TESSELLATIONS: RAKSTURLIELUMI, VEIDI (REGULĀRI, NEREGULĀRI), PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

The tilings ir pārklātās virsmas viens vai vairāki skaitļi sauc tesserae. Viņi ir visur: visu veidu ielās un ēkās. Flīzes vai flīzes ir plakani gabali, parasti daudzstūri ar vienveidīgām vai izometriskām kopijām, kas ir novietoti pēc parauga. Tādā veidā nepaliek atstarpes, un flīzes vai mozaīkas nepārklājas.

Gadījumā, ja tiek izmantota viena veida mozaīka, ko veido regulārs daudzstūris, tad notiek regulāra tesselēšana, bet, ja tiek izmantoti divi vai vairāki parasto daudzstūru veidi, tad tā ir daļēji regulāra tesselācija.

1. attēls. Flīžu grīda ar neregulāru sadalījumu, jo taisnstūri ir neregulāri daudzstūri, kaut arī kvadrāti ir. Avots: Pixabay.

Visbeidzot, kad daudzstūri, ko veido tesselācijas formas, nav regulāri, tad tā ir neregulāra tesselācija.

Visizplatītākais tesselācijas veids ir taisnstūrveida un īpaši kvadrātveida mozaīkas. 1. attēlā mums ir labs piemērs.

Tessellations vēsture

Tessellation ir izmantots tūkstošiem gadu, lai segtu dažādu kultūru un reliģiju pilu un tempļu grīdas un sienas.

Piemēram, šumeru civilizācija, kas uzplauka ap 3500. gadu pirms mūsu ēras uz dienvidiem no Mesopotāmijas, starp Eifratas un Tigris upēm, savā arhitektūrā izmantoja tessellations.

2. attēls. Šumeru teselācijas pie Istar vārtiem. Avots: Wikimedia Commons.

Tesselācijas ir izraisījušas arī visu vecumu matemātiķu interesi: sākot ar Arhimēdu 3. gadsimtā pirms mūsu ēras, pēc tam Johanesam Kepleram 1619. gadā, Camille Jordanam 1880. gadā līdz mūsdienu laikiem ar Rodžeru Penrozi.

Penrose izveidoja neperiodisku tesselāciju, kas pazīstama kā Penrose tessellation. Šie ir tikai daži zinātnieku vārdi, kuri daudz devuši ieguldījumu tesselācijas jomā.

Regulāras teselācijas

Regulāras teselācijas tiek veiktas tikai ar viena regulārā daudzstūra veidu. No otras puses, lai tesselāciju uzskatītu par regulāru, katrā plaknes punktā:

-Galīgi daudzstūra iekšpusē

-Vai līdz divu blakus esošu daudzstūru malai

-Visbeidzot, tas var piederēt vismaz trīs daudzstūru kopējai virsotnei.

Ar iepriekšminētajiem ierobežojumiem var parādīt, ka tikai vienādmalu trīsstūri, kvadrāti un sešstūri var veidot regulāru tesselāciju.

Nomenklatūra

Tessellations apzīmē nomenklatūra, kas sastāv no pulksteņrādītāja kustības virzienā norādīta un ar punktu atdalīta daudzstūru malu skaita, kas ieskauj katru tesselācijas mezglu (vai virsotni), vienmēr sākot ar daudzstūri ar mazāko skaitli sānos.

Šī nomenklatūra attiecas uz regulārām un daļēji regulārām tesselācijām.

1. piemērs: trīsstūrveida stiprināšana

3. attēlā parādīta regulāra trīsstūrveida tezelēšana. Jāatzīmē, ka katrs trīsstūra tesselācijas mezgls ir sešu vienādmalu trijstūru kopējā virsotne.

Veids, kā apzīmēt šāda veida tesselēšanu, ir 3.3.3.3.3.3., Ko apzīmē arī ar 3 ⁶ .

3. attēls. Regulāra trīsstūrveida tesselācija 3.3.3.3.3.3. Avots: wikimedia commons

2. piemērs: kvadrātveida tesselēšana

4. attēlā parādīta regulāra tesselēšana, kas sastāv tikai no kvadrātiem. Jāatzīmē, ka katru mezgla mezglu ieskauj četri sakrītoti kvadrāti. Apzīmējums, ko piemēro šāda veida kvadrātveida tesselēšanai, ir: 4.4.4.4 vai alternatīvi 4 ⁴

4. attēls. Kvadrātveida stiprinājums 4.4.4.4. Avots: wikimedia commons.

3. piemērs: sešstūra tezelēšana

Sešstūra tesselācijā katru mezglu ieskauj trīs regulāri sešstūri, kā parādīts 5. attēlā. Regulāras sešstūra tesselācijas nomenklatūra ir 6.6.6 vai alternatīvi 6 ³ .

5. attēls. Sešstūra tezelēšana 6.6.6. Avots: wikimedia commons.

Puslīdz regulāras tessellations

Daļēji regulāras vai Arhimēdas tesselācijas sastāv no diviem vai vairākiem regulāru daudzstūru veidiem. Katru mezglu ieskauj daudzstūru veidi, kas veido tesselāciju, vienmēr tādā pašā secībā, un malas stāvoklis ir pilnībā kopīgs ar kaimiņu.

