SKALĒNAS TRAPECVEIDA: ĪPAŠĪBAS, FORMULAS UN VIENĀDOJUMI, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Scalene trapeces ir daudzstūris ar četrām pusēm, no kuriem divi ir paralēli viens otram, un ar tās četrām interjera leņķus dažādu pasākumu.

Četrstūris ABCD ir parādīts zemāk, kur AB un DC malas ir paralēlas viena otrai. Tas ir pietiekami, lai tas būtu trapecveida, bet arī iekšējie leņķi α, β, γ un δ ir atšķirīgi, tāpēc trapecveida skala.

1. attēls. Četrstūris ABCD ir trapecveida pēc 1. nosacījuma un mērogā pēc 2. nosacījuma. Avots: F. Zapata.

Mēroga trapeces elementi

Šeit ir raksturīgākie elementi:

- pamatnes un malas: trapecveida paralēlas malas ir tās pamatnes, un divas ne paralēlas malas ir malas.

Mēroga trapecē pamatnes ir dažāda garuma, kā arī sānu. Tomēr mēroga trapecē var būt sānu garums, kas vienāds ar pamatni.

-Mediāns: ir segments, kas savieno sānu viduspunktus.

-Diagonāles: trapecveida diagonāle ir segments, kas savieno divas pretējas virsotnes. Trapecveida, tāpat kā katram četrstūrim, ir divas diagonāles. Mēroga trapecē tie ir dažāda garuma.

Citi trapecveida

Bez mēroga trapecveida ir arī citi īpaši trapecveida veidi: labais trapecveida un vienādsānu trapeces.

Trapecveida ir taisnstūris, kad viens no tā leņķiem ir taisns, savukārt vienādsānu trapeces malas ir vienāda garuma.

Trapecveida formai ir daudz pielietojumu dizaina un nozares līmenī, piemēram, lidmašīnu spārnu konfigurācijā, tādu ikdienas priekšmetu kā galdi, krēslu atzveltnes, iepakojums, somiņas, tekstilizdrukas un daudz ko citu formā.

2. attēls. Trapeces forma ir izplatīta lidmašīnu spārnu konfigurācijā. Avots: Wikimedia Commons.

Īpašības

Zemāk ir uzskaitītas mēroga trapecveida īpašības, no kurām daudzas attiecas uz citiem trapecveida veidiem. Turpmāk, runājot par "trapecveida", īpašums attieksies uz jebkura veida, ieskaitot skalēnu.

1. Trapecveida vidusdaļa, tas ir, segments, kas savieno tās nelīdzeno sānu viduspunktus, ir paralēls jebkurai pamatnei.

2. Trapecveida vidusdaļai ir tāds garums, kāds ir tās pamatņu puslodis, un viduspunktā sagriež diagonāles.

3. Trapecveida diagonāles krustojas punktā, kas tos sadala divās daļās, kas ir proporcionālas pamatnes koeficientam.

4. Trapecveida diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tās malu kvadrātu summu plus tās pamatņu dubultā reizinājums.

5.- Segmenta, kas savieno diagonāles viduspunktus, garums ir vienāds ar pamatņu starpību ar pusi.

6.- Sāniem blakus esošie leņķi ir papildu.

7. Mēroga trapecē tā diagonāļu garumi ir atšķirīgi.

8. Trapecam ir apzīmēts apkārtmērs tikai tad, ja tā pamatnes summa ir vienāda ar tā malu summu.

9.- Ja trapecveida formā ir uzraksts ar apkārtmēru, tad leņķis ar virsotni minētā apkārtmēra centrā un malām, kas iet caur trapecveida sānu galiem, ir taisns.

10. mērogā trapecē nav apvilkta apkārtmēra, vienīgais trapeces veids, kas to dara, ir vienādsānu.

Formulas un vienādojumi

Šīs skalas trapeces attiecības ir norādītas nākamajā attēlā.

