas cita starpā būs identisks ZXY, YZX, ZYX izkārtojumiem; tas notiek tāpēc, ka, neraugoties uz to, ka tie ir vienā secībā, katras vienošanās elementi ir vienādi.
Ja daži elementi (r) tiek ņemti no kopas (n), apvienošanas principu nosaka ar šādu formulu:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
Piemērs
Veikalā viņi pārdod 5 dažādus šokolādes veidus. Cik dažādos veidos var izvēlēties 4 šokolādes?
Risinājums
Šajā gadījumā no 5 veidiem, kurus viņi pārdod veikalā, ir jāizvēlas 4 šokolādes. To izvēles secībai nav nozīmes, turklāt šokolādes veidu var izvēlēties vairāk nekā divas reizes. Izmantojot formulu, jums:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
5 C 4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!
5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 dažādi 4 šokolādes izvēles veidi.
Ja ņemti visi kopas (n) elementi (r), apvienošanas principu izsaka ar šādu formulu:
n C n = n!
Atrisināti vingrinājumi
1. vingrinājums
Ir beisbola komanda ar 14 dalībniekiem. Cik dažādos veidos spēlei var piešķirt 5 pozīcijas?
Risinājums
Komplektu veido 14 elementi, un jūs vēlaties piešķirt 5 īpašas pozīcijas; tas ir, kārtībai ir nozīme. Permutācijas formula tiek piemērota, ja n pieejamos elementus ņem kopas daļas, kuras veido r.
n P r = n! ÷ (n - r)!
Kur n = 14 un r = 5. To aizstāj ar formulu:
14 P 5 = 14! ÷ (14 - 5)!
14 P 5 = 14! ÷ (9)!
14 P 5 = 240 240 veidi, kā piešķirt 9 spēles pozīcijas.
2. vingrinājums
Ja 9 cilvēku ģimene dodas ceļojumā un pērk biļetes ar secīgām sēdvietām, cik dažādos veidos viņi var apsēsties?
Risinājums
Tas ir apmēram 9 elementi, kas aizņems 9 vietas pēc kārtas.
P 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 dažādi sēdēšanas veidi.
Atsauces
- Hopkinss, B. (2009). Resursi diskrētās matemātikas mācīšanai: klases projekti, vēstures moduļi un raksti.
- Džonsonsbuks, R. (2005). Diskrētā matemātika. Pīrsona izglītība ,.
- Lutfiyya, LA (2012). Ierobežots un diskrēts matemātikas problēmu risinātājs. Pētniecības un izglītības asociācijas redaktori.
- Padró, FC (2001). Diskrētā matemātika. Politèc. no Katalonijas.
- Šteiners, E. (2005). Lietišķo zinātņu matemātika. Atgriezties.