FURJĒ TRANSFORMĀCIJA: ĪPAŠĪBAS, LIETOJUMI, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Furjē ir analīzes atbilstība metode orientēta uz integrable funkcijas, kas pieder pie ģimenes neatņemama pārveidojumus. Tas sastāv no funkciju f (t) atkārtotas definīcijas attiecībā uz Cos (t) un Sen (t).

Šo funkciju trigonometriskās identitātes, kā arī to atvasināšanas un atvasināšanas raksturlielumi kalpo Furjē transformācijas noteikšanai, izmantojot šādu sarežģītu funkciju:

Kas ir taisnība, ja vien izteiksmei ir jēga, tas ir, kad nepareizais integrālis ir saplūst. Algebriski Furjē transformācija tiek uzskatīta par lineāru homeomorfismu.

Katrai funkcijai, kuru var darbināt ar Furjē transformāciju, jābūt nullei ārpus noteiktā parametra.

Īpašības

Avots: pexels

Furjē transformācija atbilst šādām īpašībām:

Esamība

Lai pārbaudītu Furjē transformācijas esamību funkcijā f (t), kas noteikta rāmjos R , jāizpilda šādas 2 aksiomas:

1. f (t) ir pa daļām nepārtraukts visiem R
2. f (t) ir integrējams R

Furjē transformācijas linearitāte

Ļaujiet M (t) un N (t) būt jebkuras divas funkcijas ar noteiktām Furjē transformācijām ar jebkādām konstantēm a un b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

To atbalsta arī tāda paša nosaukuma integrala linearitāte.

Atvasinājuma Furjē transformācija

Ir funkcija f, kas ir nepārtraukta un integrējama visās reālēs, kur:

Un f (f ') atvasinājums ir nepārtraukts un gabalos noteikts visā R

Atvasinājuma Furjē transformāciju nosaka integrācija pa daļām ar šādu izteiksmi:

F (z) = iz F (z)

Augstākas kārtas atvasinājumos to piemēros homologā veidā, kur visiem n 1 ir:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Furjē transformācijas diferenciācija

Ir funkcija f, kas ir nepārtraukta un integrējama visās reālēs, kur:

Tulkojuma Furjē transformācija

Katram θ, kas pieder kopai S un T, kas pieder kopam S ', mums ir:

F = e- ^var FF = e- ^irx F

Ar τ darba kā tulkošanas operatoram par vektoru a.

Furjē transformācijas tulkojums

Katram θ, kas pieder kopai S un T, kas pieder kopam S ', mums ir:

τ _a F = F τ _a F = F

Visi no tiem pieder R

Mēroga grupas Furjē transformācija

Visiem θ, kas pieder kopai S. T, kas pieder kopai S '

λ, kas pieder R - {0}, mums ir:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Ja f ir nepārtraukta un skaidri integrējama funkcija, kur a> 0. Tad:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Lai parādītu šo rezultātu, mēs varam turpināt mainīgā mainīšanu.

Kad T → +, tad s = pie → + ∞

Kad T → - tad s = pie → - ∞

Simetrija

Lai izpētītu Furjē transformācijas simetriju, jāpārbauda Parseval identitāte un Plancherel formula.

Mums ir θ un δ, kas pieder S. No tā var secināt, ka:

Iegūšana

1 / (2π) ^d { F, F } Parseval identitāte

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Planšerela formula

Konvolūcijas produkta Furjē transformācija

Īstenojot līdzīgus mērķus kā Laplasa transformācijā, funkciju konvolūcija attiecas uz produktu starp to Furjē transformācijām.

Mums ir f un g kā 2 ierobežotas, noteiktas un pilnībā integrējamas funkcijas:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Nepārtrauktība un iekrist bezgalībā

Kāda ir Furjē transformācija?

Tas galvenokārt kalpo vienādojumu nozīmīgai vienkāršošanai, vienlaikus atvasinātās izteiksmes pārveidojot jaudas elementos, apzīmējot diferenciālās izteiksmes integrējamu polinomu veidā.

Rezultātu optimizācijā, modulācijā un modelēšanā tas darbojas kā standartizēta izteiksme, kas ir biežs inženierijas resurss pēc vairākām paaudzēm.

Furjē sērija

Tās ir sērijas, kas definētas ar kosinēzēm un sinusiem; Tie kalpo, lai atvieglotu darbu ar vispārējām periodiskām funkcijām. Pielietojot, tie ir daļa no parasta un daļēja diferenciālvienādojumu risināšanas paņēmieniem.

