VIENĀDSĀNU TRIJSTŪRIS: RAKSTURLIELUMI, FORMULA UN LAUKUMS, APRĒĶINS - MATEMĀTIKA - 2025

Vienādsānu trijstūris ir daudzstūris ar trim pusēm, kur divi no tiem ir tāds pats pasākums, un trešo pusi cits pasākums. Šo pēdējo pusi sauc par bāzi. Sakarā ar šo īpašību tai tika piešķirts šis nosaukums, kas grieķu valodā nozīmē “vienādas kājas”

Trijstūri ir daudzstūri, ko ģeometrijā uzskata par vienkāršākajiem, jo ​​tos veido trīs malas, trīs leņķi un trīs virsotnes. Tie ir tie, kuriem ir vismazāk sānu un leņķu attiecībā pret pārējiem daudzstūriem, tomēr to izmantošana ir ļoti plaša.

Vienādsānu trijstūru raksturojums

Vienādlapu trīsstūri klasificēja, izmantojot parametru, kura malas bija tās malas, jo divas tā malas ir sakrīt (tām ir vienāds garums).

Balstoties uz iekšējo leņķu amplitūdu, vienādsānu trijstūrus klasificē šādi:

• Vienādmalu taisnstūris : divas tā malas ir vienādas. Viens stūris ir taisna (90 ^vai ) un citi ir tas pats (45 ^vai katru)
• Vienādās daļas aplauztais trīsstūris : divas tā malas ir vienādas. Viens no leņķiem ir neķītrs (> 90 ^vai ).
• Asosceles akūts trīsstūris : divas tā malas ir vienādas. Visi leņķi ir akūti (<90 ^vai ), ja abiem ir vienāds izmērs.

Komponenti

• Mediāna : tā ir līnija, kas sākas no vienas puses viduspunkta un sasniedz pretējo virsotni. Trīs mediānas satiekas vietā, ko sauc par barycenter vai centroid.
• Bisektors : tas ir stars, kas sadala katras virsotnes leņķi divos vienāda leņķa leņķos. Tāpēc to sauc par simetrijas asi, un šāda veida trijstūriem ir tikai viena.
• Bisektors : tas ir segments, kas ir perpendikulārs trijstūra sāniem, kura izcelsme ir tā vidū. Trijstūrī ir trīs starpstūri, un tie satiekas vietā, ko sauc par circumcenter.
• Augstums : tā ir līnija, kas iet no virsotnes uz pretējo pusi, un arī šī līnija ir perpendikulāra šai pusei. Visiem trīsstūriem ir trīs augstumi, kas sakrīt punktā, ko sauc par ortocentru.

Īpašības

Vienādsānu trijstūri ir definēti vai identificēti, jo tiem ir vairākas īpašības, kas tos attēlo, kas izriet no teoremām, kuras ierosinājuši lielie matemātiķi:

Iekšējie leņķi

Interjera leņķu summa vienmēr ir vienāda ar 180 ^° .

Pušu summa

Abu pušu izmēru summai vienmēr jābūt lielākai par trešās puses izmēru a + b> c.

Saraujošās puses

Vienādsānu trijstūriem ir divas malas ar vienādu izmēru vai garumu; tas ir, tie ir saskanīgi, un trešā puse atšķiras no šiem.

Izliekti leņķi

Vienādiņu trijstūri tiek saukti arī par izliektiem trīsstūriem, jo ​​tiem ir divi leņķi, kuriem ir vienāds izmērs (sakrīt). Tie atrodas trijstūra pamatnē, pretī pusēm, kuras ir vienāda garuma.

Tādēļ tika izveidota teorēma, kurā teikts:

"Ja trīsstūrim ir divas saderīgas puses, leņķi, kas atrodas pretī šīm pusēm, arī būs sakrīt." Tāpēc, ja trīsstūris ir vienādsānu, tā pamatnes leņķi ir sakrīt.

Piemērs:

Nākamais attēls parāda trīsstūri ABC. Novelkot bisektoru no leņķa B virsotnes līdz pamatnei, trīsstūris tiek sadalīts divos vienādos trīsstūros BDA un BDC:

Tādā veidā arī virsotnes B leņķis tika sadalīts divos vienādos leņķos. Bisektors tagad ir kopīgā puse (BD) starp šiem diviem jaunajiem trīsstūriem, bet malas AB un BC ir sakrītās puses. Tādējādi mums ir sānu, leņķu, sānu (LAL) sakrītības gadījums.

