APGRIEZTĀ MATRICA: APRĒĶINS UN ATRISINĀTS VINGRINĀJUMS - MATEMĀTIKA - 2025

Inversā matrica konkrētā matricas ir matrica, kas reizināts ar oriģinālu dod identitātes matricu. Apgrieztā matrica ir noderīga lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai, tāpēc ir svarīgi zināt, kā to aprēķināt.

Matricas ir ļoti noderīgas fizikā, inženierzinātnēs un matemātikā, jo tās ir kompakts rīks sarežģītu problēmu risināšanai. Matricu lietderība tiek uzlabota, kad tās ir apgriezamas, un ir zināma arī to apgrieztā vērtība.

1. attēls. Parādīta vispārēja 2 × 2 matrica un tās apgrieztā matrica. (Sagatavojis Ricardo Pérez)

Grafiskās apstrādes laukos Big Data, Data Mining, Machine Learning un citās tiek izmantoti efektīvi un ātri algoritmi, lai novērtētu nxn matricu apgriezto matricu ar ļoti lielu n, tūkstošu vai miljonu secībā.

Lai ilustrētu apgrieztas matricas izmantošanu lineāro vienādojumu sistēmas apstrādē, mēs sāksim ar vienkāršāko gadījumu no visiem: 1 × 1 matricām.

Vienkāršākais gadījums: tiek ņemts vērā atsevišķa mainīgā lineārais vienādojums: 2 x = 10.

Ideja ir atrast x vērtību, bet tas tiks darīts "matricā".

Matrica M = (2), kas reizina vektoru (x), ir 1 × 1 matrica, kuras rezultāts ir vektors (10):

M (x) = (10)

Matricas M apgriezto apzīmē ar M ^-1 .

Vispārīgais veids, kā uzrakstīt šo "lineāro sistēmu", ir:

MX = B, kur X ir vektors (x) un B ir vektors (10).

Pēc definīcijas apgrieztā matrica ir tā, kas reizināta ar sākotnējo matricu, iegūst identitātes matricu I:

M ^-1 M = I

Izskatāmajā gadījumā matrica M ^-1 ir matrica (½), tas ir, M ^-1 = (½), jo M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Lai atrastu nezināmo vektoru X = (x), piedāvātajā vienādojumā abus elementus reizina ar apgriezto matricu:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Ir sasniegta divu vektoru vienādība, kuri ir vienādi tikai tad, ja to atbilstošie elementi ir vienādi, tas ir, x = 5.

Matricas apgrieztā daudzuma aprēķināšana

Apgrieztas matricas aprēķins motivē atrast universālu metodi tādu lineāru sistēmu risināšanai kā, piemēram, šāda 2 × 2 sistēma:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Pēc 1 × 1 gadījuma, kas pētīts iepriekšējā sadaļā, soļiem, mēs uzrakstām vienādojumu sistēmu matricas formā:

2. attēls. Lineārā sistēma matricas formā.

Ņemiet vērā, ka šī sistēma ir uzrakstīta kompaktā vektora apzīmējumā šādi:

MX = B

kur

Nākamais solis ir atrast M apgriezto vērtību.

1. metode: Gausa eliminācijas izmantošana

Tiks izmantota Gausa eliminācijas metode. Kas sastāv no elementāru darbību veikšanas matricas rindās, šīs operācijas ir:

- Reiziniet rindu ar skaitli, kas nav nulle.

- Pievienojiet vai atņemiet citu rindu no rindas vai citas rindas reizinājumu.

- Apmaini rindas.

Ar šo operāciju mērķis ir pārveidot sākotnējo matricu identitātes matricā.

Kad tas tiek darīts, matricā M identitātes matricai tiek piemērotas tieši tādas pašas darbības. Kad pēc vairākām rindās veiktajām darbībām M tiek pārveidota par vienoto matricu, tad tā, kas sākotnēji bija vienība, kļūs par M apgriezto matricu, tas ir, M ^-1 .

1- Mēs sākam procesu, uzrakstot matricu M un blakus tai matricas:

2 - Mēs pievienojam abas rindas un rezultātu ievietojam otrajā rindā, šādā veidā otrās rindas pirmajā elementā iegūstam nulli:

3- Otro rindu reizinām ar -1, lai otrajā rindā iegūtu 0 un 1:

4- Pirmo rindu reizina ar ½:

5- pievieno otro un pirmo, un rezultāts tiek ievietots pirmajā rindā:

6- Tagad, lai pabeigtu procesu, pirmo rindu reizina ar 2, lai iegūtu identitātes matricu pirmajā rindā un sākotnējās matricas M apgriezto matricu otrajā:

Proti:

Sistēmas risinājums

Kad ir iegūta apgrieztā matrica, vienādojumu sistēma tiek atrisināta, apgriezto matricu piemērojot abiem kompaktā vektora vienādojuma dalībniekiem:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Kas tieši izskatās šādi:

Pēc tam matricas reizināšanu veic, lai iegūtu vektoru X:

2. metode: izmantot pievienoto matricu

Šajā otrajā metodē apgriezto matricu aprēķina no sākotnējās matricas A blakus esošās matricas .

Pieņemsim, ka matricu A piešķir:

kur _{i, j} ir elements matricas A i rindā un j kolonnā .

Matricas A pierobeža sauksies Adj (A), un tās elementi ir:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

kur Ai, j ir papildu apakšējā matrica, kas iegūta, izslēdzot sākotnējās matricas A rindu i un kolonnu j . Joslas ¦ ¦ norāda, ka tiek aprēķināts determinants, tas ir , ¦Ai, j¦ ir mazās komplementārās matricas determinants.

Apgrieztā matricas formula

Formula, kā atrast apgriezto matricu, sākot no sākotnējās matricas blakus esošās matricas, ir šāda:

Ir, apgrieztā matrica A , A ^-1 , ir A adjunkta transpozīcija, dalīta ar A determinantu .

Matricas A transponēšanu A ^T iegūst, apmainoties ar rindām uz kolonnām, tas ir, pirmā rinda kļūst par pirmo kolonnu, bet otrā rinda kļūst par otro kolonnu un tā tālāk, līdz tiek pabeigtas sākotnējās matricas n rindas.

Vingrinājums atrisināts

Ļaujiet matricai A būt šādai:

Tiek aprēķināts katrs blakus esošās A matricas elements: Adj (A)

Rezultātā A adj (A) blakus esošā matrica ir šāda:

Tad aprēķina matricas A determinantu, det (A):

Visbeidzot iegūst A apgriezto matricu:

Atsauces

1. Entonijs Nicolaides (1994) Determinanti un matricas. Pass publikācija.
2. Awol Assen (2013) Pētījums par 3 × 3 determinantu aprēķināšanu
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Ievads lineārajā algebrā. ESIC redakcija.
4. Deivs Kirkbijs (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Dženija Olive (Jenny Olive, 1998) Matemātika: Studenta izdzīvošanas rokasgrāmata. Cambridge University Press.
6. Ričards Dž. Brauns (Richard J. Brown) (2012) 30 sekunžu matemātika: 50 visvairāk prātu paplašinošās matemātikas teorijas. Ivy Press Limited.
7. Matrica. Lap Lambert akadēmiskā izdevniecība.