- raksturojums
- Veidi
- Pēc tulkojuma
- Pēc rotācijas
- Pēc refleksijas vai simetrijas
- Centrālā simetrija
- Rotācijas sastāvs
- Simetrijas sastāvs
- Atsauces
Par izometriski pārveidojumi ir izmaiņas pozīciju vai orientāciju konkrētā skaitlis, kas nemaina formu vai izmēru to. Šīs pārvērtības iedala trīs veidos: translācija, rotācija un refleksija (izometrija). Kopumā ģeometriskās pārvērtības ļauj no dotā izveidot jaunu figūru.
Pārveidošana par ģeometrisku figūru nozīmē, ka savā ziņā tā ir nedaudz mainījusies; tas ir, tas tika mainīts. Atbilstoši oriģināla izjūtai un tamlīdzīgajai plaknē ģeometriskās pārvērtības var iedalīt trīs veidos: izometriskas, izomorfas un anamorfiskas.
raksturojums
Izometriskas pārvērtības notiek, saglabājot segmentu lielumus un leņķus starp sākotnējo figūru un pārveidoto figūru.
Šāda veida pārveidojumos nemainās ne figūras forma, ne izmērs (tie ir vienādi), tas ir tikai tās stāvokļa izmaiņas vai nu orientācijā, vai virzienā. Tādā veidā sākotnējie un galīgie skaitļi būs līdzīgi un ģeometriski sakrīt.
Izometrija attiecas uz vienlīdzību; citiem vārdiem sakot, ģeometriskas figūras būs izometriskas, ja tām būs vienāda forma un izmērs.
Izometriskās transformācijās vienīgais, ko var novērot, ir stāvokļa maiņa plaknē, notiek stingra kustība, pateicoties kurai skaitlis no sākotnējās pozīcijas nonāk galīgajā. Šis skaitlis oriģinālā tiek saukts par homoloģisku (līdzīgu).
Ir trīs veidu kustības, kas klasificē izometrisko transformāciju: tulkošana, pagriešana un refleksija vai simetrija.
Veidi
Pēc tulkojuma
Tās ir tās izometrijas, kas ļauj visus plaknes punktus virzīt taisnā līnijā noteiktā virzienā un attālumā.
Kad figūra tiek pārveidota ar tulkojumu, tā nemaina savu orientāciju attiecībā pret sākotnējo stāvokli, kā arī nezaudē iekšējos izmērus, tā leņķu un malu izmērus. Šo pārvietojumu nosaka trīs parametri:
- viens virziens, kas var būt horizontāls, vertikāls vai slīps.
- viens virziens, kas var būt pa kreisi, pa labi, uz augšu vai uz leju.
- attālums vai lielums, kas ir garums no jebkura punkta, kas pārvietojas, sākotnējās pozīcijas līdz beigām.
Lai izpildītu izometrisko transformāciju ar tulkojumu, jāizpilda šādi nosacījumi:
- Figūrai vienmēr jāsaglabā visi tās izmēri - gan lineāri, gan leņķiski.
- skaitlis nemaina savu stāvokli attiecībā pret horizontālo asi; tas ir, tā leņķis nekad nemainās.
- Tulkojumi vienmēr tiks apkopoti vienā, neatkarīgi no veikto tulkojumu skaita.
Plaknē, kur centrs ir punkts O, ar koordinātām (0,0), tulkojumu nosaka vektors T (a, b), kas norāda sākuma punkta pārvietojumu. Proti:
P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)
Piemēram, ja koordinātu punktam P (8, -2) piemēro tulkojumu T (-4, 7), iegūstam:
P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)
Nākamajā attēlā (pa kreisi) var redzēt, kā punkts C pārvietojās, lai sakristu ar D. Tas notika vertikālā virzienā, virziens bija uz augšu un attālums vai CD amplitūda bija 8 metri. Labajā attēlā tiek novērots trijstūra tulkojums:
Pēc rotācijas
Tās ir tās izometrijas, kas figūrai ļauj pagriezt visus plaknes punktus. Katrs punkts rotē lokā ar nemainīgu leņķi un fiksētu punktu (griešanās centru).
Tas ir, visu rotāciju definēs ar tās rotācijas centru un griešanās leņķi. Kad figūra tiek pārveidota ar pagriešanu, tā saglabā tā leņķu un malu izmēru.
