VIENĀDLAPU TRAPECVEIDA: ĪPAŠĪBAS, ATTIECĪBAS UN FORMULAS, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Vienādsānu trapeces ir četrstūris, kurā divas puses ir paralēli viens otram, un turklāt, divi leņķi blakus vienam no šo paralēlo pusēs ir vienāds pasākumu.

1. attēlā mums ir četrstūris ABCD, kurā malas AD un BC ir paralēlas. Turklāt leņķiem ∠DAB un ∠ADC, kas atrodas blakus paralēlajai pusei AD, ir vienāds lielums α.

1. attēls. Vienādas trapeces. Avots: F. Zapata.

Tātad šis četrstūris jeb četrpusējs daudzstūris faktiski ir vienādsānu trapecveida.

Trapecveida formā paralēlas malas sauc par pamatnēm, bet ne paralēlas puses - par sānu. Vēl viena svarīga īpašība ir augstums, kas ir attālums, kas atdala paralēlās puses.

Bez vienādsānu trapecveida ir arī citi trapecveida veidi:

-T rapezoid scalene, kurai ir visi leņķi un dažādas malas.

- taisnstūrveida rapezoid, kurā vienā pusē ir taisni blakus leņķi.

Trapecveida forma ir izplatīta dažādās dizaina, arhitektūras, elektronikas, aprēķinu un daudzās citās jomās, kā tas tiks parādīts vēlāk. Tāpēc ir svarīgi iepazīties ar tā īpašībām.

Īpašības

Ekskluzīvi vienādas salu trapecē

Ja trapecveida ir vienādsānu, tad tai ir šādas raksturīgās īpašības:

1.- Pusēm ir vienāds mērījums.

2.- Leņķi, kas atrodas blakus pamatnēm, ir vienādi.

3.- Pretēji leņķi ir papildinājumi.

4. Diagonālēm ir vienāds garums, un abi segmenti, kas savienojas ar pretējām virsotnēm, ir vienādi.

5.- Leņķis, kas izveidots starp pamatnēm un diagonālēm, ir viens un tas pats.

6.- Tam ir noteikts apkārtmērs.

Un otrādi, ja trapecveida atbilst kādai no iepriekšminētajām īpašībām, tad tas ir vienādsānu trapeces.

Ja vienādsānu trapecē viens no leņķiem ir pa labi (90º), tad arī visi pārējie leņķi būs taisni, veidojot taisnstūri. Tas ir, taisnstūris ir vienādsānu trapecveida gadījums.

2. attēls. Popkorna trauks un skolas galdi ir formas vienādsānu trapecveida. Avots: Pxfuel (pa kreisi) / McDowell Craig caur Flickr. (taisnība)

Visām trapecēm

Šādi īpašību kopumi ir derīgi jebkuram trapecveida veidam:

7. Trapecijas vidusdaļa, tas ir, segments, kas savieno tās nelīdzeno sānu viduspunktus, ir paralēls jebkurai pamatnei.

8. Mediānas garums ir vienāds ar tā bāzu puslodi (summu, dalītu ar 2).

9. Trapecveida vidusdaļa nogriež diagonāles viduspunktā.

10. Trapecveida diagonāles krustojas punktā, kas tos sadala divās daļās proporcionāli pamatnes koeficientam.

11. Trapecveida diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tās malu kvadrātu summu plus tās pamatņu dubultā reizinājums.

12.- Segmenta, kas savieno diagonāles viduspunktus, garums ir vienāds ar bāzu puslīdz starpību.

13.- Leņķi, kas atrodas blakus sāniem, ir papildu.

14. Trapecam ir apzīmēts apkārtmērs tikai un vienīgi tad, ja tā pamatnes summa ir vienāda ar tā malu summu.

15.- Ja trapecveida formā ir apzīmēts apkārtmērs, tad leņķi ar virsotni minētā apkārtmēra centrā un malām, kas iet caur vienas un tās pašas puses galiem, ir taisni.