1.- Ja AE = ED un BF = FC → EF - AB un EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2, tas ir: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 un AG = GC = d ₂ /2 stāvokli.

4.- DJ / JB = (c / a) līdzīgi CJ / JA = (c / a).

3. attēls. Mēroga trapecveida vidējie un diagonāles. Avots: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Līdzvērtīgi:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Proti:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ un β + γ = 180⁰

8.- Ja α ≠ β ≠ γ ≠ δ, tad d1 ≠ d2.

9.- 4. attēlā parādīts mēroga trapeces forma ar apzīmētu apkārtmēru, šajā gadījumā ir taisnība, ka:

a + c = d + b

10.- Mēroga trapecē ABCD ar apzīmētu centra apkārtmēru O ir taisnība arī šādiem:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

4. attēls. Ja trapecē ir pārbaudīts, vai tā bāzu summa ir vienāda ar sānu summu, tad tajā ir norādīts apkārtmērs. Avots: F. Zapata.

Augstums

Trapecveida augstumu definē kā segmentu, kas iet no pamatnes punkta perpendikulāri pretējai pamatnei (vai tās pagarinājumam).

Visiem trapecveida augstumiem ir vienāds mērījums h, tāpēc vārdu augstums lielākoties norāda uz tā mērīšanu. Īsi sakot, augstums ir attālums vai atstatums starp pamatiem.

Augstumu h var noteikt, zinot vienas puses un viena no sāniem blakus esošo leņķu garumu:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Mediāna

Trapecveida vidējās daļas m lielums ir bāzu pussumma:

m = (a + b) / 2

Diagonāles

d ₁ = √

d ₂ = √

To var arī aprēķināt, ja ir zināms tikai trapecveida malu garums:

d ₁ = √

d ₂ = √

Perimetrs

Perimetrs ir kopējais kontūras garums, tas ir, visu tā malu summa:

P = a + b + c + d

Apgabals

Trapecveida laukums ir tā pamatnes pusloks, kas reizināts ar tā augstumu:

A = h ∙ (a + b) / 2

To var arī aprēķināt, ja ir zināma vidējā m un augstums h:

A = m ∙ h

Ja ir zināms tikai trapecveida malu garums, laukumu var noteikt, izmantojot Herona formulu trapecveida formā:

A = ∙ √

Kur s ir pusperimetrs: s = (a + b + c + d) / 2.

Citas skalas trapeces attiecības

Mediānas un diagonāļu krustojums un paralēle, kas iet pa diagonāļu krustojumu, rada citas attiecības.

5. attēls. Citas skalas trapeces attiecības. Avots: F. Zapata.

-Attiecības uz vidējo EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

- Attiecības segmentā, kas atrodas paralēli KL pamatiem un šķērso diagonāļu krustošanās punktu J

Ja KL - AB - DC ar J ∈ KL, tad KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Mēroga trapecveida konstrukcija ar lineālu un kompasu

Ņemot vērā garuma a un c pamatus, kur a> cy ar garuma b un d malām, kur b> d, rīkojieties šādi: (skat. 6. attēlu):

1.- Ar noteikumu tiek sastādīts galvenā AB segments.

2.- No A se un uz AB atzīmējiet punktu P tā, lai AP = c.

3.- Ar kompasu ar centru P un rādiusu d tiek novilkta loka.

4.- Centrā B tiek parādīts centrs ar rādiusu b, zīmējot loka, kas pārtver iepriekšējā solī novilkto loka. Mēs saucam Q par krustošanās punktu.

6. attēls. Mēroga trapecveida konstrukcija, ņemot vērā tās malas. Avots: F. Zapata.

Ar centru centrā A novelciet loka rādiusu d.

6. Ar centru Q novelciet loka rādiusu c, kas pārtver iepriekšējā solī novilkto loka. Noslēguma punktu sauksim R.

7.- Segmenti BQ, QR un RA tiek uzvilkti ar lineālu.

8.- Četrstūris ABQR ir mēroga trapecveida, jo APQR ir paralelogramma, kas garantē, ka AB - QR.