Tas parāda, ka virsotņu A un C leņķiem ir vienāds izmērs, kā arī var parādīt, ka, tā kā trijstūri BDA un BDC ir sakrīt, sāni AD un DC ir arī sakrīt.

Augstums, mediāna, bisektors un bisektors ir sakritīgi

Līnija, kas tiek novilkta no virsotnes, kas atrodas pretī pamatnei līdz vienādsānu trijstūra pamatnes viduspunktam, vienlaikus ir augstums, vidējā un bisektrise, kā arī bisektors attiecībā pret pamatnes pretējo leņķi.

Visi šie segmenti sakrīt vienā, kas tos attēlo.

Piemērs:

Nākamajā attēlā parādīts trīsstūris ABC ar viduspunktu M, kas sadala pamatni divos segmentos BM un CM.

Nozīmējot segmentu no punkta M līdz pretējai virsotnei, pēc definīcijas iegūst vidējo AM, kas ir attiecībā pret virsotni A un sānu BC.

Tā kā segments AM sadala trīsstūri ABC divos vienādos trijstūros AMB un AMC, tas nozīmē, ka būs kongruences puses, leņķa, malas gadījums, un tāpēc AM būs arī BÂC bisektors.

Tāpēc bisektors vienmēr būs vienāds ar mediānu un otrādi.

Segments AM veido leņķus, kuriem ir vienāds izmērs trīsstūriem AMB un AMC; tas ir, tie ir papildinoši tādā veidā, ka katra no tiem mērs:

Vidējs (AMB) + vidējs (AMC) = 180 ^vai

2 _* vid. (AMC) = 180 ^vai

Med. (AMC) = 180 ^vai ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^vai

Var zināt, ka leņķi, ko veido segments AM attiecībā pret trīsstūra pamatni, ir taisnība, kas norāda, ka šis segments ir pilnīgi perpendikulārs pamatnei.

Tāpēc tas apzīmē augstumu un bisektoru, zinot, ka M ir viduspunkts.

Tāpēc rindiņa AM:

• Pārstāv BC augstumā.
• Ir vidēja lieluma.
• Tas atrodas BC bisektorā.
• Tas ir virsotnes leņķa bisektors Â

Relatīvais augstums

Augstumiem, kas ir relatīvi vienādām pusēm, ir arī tāds pats mērījums.

Tā kā vienādsānu trijstūrim ir divas vienādas malas, arī to abi augstumi būs vienādi.

Ortocentrs, barycenter, stimulators un nejaušs apkārtmērs

Tā kā augstumu, vidējo, bisektoru un bisektoru attiecībā pret pamatni vienlaikus attēlo viens un tas pats segments, ortoscenters, barycenter stimulators un circumcenter būs kolineāri punkti, tas ir, tie atradīsies uz vienas līnijas:

Kā aprēķināt perimetru?

Daudzstūra perimetru aprēķina, saskaitot malas.

Tā kā šajā gadījumā vienādsānu trijstūrim ir divas malas ar vienādu izmēru, tā perimetru aprēķina pēc šādas formulas:

P = 2 _* (a puse) + (b puse).

Kā aprēķināt augstumu?

Augstums ir līnija, kas ir perpendikulāra pamatnei, tā sadala trīsstūri divās vienādās daļās, jo tā stiepjas pretējā virsotnē.

Augstums apzīmē pretējo kāju (a), pamatnes vidusdaļu (b / 2) blakus esošajai kājiņai un sānu “a” apzīmē hipotenūza.

Izmantojot Pitagora teorēmu, augstuma vērtību var noteikt:

a ² + b ² = c ²

Kur:

a ² = augstums (h).

b ² = b / 2.

c ² = puse a.

Aizstājot šīs vērtības Pitagora teorēmā un atrisinot augstumu, mums ir:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = ²

h ² = a ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4).

Ja ir zināms leņķis, ko veido sakrustotās puses, augstumu var aprēķināt pēc šādas formulas:

Kā aprēķināt platību?

Trijstūru laukumu vienmēr aprēķina ar to pašu formulu, reizinot pamatni ar augstumu un dalot ar divām:

Ir gadījumi, kad ir zināmi tikai trīsstūra divu malu un starp tām izveidotā leņķa mērījumi. Šajā gadījumā, lai noteiktu laukumu, ir jāpiemēro trigonometriskās attiecības:

Kā aprēķināt trīsstūra pamatni?

Tā kā vienādsānu trijstūrim ir divas vienādas malas, lai noteiktu tā pamatnes vērtību, jums jāzina vismaz augstuma lielums vai viens no tā leņķiem.

