SKALĒNSTŪRIS: RAKSTURLIELUMI, FORMULA UN LAUKUMI, APRĒĶINS - MATEMĀTIKA - 2025

Scalene trīsstūris ir daudzstūris ar trim pusēm, kuras visas ir atšķirīgas pasākumus vai garumu; šī iemesla dēļ tai tiek dots skalena nosaukums, kas latīņu valodā nozīmē kāpšanu.

Trijstūri ir daudzstūri, ko ģeometrijā uzskata par vienkāršākajiem, jo ​​tos veido trīs malas, trīs leņķi un trīs virsotnes. Ja mēroga trīsstūris ir atšķirīgs no visām pusēm, tas nozīmē, ka arī tā trīs leņķi būs pārāk lieli.

Skalas trīsstūru raksturojums

Skalēniskie trīsstūri ir vienkārši daudzstūri, jo nevienai no to malām vai leņķiem nav vienāds izmērs, atšķirībā no vienādsānu un vienādmalu trīsstūriem.

Tā kā visām to malām un leņķiem ir dažādi izmēri, šie trīsstūri tiek uzskatīti par neregulāriem izliektiem daudzstūriem.

Balstoties uz iekšējo leņķu amplitūdu, mēroga trīsstūrus klasificē šādi:

• Skalēnas labais trīsstūris : visas puses ir atšķirīgas. Viens no tā leņķiem ir taisns (90 ^vai ), bet pārējie ir asi un ar dažādiem izmēriem.
• Nepatīkams mēroga trīsstūris : visas malas ir atšķirīgas, un viens no tā leņķiem ir izteikts (> 90 ^vai ).
• Skalēnijas akūtais trīsstūris : visas puses ir atšķirīgas. Visi leņķi ir akūti (<90 ^vai ) ar dažādiem izmēriem.

Vēl viena mēroga trijstūru īpašība ir tāda, ka to malu un leņķu neatbilstības dēļ tām nav simetrijas ass.

Komponenti

Mediāna : tā ir līnija, kas sākas no vienas puses viduspunkta un sasniedz pretējo virsotni. Trīs mediānas satiekas vietā, ko sauc par barycenter vai centroid.

Bisektors : tas ir stars, kas sadala katru leņķi divos vienāda leņķa leņķos. Trīsstūra bisektriķi satiekas vietā, ko sauc par stimulatoru.

Bisektors : tas ir segments, kas ir perpendikulārs trijstūra sāniem, kura izcelsme ir tā vidū. Trīsstūrī ir trīs sadalītāji, un tie satiekas vietā, ko sauc par circumcenter.

Augstums : tā ir līnija, kas iet no virsotnes uz pretējo pusi, un arī šī līnija ir perpendikulāra šai pusei. Visiem trīsstūriem ir trīs augstumi, kas sakrīt punktā, ko sauc par ortocentru.

Īpašības

Skalēniskie trijstūri ir definēti vai identificēti, jo tiem ir vairākas īpašības, kas tos attēlo, kas izriet no teoremām, kuras ierosinājuši lieliski matemātiķi. Viņi ir:

Iekšējie leņķi

Interjera leņķu summa vienmēr ir vienāda ar 180 ^° .

Pušu summa

Abu pušu izmēru summai vienmēr jābūt lielākai par trešās puses izmēru a + b> c.

Neizteiktas puses

Visām mēroga trīsstūru malām ir dažādi izmēri vai garumi; tas ir, tie ir neatbilstīgi.

Nepilnīgi leņķi

Tā kā visas skalas trīsstūra malas ir atšķirīgas, būs arī tā leņķi. Tomēr iekšējo leņķu summa vienmēr būs vienāda ar 180 °, un dažos gadījumos viens no tā leņķiem var būt pārmērīgs vai taisns, bet citās - visi leņķi būs asi.

Augstums, vidējais, bisektors un bisektors nesakrīt

Tāpat kā jebkuram trīsstūrim, mērogā ir dažādi līniju segmenti, kas to veido, piemēram: augstums, vidējais, bisektors un bisektors.

Sakarā ar tā malu īpatnībām, šāda veida trīsstūrī neviena no šīm līnijām nesakrīt vienā.

