LAPLASA TRANSFORMĀCIJA: DEFINĪCIJA, VĒSTURE UN KAM TĀ PAREDZĒTA - MATEMĀTIKA - 2025

Laplasa transformācija ir bijis pēdējos gados liela nozīme inženierzinātnes, matemātika, fizika, starp citu zinātnes jomās, kā arī ir liela interese teorētiski nodrošina vienkāršu veidu, lai atrisinātu problēmas, kas nāk no zinātne un inženierzinātnes.

Sākotnēji Laplasa transformāciju iesniedza Pjērs-Simons Laplass savā pētījumā par varbūtības teoriju, un sākotnēji to uzskatīja par matemātisku objektu, kam bija tīri teorētiska interese.

Pašreizējie pielietojumi rodas, kad dažādi matemātiķi mēģināja oficiāli pamatot "darbības noteikumus", kurus Heaviside izmanto elektromagnētiskās teorijas vienādojumu izpētē.

Definīcija

Ļaujiet f funkcijai, kas definēta t ≥ 0. Laplasa transformācija tiek definēta šādi:

Tiek teikts, ka Laplasa transformācija pastāv, ja iepriekšējā integrācija saplūst, pretējā gadījumā tiek teikts, ka Laplasa transformācija neeksistē.

Parasti mazie burti tiek izmantoti, lai apzīmētu pārveidojamo funkciju, un lielais burts atbilst tā transformācijai. Tādā veidā mums būs:

Piemēri

Apsveriet konstanto funkciju f (t) = 1. Mums ir tā transformācija:

Kad integrālis saplūst, tas ir, kad s> 0. Pretējā gadījumā s <0, integrālis novirzās.

Ļaujiet g (t) = t. Tā Laplasa transformāciju dod

Integrējot pa daļām un zinot, ka te- ^{st ir} tendence uz 0, kad t ir tendence uz bezgalību un s> 0, kopā ar iepriekšējo piemēru mums ir:

Transformācija var būt vai nebūt, piemēram, funkcijai f (t) = 1 / t integrālis, kas definē tā Laplasa transformāciju, nekonverģējas, un tāpēc tās transformācija neeksistē.

Pietiekami apstākļi, lai garantētu funkcijas f Laplasa transformāciju, ir f nepārtraukti sadalīti t ≥ 0 un eksponenciālā secībā.

Tiek teikts, ka funkcija ir gabalu nepārtraukta t ≥ 0, ja jebkuram intervālam ar> 0 ir noteikts punktu skaits t _k, kur f ir pārtraukumi un ir nepārtraukts katrā apakšintervālā.

No otras puses, funkcija tiek uzskatīta par eksponenciālu c pakāpi, ja ir reālas konstantes M> 0, c un T> 0 tādas, ka:

Kā piemēri var minēt, ka f (t) = t ² ir eksponenciālā secībā, jo -t ² - <e ^3t visiem t> 0.

Formāli mums ir šāda teorēma

Teorēma (Pietiekami eksistences apstākļi)

Ja f ir daļēja nepārtraukta funkcija t> 0 un eksponenciālā secībā c, tad Laplasa transformācija pastāv s> c.

Ir svarīgi uzsvērt, ka tas ir pietiekamības nosacījums, tas ir, var būt, ka ir funkcija, kas neatbilst šiem nosacījumiem, un pat tad pastāv tā Laplasa transformācija.

Piemērs tam ir funkcija f (t) = t ^-1/2, kas nav ^{gabalveidīgi} nepārtraukta t ≥ 0, bet tās Laplasa transformācija pastāv.

Dažu pamatfunkciju transformācija Laplakā

Šajā tabulā parādītas visbiežāk izmantoto funkciju Laplasa transformācijas.

Vēsture

Laplasa transformācija ir nosaukta parādā Pjēram-Saimonam Laplassam - franču matemātiķim un teorētiskajam astronomam, kurš dzimis 1749. gadā un miris 1827. gadā. Viņa slava bija tāda, ka viņš bija pazīstams kā Francijas ņūtonis.

1744. gadā Leonards Elers veltīja savus pētījumus integrāļiem ar formu

kā parasto diferenciālvienādojumu risinājumus, bet viņš ātri atteicās no šīs izmeklēšanas. Vēlāk Džozefs Luiss Lagranžs, kurš ļoti apbrīnoja Euleru, pētīja arī šos integrāļu veidus un saistīja tos ar varbūtības teoriju.

1782. gadā Laplasa

1782. gadā Laplasa sāka pētīt šādus integrālus kā diferenciālvienādojumu risinājumus, un pēc vēsturnieku domām, 1785. gadā viņš nolēma pārformulēt problēmu, kas vēlāk izraisīja Laplasa pārvērtības, kā tās saprot mūsdienās.

Pēc tam, kad tā tika ieviesta varbūtību teorijas jomā, tā tajā laikā zinātniekiem bija maz interesanta, un to uzskatīja tikai par matemātisku objektu, kam bija tikai teorētiska interese.

