VIENLAICĪGI VEKTORI: RAKSTURLIELUMI, PIEMĒRI UN VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

The vienlaicīgu vektori vektori grupas, kuru asis sakrīt vienā brīdī, veidojot starp katras iekšējās un ārējās cita leņķa pāri. Skaidrs piemērs ir parādīts zemāk redzamajā attēlā, kur A, B un C ir savstarpēji vienlaicīgi vektori.

D un E atšķirībā no pārējiem nav. Starp vienlaicīgajiem vektoriem AB, AC un CB ir izveidoti leņķi. Tos sauc par attiecību leņķiem starp vektoriem.

raksturojums

- Viņiem ir kopīgs punkts, kas sakrīt ar to izcelsmi: visi vienlaikus esošo vektoru lielumi sākas no kopīga punkta līdz attiecīgajiem galiem.

- Izcelsmi uzskata par vektora darbības punktu: ir jāizveido darbības punkts, kuru tieši ietekmēs katrs no vienlaikus esošajiem vektoriem.

-Its domēns plaknē un telpā ir R ² un R ³ attiecīgi: paralēlās vektori ir brīvi aptver visu ģeometrisko telpu.

-Atļauj dažādus apzīmējumus tajā pašā vektoru grupā. Atbilstoši pētījumu virzieniem operācijās ar vektoriem ir dažādi apzīmējumi.

Pārnēsātāju veidi

Vektoru filiālei ir vairākas apakšnodaļas, starp kurām tās var nosaukt: paralēlas, perpendikulāras, koplanāras, atbilstošas, pretējas un vienotas. Šeit uzskaitīti vienlaicīgi vektori, un tāpat kā visiem iepriekš nosauktajiem, tiem ir daudz lietojumu dažādās zinātnēs.

Tie ir ļoti izplatīti vektoru izpētē, jo tie ir noderīgs vispārinājums operācijās ar tiem. Gan plaknē, gan kosmosā vienlaicīgus vektorus parasti izmanto, lai attēlotu dažādus elementus un izpētītu to ietekmi uz noteiktu sistēmu.

Vektoru apzīmējumi

Vektora elementa attēlošanai ir vairāki veidi. Galvenie un pazīstamākie ir:

Dekarta

Piedāvāta šī pati matemātiskā pieeja, tā apzīmē vektorus ar trīskāršu, kas atbilst katras ass lielumiem (x, y, z).

A: (1, 1, -1) atstarpe A: (1, 1) plakne

Polārs

Tie kalpo tikai, lai apzīmētu vektorus plaknē, lai gan integrālajā aprēķinā tam ir piešķirts dziļuma komponents. Tas sastāv no lineāra lieluma r un leņķa attiecībā pret polāro asi Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) plakne A: (2, 45 ⁰ , 3) atstarpe

Analītiski

Viņi nosaka vektora lielumu, izmantojot versores. Sērijas (i + j + k) attēlo vienības vektorus, kas atbilst asīm X, Y un

A: 3i + 2j - 3k

Sfēriska

Tie ir līdzīgi polārajiem apzīmējumiem, bet tiem ir pievienots otrais leņķis, kas slaucīts pa xy plakni, ko simbolizē δ.

A: (4, 60 ^vai , π / 4)

Vienlaicīgas vektoru operācijas

Vienlaicīgus vektorus galvenokārt izmanto, lai definētu operācijas starp vektoriem, jo ​​vektoru elementus ir vieglāk salīdzināt, ja tie tiek uzrādīti vienlaikus.

Summa (A + B)

Vienlaicīgu vektoru summas mērķis ir atrast iegūto vektoru V _r . Kas saskaņā ar studiju nozari atbilst nobeiguma darbībai

Piemēram: 3 virknes {A, B, C} ir piesaistītas lodziņam, katru virknes galu tur viens subjekts. Katram no 3 subjektiem virve jāvelk citā virzienā nekā pārējiem 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Kaste varēs pārvietoties tikai vienā virzienā, tāpēc V _r norāda kastes kustības virzienu un virzienu.

Starpība (A - B)

Starp vektoru atšķirību ir daudz kritēriju, daudzi autori izvēlas to izslēgt un apgalvo, ka tiek noteikta tikai summa starp vektoriem, kur starpība ir aptuveni pretēja vektora summa. Patiesība ir tāda, ka vektorus var atņemt algebriski.

A: (ass, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; asy-by; az-bz) =

Skalarais produkts (A. B)

Pazīstams arī kā punktveida produkts, tas rada skalāru vērtību, ko var saistīt ar dažādiem lielumiem atkarībā no pētījuma nozares.

