DISKRĒTĀ FURJĒ TRANSFORMĀCIJA: REKVIZĪTI, LIETOJUMPROGRAMMAS, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Diskrēta Furjē ir skaitlisks metode, ko izmanto, lai noteiktu paraugus, kas attiecas uz spektra frekvences, kas veido signālu. Tas pēta periodiskās funkcijas slēgtos parametros, kā rezultātā iegūstot citu diskrētu signālu.

Lai iegūtu diskrētu N punktu diskrētu Furjē N punktu transformāciju, izmantojot diskrētu signālu, secībai x jāizpilda šādi 2 nosacījumi:

TDF

Diskrēto Furjē transformāciju var definēt kā Furjē transformācijas N-punkta paraugu.

Diskrētās Furjē transformācijas interpretācija

Avots: Pexels

Ir 2 skatu punkti, no kuriem secībā x _s iegūtos rezultātus var interpretēt, izmantojot diskrēto Furjē transformāciju.

-Pirmais atbilst spektrālajiem koeficientiem, kas jau ir zināmi no Furjē sērijas. To novēro diskrētos periodiskos signālos, paraugiem sakrītot ar secību x _s .

-Otrais attiecas uz diskrēta aperiodiska signāla spektru ar paraugiem, kas atbilst secībai x _s .

Diskrētā transformācija ir tuvināšana sākotnējā analogā signāla spektram. Tās fāze ir atkarīga no izlases veida, savukārt tās lielums ir atkarīgs no izlases intervāla.

Īpašības

Struktūras algebriskie pamati veido turpmāko sadaļu pamatojumu.

Linearitāte

C. S _n → C F; Ja secību reizina ar skalāru, tad arī tās transformācija būs.

T _n + V _n = F + F; Summas transformācija ir vienāda ar transformāciju summu.

Dualitāte

F → (1 / N) S _-k; Ja diskrēto Furjē transformāciju pārrēķina jau pārveidotai izteiksmei, iegūst to pašu izteiksmi, mērogo N un apgriež pret vertikālo asi.

Konvolūcija

Īstenojot līdzīgus mērķus kā Laplasa transformācijā, funkciju konvolūcija attiecas uz produktu starp to Furjē transformācijām. Konvolūcija attiecas arī uz atsevišķiem laikiem un ir atbildīga par daudzām mūsdienu procedūrām.

X _n * R _n → F .F; Konvolūcijas transformācija ir vienāda ar transformāciju rezultātu.

X _n . R _n → F * F; Produkta transformācija ir vienāda ar transformāciju konvolūciju.

Pārvietojums

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Ja secību aizkavē m paraugi, tās ietekme uz diskrēto transformāciju būs leņķa, kas noteikts ar (2π / N) km, modifikācija.

Simetrija

X _t = X * _t = X _t

Modulācija

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Produkts

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Simetrija

X ↔ X _t = X * _t

Konjugāts

x * ↔ X * _t

Parseval vienādojums

Attiecībā uz parasto Furjē transformāciju tai ir vairākas līdzības un atšķirības. Furjē transformācija pārveido secību cietā līnijā. Tādā veidā tiek teikts, ka Furjē mainīgais ir reāla mainīgā sarežģīta funkcija.

Diskrētā Furjē transformācija atšķirībā no tā saņem diskrētu signālu un pārveido to citā diskrētā signālā, tas ir, secībā.

Kāda ir diskrētā Furjē transformācija?

Tie galvenokārt kalpo vienādojumu ievērojami vienkāršošanai, vienlaikus atvasinātos izteiksmes pārveidojot jaudas elementos. Diferenciālo izteiksmju apzīmēšana integrējamās polinoma formās.

Rezultātu optimizācijā, modulācijā un modelēšanā tas darbojas kā standartizēta izteiksme, kas ir biežs inženierijas resurss pēc vairākām paaudzēm.

Avots: pixabay

Vēsture

Šo matemātisko koncepciju ieviesa Džozefs B. Furjē 1811. gadā, vienlaikus izstrādājot traktātu par siltuma izplatīšanos. To ātri pieņēma dažādas zinātnes un inženierzinātnes.

Tas tika izveidots kā galvenais darba rīks vienādojumu ar daļējiem atvasinājumiem izpētē, pat salīdzinot to ar esošajām darba attiecībām starp Laplasa transformāciju un parastajiem diferenciālvienādojumiem.

Katrai funkcijai, kuru var darbināt ar Furjē transformāciju, jābūt nullei ārpus noteiktā parametra.

Diskrētā Furjē transformācija un tās apgrieztais

Diskrēto transformāciju iegūst, izmantojot izteiksmi:

Pēc tam, kad ir dota diskrēta secība X

Diskātās Furjē transformācijas apgriezto daļu nosaka ar izteiksmi:

Apgrieztā jūgvārpsta

Kad ir sasniegta diskrētā transformācija, tā ļauj noteikt secību laika apgabalā X.

Spārnots

Parametrizācijas process, kas atbilst diskrētajai Furjē transformācijai, atrodas logu veidošanā. Lai veiktu pārveidi, mums jāierobežo secība laikā. Daudzos gadījumos attiecīgajiem signāliem nav šo ierobežojumu.