Olivers Heaviside

Tieši 19. gadsimta vidū angļu inženieris Olivers Heavisīds atklāja, ka diferenciāloperatorus var uzskatīt par algebriskiem mainīgajiem, tādējādi dodot Laplasa pārveidēm to moderno pielietojumu.

Olivers Heavisidejs bija angļu fiziķis, elektrotehniķis un matemātiķis, kurš dzimis 1850. gadā Londonā un miris 1925. gadā. Mēģinot risināt diferenciālvienādojumu problēmas, kas tika piemērotas vibrācijas teorijai, un izmantojot Laplasa pētījumus, viņš sāka veidot Mūsdienu Laplasa transformāciju pielietojumi.

Rezultāti, kurus uzrādīja Heaviside, ātri izplatījās visā tā laika zinātnieku aprindās, taču, tā kā viņa darbs nebija stingrs, tradicionālie matemātiķi viņu ātri kritizēja.

Tomēr Heaviside darba lietderība, risinot vienādojumus fizikā, padarīja viņa metodes populārus starp fiziķiem un inženieriem.

Neskatoties uz šīm neveiksmēm un pēc dažu gadu desmitu neveiksmīgiem mēģinājumiem, 20. gadsimta sākumā Heaviside sniegtajiem darbības noteikumiem varēja sniegt stingru pamatojumu.

Šie mēģinājumi deva augļus, pateicoties dažādu matemātiķu, piemēram, Bromviča, Kārsona, van der Pol, centieniem.

Īpašības

Starp Laplasa transformācijas īpašībām izceļas:

Linearitāte

Ļaujiet c1 un c2 būt konstantēm un f (t) un g (t) funkcijām, kuru Laplasa transformācijas ir attiecīgi F (s) un G (s), tad mums ir:

Sakarā ar šo īpašību Laplasa transformācija tiek uzskatīta par lineāru operatoru.

Piemērs

Pirmā tulkojuma teorēma

Ja notiek tā:

Un “a” ir jebkurš reāls skaitlis, tāpēc:

Piemērs

Tā kā cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) Laplasa transformācija, tad:

Otrā tulkojuma teorēma

Jā

Tātad

Piemērs

Ja f (t) = t ^ 3, tad F (s) = 6 / s ^ 4. Un tāpēc pārveidošana

ir G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Mēroga maiņa

Jā

Un 'a' ir reāls, kas nav nulle, mums tas ir jādara

Piemērs

Tā kā f (t) = sin (t) transformācija ir F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), tad mums ir

Laplasa atvasinājumu transformācija

Ja f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ ir nepārtraukti t ≥ 0 un ir eksponenciālā secībā un f ⁽ⁿ⁾ (t) ir pa daļām nepārtraukti t ≥ 0, tad

Integrāļu Laplasa transformācija

Jā

Tātad

Reizinājums ar t

Ja mums tas ir jādara

Tātad

Sadalījums pēc t

Ja mums tas ir jādara

Tātad

Periodiskās funkcijas

Tad f ir periodiska funkcija ar periodu T> 0, tas ir, f (t + T) = f (t)

F (-u) kā s uzvedība mēdz būt bezgalība

Ja f ir nepārtraukts daļās un eksponenciālā secībā un

Tātad

Apgriezti pārveidojumi

Piemērojot Laplasa transformāciju funkcijai f (t), mēs iegūstam F (s), kas apzīmē šo transformāciju. Tādā pašā veidā mēs varam teikt, ka f (t) ir F (s) apgrieztā Laplasa transformācija un tiek uzrakstīts kā

Mēs zinām, ka f (t) = 1 un g (t) = t Laplasa transformācijas ir attiecīgi F (s) = 1 / s un G (s) = 1 / s ² , tāpēc mums ir

Dažas izplatītas apgrieztas Laplasa transformācijas ir šādas

Turklāt apgrieztā Laplasa transformācija ir lineāra, tas ir, tā ir taisnība

Vingrinājums

Atrodi

Lai atrisinātu šo uzdevumu, funkcija F (s) jāsaskaņo ar vienu no iepriekšējām tabulām. Šajā gadījumā, ja mēs ņemam + 1 = 5 un, izmantojot apgrieztā transformācijas linearitātes īpašību, mēs reizinām un dalām ar 4! Iegūšana

Otrajai apgrieztajai transformācijai mēs izmantojam daļējas frakcijas, lai pārrakstītu funkciju F (s) un pēc tam linearitātes īpašību, iegūstot

Kā redzams no šiem piemēriem, parasti ir tā, ka novērtētā funkcija F (s) precīzi neatbilst nevienai no tabulā dotajām funkcijām. Šajos gadījumos, kā redzams, ir pietiekami pārrakstīt funkciju, līdz tā sasniedz atbilstošo formu.

Laplasa transformācijas pielietojumi

Diferenciālvienādojumi

Galvenais Laplasa transformāciju pielietojums ir diferenciālvienādojumu atrisināšana.

Izmantojot atvasinājuma pārveidošanas īpašību, ir skaidrs, ka

Y no n-1 atvasinājumiem, kas novērtēti ar t = 0.