Ģeometrijai norādiet paralelogrammas laukumu, ko ar paralēlogrammas metodi veido vienlaicīgu vektoru pāri. Mehāniskajā fizikā tas definē darbu, ko veic spēks F , pārvietojot ķermeni attālumā Δr.

ѡ = F . Δr

Kā norāda nosaukums, tas rada skalāru vērtību un tiek definēts šādi:

Ļaujiet vektoriem A un B būt

A: (ass, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Analītiskā forma:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Kur θ ir iekšējais leņķis starp abiem vektoriem

-Algebriskā forma:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Šķērsprodukts (A x B)

Vektors produkts vai dot produkts starp diviem vektoriem, definē trešo vektoru C , kam uz perpendikulāri kvalitāti B un C . Fizikā griezes momenta vektors τ ir rotācijas dinamikas pamatelements.

-Analītiskā forma:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebriskā forma:

(A x B) = = (ax. By-ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By-ay. Bx) k

-Relatīvā kustība: r _{A / B}

Relativitātes pamats ir relatīvā kustība, un vienlaicīgi vektori ir relatīvās kustības pamatā. Relatīvās pozīcijas, ātrumu un paātrinājumu var secināt, piemērojot šādu ideju secību.

r _{A / B} = r _A - r _B ; A relatīvais stāvoklis attiecībā pret B

v _{A / B} = v _A - v _B ; A relatīvais ātrums attiecībā pret B

a _{A / B} = a _A - _{A B} ; A relatīvais paātrinājums attiecībā pret B

Piemēri: atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Būtu A, B un C vienlaicīgi vektori.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Noteiciet iegūto vektoru V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Definējiet punktveida produktu (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

-Aprēķiniet leņķi starp A un C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Kur θ ir īsākais leņķis starp vektoriem

θ = 88,63 ⁰

-Atrod vektoru perpendikulāri A un B

Šim nolūkam vektora produkts jādefinē starp (-1, 3, 5) un (3, 5, -2). Kā paskaidrots iepriekš, tiek veidota 3 x 3 matrica, kurā pirmo rindu veido trīskāršu vienību vektori (i, j, k). Tad 2. un 3. rindu veido vektori, lai darbotos, ievērojot darbības kārtību.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

2. vingrinājums

Ļaujiet V _a un V _b attiecīgi ir A un B ātruma vektori. Aprēķiniet B ātrumu, kas redzams no A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

Šajā gadījumā tiek prasīts B relatīvais ātrums attiecībā pret A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Tas ir B ātruma vektors, kas redzams no A. Kur aprakstīts jauns B ātruma vektors, ņemot atsauci no novērotāja, kurš novietots A un pārvietojas ar A ātrumu.

Piedāvātie vingrinājumi

1-Konstruējiet 3 vektorus A, B un C, kas ir vienlaicīgi un, izmantojot praktisko vingrinājumu, saista 3 operācijas starp tiem.

2-Ļaujiet vektoriem A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) un C: (-2, -1, 10). Atrodiet vektorus perpendikulāri: A un B, C un B, summa A + B + C.

4 - nosakiet 3 vektorus, kas ir perpendikulāri viens otram, neņemot vērā koordinātu asis.

5 - Nosakiet darbu, ko veic ar spēku, kurš paceļ 5 kg masas bloku no 20 m dziļas akas apakšas.

6-Algebriski parādiet, ka vektoru atņemšana ir vienāda ar pretējā vektora summu. Attaisnojiet savus postulātus.

7 - apzīmējiet vektoru visās šajā rakstā izstrādātajās piezīmēs. (Dekarta, polārā, analītiskā un sfēriskā).

8 - magnētisko spēku, ko ietekmē magnēts, kurš balstās uz galda, nosaka šādi vektori; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Nosakiet, kurā virzienā magnēts virzīsies, ja visi magnētiskie spēki darbojas vienlaicīgi.

Atsauces

1. Eiklīda ģeometrija un pārvērtības. Kleitons W. Dodge. Kurjeru korporācija, 1. janvāris 2004. gads
2. Kā atrisināt lietišķās matemātikas problēmas L. Moiseiwitsch. Kurjeru korporācija, 10. aprīlis 2013. gads
3. Ģeometrijas pamatjēdzieni. Valters Prenovics, Meijers Jordānija. Rowman & Littlefield, 4. oktobris. 2012. gads
4. Vektori. Rocío Navarro Lacoba, 7. jūnijs. 2014. gads
5. Lineārā algebra. Bernards Kolmans, Deivids R. Hils. Pīrsona izglītība, 2006. gads