AKŪTS TRĪSSTŪRIS: RAKSTURLIELUMI UN VEIDI - MATEMĀTIKA - 2025

Par akūtas trīsstūri ir tie, kuru trīs iekšējie leņķi ir akūtas leņķi; tas ir, katra no šiem leņķiem lielums ir mazāks par 90 °. Tā kā mums nav taisna leņķa, Pitagora teorēma šai ģeometriskajai figūrai neatbilst.

Tāpēc, ja mēs vēlamies iegūt kāda veida informāciju par jebkuru tās malu vai leņķi, ir jāizmanto citas teorēmas, kas ļauj mums piekļūt minētajiem datiem. Tos, kurus mēs varam izmantot, ir sinusa teorēma un kosinusa teorēma.

raksturojums

Starp raksturlielumiem, kas piemīt šai ģeometriskajai figūrai, mēs varam izcelt tās, kuras piešķir vienkāršs fakts - tas ir trīsstūris. Starp tiem mums ir:

- Trijstūris ir daudzstūris, kam ir trīs malas un trīs leņķi.

- Tā trīs iekšējo leņķu summa ir vienāda ar 180 °.

- Divu tās malu summa vienmēr ir lielāka par trešo.

Kā piemēru apskatīsim šo trīsstūri ABC. Vispārīgi mēs identificējam tās malas ar mazo burtu un leņķus ar lielo burtu tādā veidā, lai vienai pusei un tās pretējam leņķim būtu vienāds burts.

No jau norādītajām īpašībām mēs zinām, ka:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b un b + c> a

Galvenā iezīme, kas atšķir šāda veida trīsstūri no pārējiem, ir tā, ka, kā mēs jau minējām, tā iekšējie leņķi ir akūti; tas ir, katra tā leņķa izmērs ir mazāks par 90 °.

Akūti trīsstūri kopā ar nelīdzeniem trijstūriem (tiem, kuru viena leņķa izmērs ir lielāks par 90 °), ir daļa no slīpa trīsstūra. Šo komplektu veido trīsstūri, kas nav taisni leņķi.

Tā kā slīpi trīsstūri ir daļa, mums jāspēj risināt problēmas, kas saistītas ar akūtiem trīsstūriem, mums jāizmanto sinusa teorēma un kosinusa teorēma.

Sinusa teorēma

Sinusa teorēma stāsta, ka vienas puses un pretējā leņķa sinusa attiecība ir vienāda ar divkāršu apļa rādiusu, ko veido minētā trijstūra trīs virsotnes. Proti:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kosinusa teorēma

No otras puses, kosinusa teorēma dod mums šos trīs vienādojumus jebkuram trīsstūrim ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Šīs teorēmas ir attiecīgi zināmas arī kā sinusa likums un kosinusa likums.

Vēl viena raksturīga pazīme, ko mēs varam dot akūtiem trīsstūriem, ir tā, ka divi no tiem ir vienādi, ja tie atbilst kādam no šiem kritērijiem:

- Ja viņiem ir vienādas trīs puses.

- Ja tām ir viena puse un divi vienādi leņķi viens pret otru.

- Ja tām ir divas vienādas malas un leņķis.

Veidi

Akūtus trīsstūrus var klasificēt pēc to malām. Tie varētu būt:

Vienādmalu akūti trīsstūri

Tie ir akūti trīsstūri, kuru visas malas ir vienādas, un tāpēc visiem to iekšējiem leņķiem ir vienāda vērtība, kas ir A = B = C = 60 ° grādi.

Kā piemēru ņemsim šādu trīsstūri, kura malu a, b un c vērtība ir 4.

Asosceles akūti trīsstūri

Šiem trīsstūriem papildus akūtiem iekšējiem leņķiem ir arī tāda īpašība, ka tiem ir divas no vienādām pusēm un trešais, ko parasti uzskata par pamatni, ir atšķirīgs.

Šāda veida trijstūru piemērs var būt tāds, kura pamatne ir 3, bet tā pārējo divu malu vērtība ir 5. Veicot šos mērījumus, tam būtu pretēji leņķi vienādām pusēm ar vērtību 72,55 ° un pretējs leņķis pamatne būtu 34,9 °.

Skalēniskie akūtie trīsstūri

Tie ir trīsstūri, kuriem visiem ir dažādas malas pa vienam. Tāpēc visi tā leņķi papildus tam, ka tas ir mazāks par 90 °, atšķiras no diviem līdz diviem.

Trīsstūris DEF (kura izmēri ir d = 4, e = 5 un f = 6 un tā leņķi ir D = 41,41 °, E = 55,79 ° un F = 82,8 °) ir labs akūta trīsstūra piemērs. skala.

Akūtu trīsstūru izšķirtspēja

Kā jau teicām iepriekš, lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar akūtiem trīsstūriem, ir jāizmanto sinusa un kosinusa teorēmas.

1. piemērs

Ņemot vērā trīsstūri ABC ar leņķiem A = 30 °, B = 70 ° un malu a = 5cm, mēs vēlamies uzzināt leņķa C un sānu b un c vērtību.

Pirmais, ko mēs darām, ir izmantot faktu, ka trīsstūra iekšējo leņķu summa ir 180 °, lai iegūtu leņķa C vērtību.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Mēs notīrām C un mums ir:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Tā kā mēs jau zinām trīs leņķus un vienu pusi, mēs varam izmantot sinusa teorēmu, lai noteiktu atlikušo malu vērtību. Pēc teorēmas mums ir:

a / sin (A) = b / sin (B) un a / sin (A) = c / (sin (C)

Mēs atdalām b no vienādojuma, un mums atliek:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Tagad mums jāaprēķina tikai c vērtība. Mēs rīkojamies tāpat kā iepriekšējā gadījumā:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Tādējādi mēs iegūstam visus trīsstūra datus. Kā redzam, šis trīsstūris ietilpst skalas akūta trīsstūra kategorijā.

2. piemērs

Ņemot vērā trīsstūri DEF ar malām d = 4cm, e = 5cm un f = 6cm, mēs vēlamies uzzināt minētā trijstūra leņķu vērtību.

Šajā gadījumā mēs izmantosim kosinusa likumu, kurā teikts, ka:

d ² = e ² + f ² - ² efcos (D)

Izmantojot šo vienādojumu, mēs varam atrisināt cos (D), kas rezultātā dod:

Košs (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Tādējādi mums ir D≈ 41,41 °

Izmantojot tagad senoma teorēmu, mums ir šāds vienādojums:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Risinot grēku (E), mums ir:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Līdz ar to mums ir E≈55,79 °

Visbeidzot, izmantojot to, ka trīsstūra iekšējo leņķu summa ir 180 °, mums ir F≈82.8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Ģeometrija (atkārtota drukāšana). Progress.
2. Leikijs, D. (2006). Trijstūri (ilustrēts red.). Heinemann-Raintree.
3. Leāls G. Huans Manuels (2003). Plaknes metriskā ģeometrija
4. Ruiza, Á., Un Barrantes, H. (2006). Ģeometrijas. CR tehnoloģija.
5. Sullivans, M. (1997). Trigonometrija un analītiskā ģeometrija. Pīrsona izglītība.