Orthocenter, barycenter, cilteris un circumcenter nav sakrīt

Tā kā augstumu, mediānu, bisektoru un bisektoru attēlo dažādi līnijas segmenti, mēroga trīsstūrī tikšanās punkti - ortocentrs, stimulators un circumcenter - tiks izvietoti dažādos punktos (tie nesakrīt).

Atkarībā no tā, vai trijstūris ir akūts, pa labi vai mērogā, ortopēdam ir dažādas atrašanās vietas:

uz. Ja trijstūris ir akūts, ortosistēma atradīsies trijstūra iekšpusē.

b. Ja trīsstūris ir pa labi, ortocentrs sakrīt ar labās puses virsotni.

c. Ja trijstūris ir pārāk izteikts, ortosentrs atradīsies trijstūra ārpusē.

Relatīvais augstums

Augstumi ir relatīvi pret sāniem.

Skalnes trīsstūris šiem augstumiem būs atšķirīgi. Katrā trīsstūrī ir trīs relatīvie augstumi, un to aprēķināšanai tiek izmantota Herona formula.

Kā aprēķināt perimetru?

Daudzstūra perimetru aprēķina, saskaitot malas.

Tā kā šajā gadījumā mēroga trīsstūrim ir visas malas ar dažādiem izmēriem, tā perimetrs ir:

P = puse a + puse b + puse c.

Kā aprēķināt platību?

Trijstūru laukumu vienmēr aprēķina ar to pašu formulu, reizinot bāzes reizes augstumu un dalot ar divām:

Platība = (pamatne _* h) ÷ 2

Dažos gadījumos mēroga trīsstūra augstums nav zināms, taču ir formula, kuru ieteica matemātiķis Herons, lai aprēķinātu laukumu, zinot trīsstūra trīs malu lielumu.

Kur:

• a, b un c apzīmē trīsstūra malas.
• sp, atbilst trīsstūra pusperimetram, tas ir, pusei no perimetra:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Gadījumā, ja mums ir tikai divu trijstūra malu izmērs un leņķis, kas izveidots starp tām, laukumu var aprēķināt, izmantojot trigonometriskās attiecības. Tātad jums:

Platība = (mala _* h) ÷ 2

Kur augstums (h) ir vienas puses un pretējā leņķa sinusa reizinājums. Piemēram, katrai pusei platība būs šāda:

• Platība = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Platība = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Platība = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Kā aprēķināt augstumu?

Tā kā visas mēroga trīsstūra malas ir atšķirīgas, augstumu ar Pitagora teorēmu aprēķināt nav iespējams.

Pēc Herona formulas, kas balstīta uz trīsstūra trīs malu izmēriem, var aprēķināt laukumu.

Augstumu var notīrīt no apgabala vispārīgās formulas:

Sānu aizstāj ar a, b vai c malas izmēru.

Vēl viens veids, kā aprēķināt augstumu, kad ir zināma viena no leņķiem vērtība, ir, izmantojot trigonometriskās attiecības, kur augstums attēlo trīsstūra kāju.

Piemēram, kad ir zināms leņķis, kas atrodas pretī augstumam, to nosaka ar sinusu:

Kā aprēķināt malas?

Kad jums ir divu sānu izmērs un leņķis pret tām, trešo daļu ir iespējams noteikt, izmantojot kosinusa teorēmu.

Piemēram, trijstūrī AB tiek attēlots augstums attiecībā pret segmentu AC. Tādā veidā trīsstūris ir sadalīts divos taisnstūros.

Lai aprēķinātu c malu (segments AB), katram trijstūrim piemēro Pitagora teorēmu:

• Zilajam trīsstūrim, kas mums ir:

c ² = h ² + m ²

Tā kā m = b - n, mēs aizstājam:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2 miljardi + n ² .

• Lai iegūtu rozā trīsstūri, jums:

h ² = a ² - n ²

Tas tiek aizstāts iepriekšējā vienādojumā:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2 miljardi + n ²

c ² = a ² + b ² - 2 miljardi.