Zinot augstumu, tiek izmantota Pitagora teorēma:

a ² + b ² = c ²

Kur:

a ² = augstums (h).

c ² = puse a.

b ² = b / 2, nav zināms.

Mēs atdalām b ² no formulas, un mums ir:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Tā kā šī vērtība atbilst pusei no pamatnes, tā jāreizina ar divām, lai iegūtu pilnīgu vienādsānu trijstūra pamatnes izmēru:

b = 2 _* (√ a ² - c ² )

Gadījumā, ja ir zināma tikai tās vienādo malu vērtība un leņķis starp tām, tiek piemērota trigonometrija, no virsotnes līdz pamatnei novilkot līniju, kas sadala vienādsānu trīsstūri divos taisnos trīsstūros.

Tādā veidā pusi no pamatnes aprēķina ar:

Iespējams arī, ka ir zināma tikai virsotnes, kas atrodas pretī pamatnei, augstuma un leņķa vērtība. Tādā gadījumā ar trigonometrijas palīdzību bāzi var noteikt:

Vingrinājumi

Pirmais vingrinājums

Atrodiet vienādsānu trijstūra ABC laukumu, zinot, ka divas tā malas ir 10 cm, bet trešā - 12 cm.

Risinājums

Lai atrastu trijstūra laukumu, ir jāaprēķina augstums, izmantojot laukuma formulu, kas ir saistīta ar Pitagora teorēmu, jo nav zināma leņķa vērtība, kas veidojas starp vienādām pusēm.

Mums ir šādi dati par vienādsānu trijstūri:

• Vienādas malas (a) = 10 cm.
• Bāze (b) = 12 cm.

Vērtības aizstāj ar formulu:

Otrais vingrinājums

Vienādsānu trijstūra divu vienādu malu garums ir 42 cm, šo sienu savienojums veido 130 ^vai 40 ° leņķi . Nosakiet trešās puses vērtību, šī trīsstūra laukumu un perimetru.

Risinājums

Šajā gadījumā ir zināmi sānu un leņķa mērījumi.

Lai zinātu trūkstošās puses vērtību, tas ir, šī trīsstūra pamatni, tiek novilkta tai perpendikulāra līnija, sadalot leņķi divās vienādās daļās, pa vienai katram veidotajam labajam trīsstūrim.

• Vienādas malas (a) = 42 cm.
• Leņķis (Ɵ) = 130 ^o

Pēc trigonometrijas tiek aprēķināta puse no pamatnes vērtības, kas atbilst pusei hipotenūzes:

Lai aprēķinātu laukumu, ir jāzina šī trīsstūra augstums, ko var aprēķināt ar trigonometriju vai ar Pitagora teorēmu, tagad, kad pamatnes vērtība jau ir noteikta.

Pēc trigonometrijas tas būs:

Perimetrs tiek aprēķināts:

P = 2 _* (a puse) + (b puse).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Trešais vingrinājums

Aprēķiniet vienādsānu trijstūra iekšējos leņķus, zinot, ka pamatnes leņķis ir  = 55 ^vai

Risinājums

Lai atrastu divus trūkstošos leņķus (Ê un Ô), ir jāatceras divas trīsstūru īpašības:

• Katra trīsstūra iekšējo leņķu summa vienmēr būs = 180 ^vai :

 + Ê + Ô = 180 ^vai

• Vienādsānu trīsstūrī pamatnes leņķi vienmēr ir sakrīt, tas ir, tiem ir vienāds izmērs, tāpēc:

 = Ô

Ê = 55 ^vai

Lai noteiktu leņķa Ê vērtību, ar pirmo leņķi aizstājam citu leņķu vērtības un solve atrisinām:

55 ^vai + 55, ^vai + Ô = 180 ^vai

110 ^vai + Ô = 180 ^vai

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o .

Atsauces

1. Álvarezs, E. (2003). Ģeometrijas elementi: ar daudziem vingrinājumiem un kompasa ģeometriju. Medeljinas Universitāte.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Tehniskais zīmējums: aktivitātes piezīmju grāmatiņa.
3. Eņģelis, AR (2007). Elementārā algebra. Pīrsona izglītība.
4. Artūrs Gudmens, LH (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pīrsona izglītība.
5. Baldors, A. (1941). Algebra. Havana: kultūra.
6. Hosē Džimēnezs, LJ (2006). 2. matemātika.
7. Tuma, J. (1998). Inženiermatemātikas rokasgrāmata. Volframs Matemātika.