TRINOMĀLS FORMĀ X ^ 2 + BX + C (AR PIEMĒRIEM) - MATEMĀTIKA - 2025

Pirms iemācīties atrisināt formas formu x ^ 2 + bx + c un pat pirms trinomāla jēdziena apzināšanās ir svarīgi zināt divus būtiskus priekšstatus; proti, monomial un polinomu jēdzieni. Monomāls ir a * x ⁿ tipa izteiksme , kur a ir racionālais skaitlis, n ir naturālais skaitlis un x ir mainīgais.

Polinoms ir lineāra monomu kombinācija, kuras forma ir a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , kur katrs a _i , ar i = 0,…, n, ir racionāls skaitlis, n ir naturāls skaitlis, un a_n ir nulle. Šajā gadījumā tiek apgalvots, ka polinoma pakāpe ir n.

Polinoms, ko veido tikai divu dažādas pakāpes nosacījumu (divu monomu) summa, ir pazīstams kā binomijs.

Trinomiālie materiāli

Polinomu, ko veido tikai trīs dažādas pakāpes triju terminu (trīs monomālu) summa, sauc par trinomu. Šie ir trinomu piemēri:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Ir trīs veidu trinomiāli. No tiem izceļas ideāls kvadrātveida trinoms.

Lielisks kvadrātveida trinoms

Perfekts kvadrātveida trinoms ir binokļa sašaurināšanas rezultāts. Piemēram:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² -2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ^4- z) ²

2. pakāpes trinomu raksturojums

Perfekts kvadrāts

Kopumā formas ² trinomāls ² + bx + c ir ideāls kvadrāts, ja tā diskriminants ir vienāds ar nulli; tas ir, ja b ² -4ac = 0, jo šajā gadījumā tai būs viena sakne un to var izteikt formā (xd) ² = (√a (xd)) ² , kur d ir jau minētā sakne.

Polinoma sakne ir skaitlis, kurā polinoms kļūst nulle; citiem vārdiem sakot, skaitlis, kas, aizstājot x ar polinomu izteiksmi, rada nulli.

Risināšanas formula

Vispārīga formula, lai aprēķinātu ax ² + bx + c formas otrās pakāpes polinoma saknes, ir izšķirtspējas formula, kurā teikts, ka šīs saknes piešķir ar (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, kur b ² -4ac ir pazīstams kā diskriminants un parasti tiek apzīmēts ar ∆. No šīs formulas izriet, ka ax ² + bx + c ir:

- Divas dažādas reālās saknes, ja ∆> 0.

- viena reālā sakne, ja ∆ = 0.

- Tam nav īstas saknes, ja ∆ <0.

Turpmāk tiks ņemti vērā tikai trinomi ar formu x ² + bx + c, kur acīmredzami c ir jābūt skaitlim, kas nav nulle (pretējā gadījumā tas būtu binomāls). Šiem trinomu veidiem ir noteiktas priekšrocības faktoringa veidošanā un operācijā ar tiem.

Ģeometriskā interpretācija

Ģeometriski, tad trinomos x ² + bx + c ir parabola, kas atveras uz augšu un ir virsotne at point (-b / 2, -B ² /4 + c) no Dekarta plakne, ka x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Šī parabola sagriež Y asi punktos (0, c) un X asi punktos (d ₁ , 0) un (d ₂ , 0); tad d ₁ un d ₂ ir trinomu saknes. Var gadīties, ka trinomiālam ir viena sakne d, un tādā gadījumā vienīgais griezums ar X asi būtu (d, 0).

Var arī gadīties, ka trinomiālam nav īstas saknes, un tādā gadījumā tas nevienā vietā nešķērsotu X asi.

Piemēram, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² ir parabola ar virsotni pie (-3,0), kas krusto Y asi pie (0, 9) un uz X asi pie (-3,0).

Trinomiāls faktorings

Ļoti noderīgs rīks, strādājot ar polinomiem, ir faktorings, kas sastāv no polinoma izteikšanas kā faktoru reizinājumu. Kopumā, ņemot vērā formas trinomu x ² + bx + c, ja tai ir divas dažādas saknes d ₁ un d ₂ , to var aprēķināt kā (xd ₁ ) (xd ₂ ).

Ja tai ir viena sakne d, to var ņemt vērā kā (xd) (xd) = (xd) ² , un, ja tai nav īstas saknes, tā paliek tā pati; šajā gadījumā tas neatzīst faktorizāciju kā citu faktoru, kas nav pati par sevi, rezultātu.

Tas nozīmē, ka, zinot trinomu saknes jau izveidotajā formā, tā faktorizāciju var viegli izteikt, un, kā jau minēts iepriekš, šīs saknes vienmēr var noteikt, izmantojot rezolventu.

Tomēr ir ievērojams daudzums šāda veida trinomu, kurus var ņemt vērā, vispirms nezinot to saknes, kas vienkāršo darbu.

Saknes var noteikt tieši no faktorizācijas, neizmantojot šķīdinātāja formulu; tie ir polinomi formā x ² + (a + b) x + ab. Šajā gadījumā mums ir:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

No tā viegli redzams, ka saknes ir –a un –b.

Citiem vārdiem sakot, ņemot vērā trinomu x ² + bx + c, ja ir divi skaitļi u un v tā, ka c = uv un b = u + v, tad x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Tas ir, ņemot vērā trinomu x ² + bx + c, vispirms tiek pārbaudīts, vai ir divi cipari, kurus reizinot, tie piešķir neatkarīgo apzīmējumu (c) un saskaita (vai atņem, atkarībā no gadījuma), dod vārdu, kas pavada x ( b).

Ne visiem trinomāliem šādā veidā var izmantot šo metodi; kurā tas nav iespējams, tiek izmantota izšķirtspēja, un tiek piemērots iepriekš minētais.

Piemēri

1. piemērs

Lai faktorētu šo trinomu x ² + 3x + 2, rīkojieties šādi:

Jums jāatrod divi skaitļi tā, lai, tos pievienojot, rezultāts būtu 3 un reizinot tos, rezultāts būtu 2.

Pēc pārbaudes veikšanas var secināt, ka meklētie skaitļi ir: 2 un 1. Tāpēc x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

2. piemērs

Lai faktorētu trinomu x ² -5x + 6, mēs meklējam divus skaitļus, kuru summa ir -5 un to reizinājums ir 6. Skaitļi, kas atbilst šiem diviem nosacījumiem, ir -3 un -2. Tāpēc dinētās trinomijas faktorizācija ir x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Atsauces

1. Fuentes, A. (2016). PAMATMAKSAS. Ievads aprēķinam. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matemātika: kvadrātvienādojumi: Kā atrisināt kvadrātvienādojumu. Marilù Garo.
3. Hausslers, EF un Pols, RS (2003). Vadības un ekonomikas matemātika. Pīrsona izglītība.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemātika 1 SEP. Slieksnis.
5. Preciado, CT (2005). Matemātikas 3. kurss. Redakcijas Progreso.
6. Roka, NM (2006). Algebra I Ir viegli! Tik vienkārši. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra un trigonometrija. Pīrsona izglītība.