Attiecības un formulas

Šāds attiecību un formulu kopums ir minēts 3. attēlā, kur papildus vienādsānu trapecveida parādīti arī citi svarīgi jau minētie segmenti, piemēram, diagonāles, augstums un mediāna.

3. attēls. Mediāna, diagonāles, augstums un apkārtmērs vienādsānu trapecveida formā. Avots: F. Zapata.

Vienādojuma trapeces unikālās attiecības

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA un ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º un ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = maiņstrāva

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C un D pieder pie noteiktā apļa.

Attiecības jebkurai trapecei

1. Ja AK = KB un DL = LC ⇒ KL - AD un KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 un DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC un DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º un ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Ja AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R, nekā vienādā attālumā no AD, BC, AB un DC

15.- Ja ∃ R ir vienādā attālumā no AD, BC, AB un DC, tad:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Attiecības vienādsānu trapecē ar ierakstītu apkārtmēru

Ja vienādsānu trapeces formā bāzu summa ir vienāda ar divreiz lielāku sānu, tad uzraksts ir apkārtmērs.

4. attēls. Trapecveida forma ar uzrakstītu apkārtmēru. Avots: F. Zapata.

Ja vienādas svītru trapecveida apkārtmēram ir uzraksts ar apkārtmēru, piemēro šādas īpašības (sk. Iepriekš 4. attēlu):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Diagonāles krustojas taisnā leņķī: AC ⊥ BD

18.- Augstums mēra to pašu, ko mediāna: HF = KL, tas ir, h = m.

19.- Augstuma kvadrāts ir vienāds ar bāzu reizinājumu: h ² = BC⋅AD

20. Šajos īpašajos apstākļos trapecveida laukums ir vienāds ar augstuma kvadrātu vai pamatnes reizinājumu: Platība = h ² = BC⋅AD.

Formulas vienas puses noteikšanai, otras puses un leņķa zināšanai

Zinot pamatni, sānu un leņķi, otru pamatni var noteikt pēc:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c cos α

Ja pamatņu garums un leņķis ir doti kā zināmi dati, tad abu pušu garumi ir:

c = (a - b) / (2 koši α)

Vienas puses noteikšana, pārējo pazīšana un diagonāle

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Kur d ₁ ir diagonāļu garums.

Pamatne no augstuma, laukuma un citas pamatnes

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Zināmas sānu pamatnes, laukums un leņķis

c = (2A) /

Zināmais sānu vidējais, laukums un leņķis

c = A / (m sin α)

Zināms sānu augstums

h = √

Zināms augstums leņķis un divas malas

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. grēks α

Zināmas diagonāles no visām pusēm vai divām pusēm un leņķis

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 cc Cos β)

Vienādsānu trijstūra perimetrs

P = a + b + 2c

Vienādās trapeces apgabals

Atkarībā no zināmajiem datiem, apgabala aprēķināšanai ir vairākas formulas. Atkarībā no pamatiem un augstuma vislabāk zināmie ir šādi:

A = h⋅ (a + b) / 2

Un jūs varat izmantot arī šos citus:

-Ja puses ir zināmas

A = √

-Kad jums ir divas puses un leņķis

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Ja ir zināms uzrakstītā apļa rādiuss un leņķis

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Kad ir zināmas pamatnes un leņķis

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Ja trapecē var iezīmēt apkārtmēru

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Ziniet diagonāles un leņķi, ko tie veido viens ar otru

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) δ Sen

-Kad jums ir sānu, vidējo un leņķi

A = mc.sen α = mc.sen β

Norādītā apļa rādiuss

Tikai vienādsānu trapeciem ir noteikts apkārtmērs. Ja _{ir zināma} lielākā pamatne a, sānu c un diagonāle d ₁ , tad apļa rādiuss R, kas iet caur četrām trapecveida virsotnēm, ir:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Kur p = (a + c + d ₁ ) / 2

Vienādlapu trapecveida izmantošanas piemēri

Vienādlapu trapecveida parādās dizaina jomā, kā redzams 2. attēlā. Un šeit ir daži papildu piemēri:

Arhitektūrā un celtniecībā

Senie inki zināja vienādsānu trapeces un izmantoja to kā celtniecības elementu šajā logā Kuzko, Peru:

5. attēls. Trapecveida logs no Coricancha, Cuzco. Avots: Wikimedia Commons.