Rotācija notiek noteiktā virzienā, tā ir pozitīva, ja griešanās notiek pretēji pulksteņrādītāja virzienam (pretēji pulksteņa rādītāja virzienam), un negatīva, ja tā griežas pulksteņrādītāja virzienā.
Ja punkts (x, y) tiek pagriezts attiecībā pret sākumu, tas ir, tā rotācijas centrs ir (0,0), 90 vai 360 leņķī, vai punktu koordinātas būs:
Gadījumā, ja rotācijas sākumā nav centra, koordinātu sistēmas izcelsme jāpārnes uz jauno norādīto sākumu, lai varētu pagriezt figūru ar sākumu kā centru.
Piemēram, ja tiek piemērots punkts P (-5,2), tad rotācija ir 90 vai , ap sākumu un pozitīvi, tās jaunās koordinātas ir (-2,5).
Pēc refleksijas vai simetrijas
Tās ir tās pārvērtības, kas apgriež plaknes punktus un skaitļus. Šī inversija var būt attiecībā pret punktu vai arī pret līniju.
Citiem vārdiem sakot, šāda veida pārveidē katrs sākotnējās figūras punkts ir saistīts ar citu homologās figūras punktu (attēlu) tādā veidā, ka punkts un tā attēls atrodas vienādā attālumā no līnijas, ko sauc par simetrijas asi. .
Tādējādi figūras kreisā daļa būs labās daļas atspulgs, nemainot tās formu vai izmērus. Simetrija pārveido figūru citā vienādā, bet pretējā virzienā, kā redzams šajā attēlā:
Simetrija ir sastopama daudzos aspektos, piemēram, dažos augos (saulespuķēs), dzīvniekos (pāvs) un dabas parādībās (sniegpārslās). Cilvēks to atspoguļo uz sejas, ko uzskata par skaistuma faktoru. Refleksija vai simetrija var būt divu veidu:
Centrālā simetrija
Tieši šī transformācija notiek attiecībā pret punktu, kurā figūra var mainīt savu orientāciju. Katrs sākotnējā attēla punkts un tā attēls atrodas vienādā attālumā no punkta O, ko sauc par simetrijas centru. Simetrija ir galvenā, ja:
- Gan punkts, gan tā attēls, gan centrs ietilpst vienā līnijā.
- Ar centra O pagriešanos par 180 o , iegūst skaitli, kas vienāds ar oriģinālu.
- Sākotnējās figūras līnijas ir paralēlas izveidotās figūras līnijām.
- Skaitļa izjūta nemainās, tā vienmēr būs pulksteņrādītāja virzienā.
Rotācijas sastāvs
Divu pagriezienu ar vienu un to pašu centru kompozīcija rada citu pagriezienu, kuram ir vienāds centrs un kura amplitūda būs divu pagriezienu amplitūdu summa.
Ja pagriezienu centram ir atšķirīgs centrs, pagrieziena centrā būs divu līdzīgu punktu segmentu bisektora griezums.
Simetrijas sastāvs
Šajā gadījumā kompozīcija būs atkarīga no tā, kā tā tiek piemērota:
- Ja divreiz tiek pielietota tā pati simetrija, rezultāts būs identitāte.
- Ja attiecībā uz divām paralēlām asīm tiek izmantotas divas simetrijas, rezultāts būs translācija, un tā pārvietojums ir divreiz lielāks par šo asu attālumu:
- Ja attiecībā uz divām asīm, kas krustojas punktā O (centrā), tiek izmantotas divas simetrijas, iegūs pagriezienu ar centru O un tā leņķis būs divreiz lielāks par asu izveidoto leņķi:
Atsauces
- V Buržuā, JF (1988). Materiāli ģeometrijas veidošanai. Madride: sintēze.
- Cēzars Kalavera, IJ (2013). Tehniskais zīmējums II. Paraninfo SA: Torņa izdevumi.
- Koksters, H. (1971). Ģeometrijas pamati. Meksika: Limusa-Wiley.
- Koksfords, A. (1971). Ģeometrijas pieeja transformācijai. ASV: brāļi Laidlovi.
- Liliana Siñeriz, RS (2005). Stingru pārvērtību mācīšana un formalizēšana CABRI vidē.
- , PJ (1996). Plaknes izometriju grupa. Madride: sintēze.
- Suarē, AC (2010). Pārvērtības plaknē. Gurabo, Puertoriko: AMCT.