Secību, kas neatbilst lieluma kritērijiem, kas jāpiemēro diskrētai transformācijai, var reizināt ar "loga" funkciju V, nosakot secības uzvedību kontrolētā parametrā.

X. V

Spektra platums būs atkarīgs no loga platuma. Palielinoties loga platumam, aprēķinātā transformācija būs šaurāka.

Lietojumprogrammas

Pamata risinājuma aprēķins

Diskrētā Furjē transformācija ir spēcīgs rīks diskrētu secību izpētē.

Diskrētā Furjē transformācija pārveido nepārtrauktu mainīgo funkciju diskrētā mainīgā transformācijā.

Kaučija problēma siltuma vienādojumā parāda biežu diskrētās Furjē transformācijas pielietojuma lauku . Kur rodas siltuma vai Dirihleta kodola pamatfunkcija, kas attiecas uz paraugu ņemšanas vērtībām noteiktā parametrā.

Signālu teorija

Vispārīgais iemesls diskrētās Furjē transformācijas piemērošanai šajā filiālē galvenokārt ir saistīts ar signāla raksturīgo sadalīšanos kā vieglāk apstrādājamu signālu bezgalīgu superpozīciju.

Tas var būt skaņas vilnis vai elektromagnētiskais vilnis, diskrētā Furjē transformācija to izsaka vienkāršu viļņu superpozīcijā. Šis attēlojums elektrotehnikā ir diezgan bieži sastopams.

Furjē sērija

Tās ir sērijas, kas definētas ar kosinēzēm un sinusiem. Tie kalpo, lai atvieglotu darbu ar vispārējām periodiskām funkcijām. Pielietojot, tie ir daļa no parasta un daļēja diferenciālvienādojumu risināšanas paņēmieniem.

Furjē sērijas ir pat vispārīgākas nekā Teilora sērijas, jo tās attīsta periodiskas pārtrauktas funkcijas, kurām nav Teilora sērijas attēlojuma.

Citas Furjē sērijas formas

Lai analītiski saprastu Furjē transformāciju, ir svarīgi pārskatīt citus veidus, kā var atrast Furjē sēriju, līdz mēs varam definēt Furjē sērijas tās sarežģītajā apzīmējumā.

-Fourier sērija ar funkciju 2L periodā:

Tiek ņemts vērā intervāls, kas piedāvā priekšrocības, izmantojot funkciju simetriskās īpašības.

Ja f ir vienmērīga, Furjē sērija tiek izveidota kā kainusu sērija.

Ja f ir nepāra, Furjē sērija tiek izveidota kā sinusa sērija.

-Furjē sērijas sarežģīts apzīmējums

Ja mums ir funkcija f (t), kas atbilst visām Furjē sērijas prasībām, to ir iespējams apzīmēt ar intervālu, izmantojot tā sarežģīto apzīmējumu:

Piemēri

Attiecībā uz pamata risinājuma aprēķināšanu ir sniegti šādi piemēri:

No otras puses, šie ir diskrētās Furjē transformācijas pielietojuma piemēri signāla teorijas jomā:

-Sistēmas identifikācijas problēmas. Izveidota f un g

-Problēma ar izejas signāla konsekvenci

-Problemas ar signālu filtrēšanu

Vingrinājumi

1. vingrinājums

Aprēķiniet diskrēto Furjē transformāciju sekojošai secībai.

X jūgvārpstu var definēt kā:

X _t = {4, -j2, 0, j2}, ja k = 0, 1, 2, 3

2. vingrinājums

Mēs vēlamies noteikt digitālo algoritmu spektrālo signālu, ko nosaka izteiksme x (t) = e ^-t . Ja maksimālais frekvences pieprasījuma koeficients ir f _m = 1Hz. Harmonika atbilst f = 0,3 Hz. Kļūda ir ierobežota līdz mazāk nekā 5%. Aprēķiniet f _s , D un N.

Ņemot vērā izlases teorēmu f _s = 2f _m = 2 Hz

Tiek izvēlēta frekvences izšķirtspēja f ₀ = 0,1 Hz, no kuras mēs iegūstam D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz ir frekvence, kas atbilst indeksam k = 3, kur N = 3 × 8 = 24 paraugi. Norāda, ka f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Tā kā mērķis ir iegūt pēc iespējas zemāku N vērtību, šādas vērtības var uzskatīt par risinājumu:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Atsauces

1. Diskrētā Furjē transformācijas apgūšana vienā, divās vai vairākās dimensijās: nepilnības un artefakti. Īzaks Amidror. Springer Science & Business Media, 19. jūlijs. 2013. gads
2. DFT: Īpašnieka rokasgrāmata diskrēta Furjē transformācijai. Viljams L. Briggs, van Emdens Hensons. SIAM, 1. janvāris. deviņpadsmit deviņdesmit pieci
3. Digitālo signālu apstrāde: teorija un prakse. D. Sundararajans. World Scientific, 2003
4. Signālu analīzes un reprezentācijas transformācijas un ātri algoritmi. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6. decembris. 2012. gads
5. Diskrēti un nepārtraukti Furjē pārveidojumi: analīze, lietojumprogrammas un ātri algoritmi. Eleonora Ču. CRC Press, 19. marts. 2008. gads