Piemērs

Doti šādi garumi cm: 7, 3, 4 un 6.

a) Nosakiet, vai ar viņiem ir iespējams uzbūvēt mēroga trapecveida formu, kas apzīmē apli.

b) Atrodiet minētā trapecveida perimetru, laukumu, diagonāļu garumu un augstumu, kā arī uzrakstītā apļa rādiusu.

- risinājums

Izmantojot 7 un 3 garuma segmentus kā pamatus un 4 un 6 garumus segmentus kā sānus, var izveidot mēroga trapecveida, izmantojot iepriekšējā iedaļā aprakstīto procedūru.

Atliek pārbaudīt, vai tam ir uzraksts ar apkārtmēru, taču atceroties īpašumu (9):

Mēs to redzam efektīvi:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Tad nosacījums par ierakstītu apkārtmēru ir izpildīts.

- risinājums b

Perimetrs

Perimetru P iegūst, pievienojot malas. Tā kā pamatnes veido līdz 10 un arī sānu, perimetrs ir šāds:

P = 20 cm

Apgabals

Lai noteiktu apgabalu, kuram ir zināmas tikai tā malas, tiek izmantotas attiecības:

A = ∙ √

Kur s ir pusperimetrs:

s = (a + b + c + d) / 2.

Mūsu gadījumā pusperimetrs ir vērts s = 10 cm. Pēc atbilstošo vērtību aizstāšanas:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Paliek:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Augstums

Augstums h ir saistīts ar laukumu A ar šādu izteiksmi:

A = (a + c) ∙ h / 2, no kura augstumu var iegūt, notīrot:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Ierakstītā apļa rādiuss

Ierakstītā apļa rādiuss ir vienāds ar pusi no augstuma:

r = h / 2 = 1,984 cm

Diagonāles

Visbeidzot mēs atrodam diagonāļu garumu:

d ₁ = √

d ₂ = √

Pienācīgi aizstājot mūsu vērtības:

d ₁ = √ = √ (36 + 21–7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Tas ir: d ₁ = 4,69 cm un d ₂ = 8,49 cm

7. attēls. Skalēna trapecveida, kas atbilst nosacījumam par apzīmēta apkārtmēra esamību. Avots: F. Zapata.

Vingrinājums atrisināts

Nosakiet trapecveida iekšējos leņķus ar pamatnēm AB = a = 7, CD = c = 3 un sānu leņķiem BC = b = 6, DA = d = 4.

Risinājums

Lai noteiktu leņķus, var izmantot kosinusa teorēmu. Piemēram, leņķi ∠A = α nosaka no trīsstūra ABD ar AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 un DA = d = 4.

Kosinusa teorēma, kas piemērota šim trīsstūrim, izskatās šādi:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), tas ir:

72 = 49 + 16-56 ° C (α).

Atrisinot leņķa α kosinusu, iegūst:

Košs (α) = -1/8

Tas ir, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Pārējos leņķus iegūst tādā pašā veidā, to vērtības ir:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ un visbeidzot δ = 82,82⁰.

Atsauces

1. CEA (2003). Ģeometrijas elementi: ar vingrinājumiem un kompasa ģeometriju. Medeljinas Universitāte.
2. Kamposs, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemātika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Atbrīvots, K. (2007). Atklājiet daudzstūrus. Izglītības uzņēmuma etalons.
4. Hendriks, V. (2013). Ģeneralizētie daudzstūri. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matemātikas pirmais semestris Tacaná. IGER.
6. Jr ģeometrija. (2014). Daudzstūris. Lulu Press, Inc.
7. Millers, Heerēns un Hornsbijs. (2006). Matemātika: pamatojums un pielietojums (desmitais izdevums). Pīrsona izglītība.
8. Patiño, M. (2006). Matemātika 5. Redakcija Progreso.
9. Wikipedia. Trapece. Atgūts no: es.wikipedia.com