Furjē sērijas ir pat vispārīgākas nekā Teilora sērijas, jo tās attīsta periodiskas pārtrauktas funkcijas, kurām nav Teilora sērijas attēlojuma.

Citas Furjē sērijas formas

Lai analītiski saprastu Furjē transformāciju, ir svarīgi pārskatīt citus veidus, kā Furjē sērijas var atrast, līdz Furjē sērijas var noteikt tās sarežģītajā apzīmējumā.

-Fourier sērija ar funkciju 2L

Daudzas reizes ir jāpielāgo Furjē sērijas struktūra periodiskām funkcijām, kuru periods intervālā ir p = 2L> 0.

-Fourier sērijas nepāra un pat funkcijas

Tiek ņemts vērā intervāls, kas piedāvā priekšrocības, izmantojot funkciju simetriskās īpašības.

Ja f ir vienmērīga, Furjē sērija tiek izveidota kā kainusu sērija.

Ja f ir nepāra, Furjē sērija tiek izveidota kā sinusa sērija.

-Furjē sērijas sarežģīts apzīmējums

Ja mums ir funkcija f (t), kas atbilst visām Furjē sērijas izstrādājamības prasībām, to ir iespējams apzīmēt ar intervālu, izmantojot tā sarežģīto apzīmējumu:

Lietojumprogrammas

Avots: pexels

Pamata risinājuma aprēķins

Furjē transformācija ir spēcīgs rīks lineārā tipa daļēju diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem izpētē. Tie vienādi attiecas uz funkcijām ar neierobežotiem domēniem.

Tāpat kā Laplasa transformācija, Furjē transformācija pārveido daļējas atvasināšanas funkciju parastajā diferenciālvienādojumā, kas ir daudz vienkāršāk darbināms.

Kaučija problēma siltuma vienādojumam atspoguļo Furjē transformācijas bieža pielietojuma lauku, kurā rodas siltuma kodols vai Dirihleta kodola funkcija.

Runājot par pamata risinājuma aprēķināšanu, ir aprakstīti šādi gadījumi, kad ir ierasti atrast Furjē transformāciju:

Signālu teorija

Furjē transformācijas piemērošanas vispārīgais iemesls šajā nozarē lielā mērā ir saistīts ar signāla raksturīgo sadalīšanos kā vieglāk apstrādājamu signālu bezgalīgu superpozīciju.

Tas var būt skaņas vilnis vai elektromagnētiskais vilnis, Furjē transformācija to izsaka vienkāršu viļņu superpozīcijā. Šis attēlojums elektrotehnikā ir diezgan bieži sastopams.

No otras puses, ir Furjē transformācijas pielietojuma piemēri signālu teorijas jomā:

Piemēri

1. piemērs

Definējiet Furjē transformāciju šādai izteiksmei:

Mēs to varam pārstāvēt arī šādā veidā:

F (t) = Sen (t)

Taisnstūra impulsu nosaka:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Furjē transformācija tiek piemērota šādai izteiksmei, kas atgādina modulācijas teorēmu.

f (t) = p (t) Sen (t)

Kur: F = (1/2) i

Un Furjē transformāciju nosaka:

F = (1/2) i

2. piemērs

Definējiet Furjē transformāciju izteiksmei:

Tā kā f (h) ir vienmērīga funkcija, to var apgalvot

Integrāciju pa daļām piemēro, mainīgos lielumus un to atšķirības izvēloties šādi

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e ^-h ) ² /2

Aizstājot jums ir

Pēc aprēķina pamata teorēmas novērtēšanas

Izmantojot iepriekšējās zināšanas par pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem, izteiksme tiek apzīmēta kā

Lai iegūtu K, mēs novērtējam

Visbeidzot, Furjē izteiksmes transformācija tiek definēta kā

Piedāvātie vingrinājumi

• 

• 

• Iegūstiet izteiksmes W / (1 + w ² ) transformāciju

Atsauces

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Furjē analīze. Addison - Wesley Iberoamericana, Madrides autonomā universitāte, 1995. gads.
2. Lauvas, JL, matemātiskā analīze un skaitliskās metodes zinātnei un tehnoloģijai. Springers - Verlag, 1990. gads.
3. Lieb, EH, Gauss kodoliem ir tikai Gausa maksimizētāji. Izgudrojums. Matemātika. 102 , 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Furjē sērija un integrālie komponenti. Academic Press, Ņujorka, 1972. gads.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermans, Parīze, 1966. gads.