Zinot, ka n = a _* cos C, tas tiek aizstāts ar iepriekšējo vienādojumu un tiek iegūta sānu c vērtība:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Saskaņā ar Kosinēzijas likumu puses var aprēķināt šādi:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Ir gadījumi, kad nav zināmi trijstūra malu izmēri, bet gan to augstums un virsotnēs izveidotie leņķi. Lai noteiktu laukumu šajos gadījumos, ir jāpiemēro trigonometriskās attiecības.

Zinot vienas tās virsotnes leņķi, kājas identificē un izmanto atbilstošo trigonometrisko attiecību:

Piemēram, kāja AB būs pretēja leņķim C, bet blakus leņķim A. Atkarībā no sānu vai kājas, kas atbilst augstumam, otra puse tiek notīrīta, lai iegūtu šīs vērtības.

Vingrinājumi

Pirmais vingrinājums

Aprēķiniet mēroga trīsstūra ABC laukumu un augstumu, zinot, ka tā malas ir:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Risinājums

Kā dati ir norādīti mēroga trīsstūra trīs malu izmēri.

Tā kā augstuma vērtība nav pieejama, laukumu var noteikt, izmantojot Herona formulu.

Vispirms aprēķina pusperimetru:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Tagad vērtības ir aizstātas Herona formulā:

Zinot laukumu, var aprēķināt augstumu attiecībā pret b pusi. Izmantojot vispārīgo formulu, to dzēšot, mums ir:

Platība = (mala _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Otrais vingrinājums

Ņemot vērā mēroga trīsstūri ABC, kura izmēri ir:

• AB segments = 25 m.
• Segments BC = 15 m.

B virsotnē veido 50 ° leņķi. Aprēķiniet augstumu attiecībā pret šī trijstūra sānu c, perimetru un laukumu.

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir divu pušu izmēri. Lai noteiktu augstumu, ir jāaprēķina trešās puses izmērs.

Tā kā ir dots leņķis, kas ir pretējs dotajām pusēm, ir iespējams piemērot kosinusu likumu, lai noteiktu sānu AC (b) lielumu:

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Kur:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = maiņstrāva.

B = 50 ^o .

Dati tiek aizstāti:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482 025)

b ² = 367 985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Tā kā mums jau ir trīs malu vērtība, tiek aprēķināts trijstūra perimetrs:

P = puse a + puse b + puse c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Tagad ir iespējams noteikt platību, izmantojot Herona formulu, bet vispirms ir jāaprēķina semiperimetrs:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Sānu un pusperimetru mērījumi ir aizstāti ar Herona formulu:

Visbeidzot, zinot laukumu, var aprēķināt augstumu attiecībā pret c pusi. No vispārīgās formulas, to notīrot, jums:

Platība = (mala _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Trešais vingrinājums

Mēroga trīsstūrī ABC puse b ir 40 cm, mala c ir 22 cm, un virsotnei A veidojas leņķis 90 ^vai . Aprēķiniet šī trīsstūra laukumu.

Risinājums

Šajā gadījumā tiek parādīti mēroga trīsstūra ABC divu malu izmēri, kā arī leņķis, kas veidojas virsotnē A.

Lai noteiktu laukumu, nav jāaprēķina sānu a izmērs, jo caur trigonometriskajām attiecībām tā atrašanai izmanto leņķi.

Tā kā ir zināms leņķis, kas atrodas pretī augstumam, to nosaka pēc vienas puses un leņķa sinusa reizinājuma.

Aizstājot apgabala formulu, kas mums ir:

• Platība = (mala _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Platība = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Platība = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Platība = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Platība = 880 cm ² ÷ 2

Platība = 440 cm ² .

Atsauces

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Tehniskais zīmējums: aktivitātes piezīmju grāmatiņa.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Ģeometrijas. CR tehnoloģija,.
3. Eņģelis, AR (2007). Elementārā algebra. Pīrsona izglītība ,.
4. Baldors, A. (1941). Algebra. Havana: kultūra.
5. Barbosa, JL (2006). Plaknes Eiklīda ģeometrija. Riodežaneiro,.
6. Koksters, H. (1971). Ģeometrijas pamati. Meksika: Limusa-Wiley.
7. Daniels C. Aleksandrs, GM (2014). Elementārā ģeometrija koledžas studentiem. Cengage mācīšanās.
8. Harpe, P. d. (2000). Ģeometrisko grupu teorijas tēmas. University of Chicago Press.