Šis īpašums padara pārveidi par ļoti noderīgu sākotnējās vērtības problēmu risināšanā, ja ir iesaistīti diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem.

Šie piemēri parāda, kā izmantot Laplasa transformāciju diferenciālvienādojumu risināšanai.

1. piemērs

Ņemot vērā šo sākotnējās vērtības problēmu

Izmantojiet Laplasa transformāciju, lai atrastu risinājumu.

Katram diferenciālvienādojuma dalībniekam mēs izmantojam Laplasa transformāciju

Atvasinātā īpašuma pārveidošanas īpašība mums ir

Izstrādājot visu izteiksmi un notīrot Y (s), kas mums ir

Daļēju frakciju izmantošana, lai pārrakstītu iegūtā vienādojuma labo pusi

Visbeidzot, mūsu mērķis ir atrast funkciju y (t), kas apmierina diferenciālvienādojumu. Izmantojot apgriezto Laplasa transformāciju, iegūstam rezultātu

2. piemērs

Atrisini

Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, mēs izmantojam transformāciju abās vienādojuma pusēs un atsevišķi ar terminu.

Tādā veidā mums ir rezultāts

Aizstāt ar dotajām sākotnējām vērtībām un atrisināt Y (s)

Izmantojot vienkāršas frakcijas, vienādojumu var pārrakstīt šādi

Un, izmantojot apgriezto Laplasa transformāciju, mēs iegūstam rezultātu

Šajos piemēros var kļūdaini secināt, ka šī metode nav daudz labāka par tradicionālajām diferenciālvienādojumu risināšanas metodēm.

Laplasa transformācijas priekšrocības ir tādas, ka jums nav jāizmanto parametru variācijas vai jāuztraucas par dažādajiem nenoteiktās koeficienta metodes gadījumiem.

Turklāt, risinot sākotnējās vērtības problēmas ar šo metodi, no sākuma mēs izmantojam sākotnējos nosacījumus, tāpēc, lai atrastu konkrēto risinājumu, nav jāveic citi aprēķini.

Diferenciālvienādojumu sistēmas

Laplasa transformāciju var izmantot arī, lai atrastu vienlaicīgu parasto diferenciālvienādojumu risinājumus, kā parādīts šajā piemērā.

Piemērs

Atrisināt

Ar sākotnējiem nosacījumiem x (0) = 8 un y (0) = 3.

Ja mums tas ir jādara

Tātad

Risināšana dod mums rezultātu

Un, piemērojot apgriezto Laplasa transformāciju, kāda mums ir

Mehānika un elektriskās ķēdes

Laplasa transformācijai ir liela nozīme fizikā, tai galvenokārt ir pielietojums mehānikā un elektriskās ķēdēs.

Vienkāršu elektrisko ķēdi veido šādi elementi

Slēdzis, akumulators vai avots, induktors, rezistors un kondensators. Kad slēdzis ir aizvērts, rodas elektriskā strāva, kuru apzīmē ar i (t). Kondensatora lādiņu apzīmē ar q (t).

Saskaņā ar Kiršhofa otro likumu spriegumam, ko slēgtā ķēdē rada avots E, jābūt vienādam ar katra sprieguma krituma summu.

Elektriskā strāva i (t) ir saistīta ar kondensatora lādiņu q (t) par i = dq / dt. No otras puses, sprieguma kritumu katrā elementā definē šādi:

Sprieguma kritums visā rezistorā ir iR = R (dq / dt)

Sprieguma kritums visā induktorā ir L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Sprieguma kritums pāri kondensatoram ir q / C

Izmantojot šos datus un Kirhhoffa otro likumu piemērojot vienkāršai slēgtai shēmai, tiek iegūts otrās kārtas diferenciālvienādojums, kas apraksta sistēmu un ļauj mums noteikt q (t) vērtību.

Piemērs

Induktors, kondensators un rezistors ir savienoti ar akumulatoru E, kā parādīts attēlā. Induktors ir 2 henri, kondensators ir 0,02 fāzes un pretestība ir 16 omi. Laikā t = 0 ķēde ir aizvērta. Jebkurā laikā atrodiet lādiņu un strāvu t> 0, ja E = 300 volti.

Mums ir šāds diferenciālvienādojums, kas raksturo šo ķēdi

Ja sākotnējie apstākļi ir q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Piemērojot Laplasa transformāciju, mēs to iegūstam

Un Q (t) risināšana

Tad, piemērojot apgriezto Laplasa transformāciju, kāda mums ir

Atsauces

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplasa transformācija elektronikas inženieriem. Limusa.
2. Ruiss, LM, un Hernandez, MP (2006). Diferenciālvienādojumi un Laplasa transformācija ar lietojumiem. Redakcijas UPV.
3. Simmons, GF (1993). Diferenciālvienādojumi ar lietojumiem un vēsturiskām piezīmēm. Makgreivs.
4. Spiegel, MR (1991). Laplasa pārveidojas. Makgreivs.
5. Zill, ĢD & Cullen, MR (2008). Diferenciālvienādojumi ar robežvērtību problēmām. Cengage Learning Editores, SA