Un šeit trapecveida forma atkal parādās tā sauktajā trapecveida loksnē, materiālā, ko bieži izmanto būvniecībā:

6. attēls. Trapecveida metāla loksne, kas īslaicīgi aizsargā ēkas logus. Avots: Wikimedia Commons.

Dizainā

Mēs jau esam redzējuši, ka vienādsānu trapeces forma parādās ikdienas priekšmetos, ieskaitot pārtikas produktus, piemēram, šo šokolādes tāfelīti:

7. attēls. Šokolādes tāfelīte, kuras sejas forma ir vienādsānu trapecveida forma. Avots: Pxfuel.

Atrisināti vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Vienādlapu trapecveida pamatne ir lielāka par 9 cm, pamatne ir mazāka par 3 cm, un tās diagonāles ir 8 cm. Aprēķināt:

a) Sānu

b) Augstums

c) perimetrs

d) Apgabals

8. attēls. 1. vingrinājuma shēma. Avots: F. Zapata

Risinājums

Augstums CP = h ir attēlots, kur augstuma pēda nosaka segmentus:

PD = x = (ab) / 2 g

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Izmantojot Pitagora teorēmu labajā trīsstūrī DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

Un arī labajā trīsstūrī APC:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Visbeidzot, loceklis pa locekļiem tiek atņemts, otrais vienādojums no pirmā un vienkāršots:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Risinājums b

h ² = D ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Risinājums c

Perimetrs = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm

Risinājums d

Platība = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- 2. vingrinājums

Ir vienādsānu trapecveida, kura lielāka pamatne ir divreiz mazāka, un tās mazākā pamatne ir vienāda ar augstumu, kas ir 6 cm. Izlemiet:

a) sānu garums

b) Perimetrs

c) Apgabals

d) leņķi

8. attēls. 2. vingrinājuma shēma. Avots: F. Zapata

Risinājums

Dati: a = 12, b = a / 2 = 6 un h = b = 6

Mēs rīkojamies šādi: mēs uzzīmējam augstumu h un pielietojam Pitagora teorēmu hipotenūzes trīsstūrim «c» un kājām h un x:

c ² = h ² + xc ²

Tad no datiem (h = b) un kāju x jāaprēķina augstuma vērtība:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Aizstājot iepriekšējos izteikumus, kas mums ir:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Tagad ir ieviestas skaitliskās vērtības un tā ir vienkāršota:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Iegūšana:

c = 3√5 = 6,71 cm

Risinājums b

Perimetrs P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Risinājums c

Platība kā pamatnes augstuma un garuma funkcija ir:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Risinājums d

Leņķi α, ko sānu veido ar lielāku pamatni, iegūst ar trigonometriju:

Iedegums (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

Otrs leņķis, tas, kas veido sānu ar mazāku pamatni, ir β, kas ir papildinājums α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Atsauces

1. EA 2003. Ģeometrijas elementi: ar vingrinājumiem un kompasa ģeometriju. Medeljinas Universitāte.
2. Campos, F. 2014. Matemātika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Atbrīvots, K. 2007. Atklājiet daudzstūrus. Izglītības uzņēmuma etalons.
4. Hendriks, V. 2013. Ģeneralizētie daudzstūri. Birkhäuser.
5. IGER. Matemātikas pirmais semestris Tacaná. IGER.
6. Jr ģeometrija. 2014. Daudzstūris. Lulu Press, Inc.
7. Millers, Heerēns un Hornsbijs. 2006. Matemātika: spriešana un pielietojums. 10. Izdevums. Pīrsona izglītība.
8. Patiño, M. 2006. Matemātika 5. Redakcija Progreso.
9. Wikipedia. Trapece. Atgūts no: es.wikipedia.com