Ir astoņas daļēji regulāras teselācijas:

1. 3.6.3.6 (trīsstūrveida tezelēšana)
2. 3.3.3.3.6. (Neass sešstūrains tezelējums)
3. 3.3.3.4.4 (iegarena trīsstūrveida tezelēšana)
4. 3.3.4.3.4. (Neass kvadrātveida tezelēšana)
5. 3.4.6.4. (Rhombi-tri-heksagonal tessellation)
6. 4.8.8 (saīsināta kvadrātveida tesselācija)
7. 3.12.12. (Saīsināta sešstūra tezelēšana)
8. 4.6.12. (Saīsināta trīsstūrveida tezelēšana)

Daži daļēji regulāru tesselāciju piemēri ir parādīti zemāk.

4. piemērs: Trīs sešstūru tesselēšana

Tas ir tas, kas sastāv no vienādmalu trīsstūriem un regulāriem sešstūriem 3.6.3.6. Struktūrā, kas nozīmē, ka mežģīnes mezglu (līdz viena pagrieziena pabeigšanai) ieskauj trīsstūris, sešstūris, trīsstūris un sešstūris. 6. attēlā parādīta šāda tesselēšana.

6. attēls. Trīskārtīgs tesselēšana (3.6.3.6.) Ir daļēji regulāras tesselācijas piemērs. Avots: Wikimedia Commons.

5. piemērs: neass sešstūrains tesselēšana

Līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, arī šis sastāv no trīsstūriem un sešstūriem, bet to sadalījums ap mezglu ir 3.3.3.3.6. 7. attēls skaidri parāda šāda veida tesselāciju.

7. attēls. Neass sešstūra tesselācija sastāv no sešstūra, ko 3.3.3.3.6 konfigurācijā ieskauj 16 trīsstūri. Avots: Wikimedia Commons.

6. piemērs: rhombi-tri-hexagonal tessellation

Tā ir tesselācija, kas sastāv no trīsstūriem, kvadrātiem un sešstūriem, konfigurācijā 3.4.6.4, kas parādīta 8. attēlā.

8. attēls. Daļēji regulāra tesselācija, kas sastāv no trīsstūra, kvadrāta un sešstūra 3.4.6.4. Konfigurācijā. Avots: Wikimedia Commons.

Neregulāras tessellations

Neregulāri tessellations ir tie, ko veido neregulāri daudzstūri vai regulāri daudzstūri, bet neatbilst kritērijam, ka mezgls ir vismaz trīs daudzstūru virsotne.

7. piemērs

9. attēlā parādīts neregulāras tesselācijas piemērs, kurā visi daudzstūri ir regulāri un sakrustoti. Tas ir neregulārs, jo mezgls nav kopēja virsotne, kas sastāv vismaz no trim kvadrātiem, un ir arī blakus esoši kvadrāti, kas pilnībā nesakrīt ar malu.

9. attēls. Lai arī visas flīzes ir sakrīt kvadrāti, tas ir skaidrs neregulāras ruļļošanās piemērs. Avots: F. Zapata.

8. piemērs

Paralēlogramma izlīdzina plakanu virsmu, bet, ja tā nav kvadrāta, tā nevar veidot regulāru tesselāciju.

10. attēls. Paralēlogrammu veidota tesselācija ir neregulāra, jo tās mozaīkas ir neregulāri daudzstūri. Avots: F. Zapata.

9. piemērs

Neregulārie sešstūri ar centrālo simetriju izlīdzina līdzenu virsmu, kā parādīts šajā attēlā:

11. attēls. Sešstūri ar centrālu simetriju pat tad, ja tie nav normāli, savelk plakni. Avots: F. Zapata.

10. piemērs: Kairas teselēšana

Tas ir ļoti interesants tesselācija, ko veido piecstūri ar vienāda garuma, bet ar nevienmērīgiem leņķiem, no kuriem divi ir taisni, bet pārējie trīs ir katrs pa 120º.

Tās nosaukums cēlies no fakta, ka šī tesselācija ir sastopama dažu Kairas ielu ietvēs Ēģiptē. 12. attēlā parādīta Kairas kabeļtelevīzija.

12. attēls. Kairas testēšana. Avots: Wikimedia Commons.

11. piemērs: Al-Andalus tesselēšana

Atsevišķās Andalūzijas un Ziemeļāfrikas daļās plīsumam ir raksturīga ģeometrija un epigrāfija, kā arī dekoratīvie elementi, piemēram, veģetācija.

Tādu pilu kā Alhambras stilizāciju veidoja flīzes, kas veidotas no daudzu krāsu keramikas gabaliem ar vairākām (ja ne bezgalīgām) formām, kuras parādījās ģeometriskos rakstos.

13. attēls. Alhambra pils testēšana. Tartaglia / Publiskais īpašums

12. piemērs. Tesselēšana videospēlēs

Pazīstams arī kā stāstījums, tas ir viens no populārākajiem jaunumiem videospēlēs. Tas ir par faktūru izveidi, lai modelētu dažādu scenāriju, kas parādās simulatorā, tekstilizāciju.

Tas skaidri atspoguļo to, ka šie pārklājumi turpina attīstīties, šķērsojot realitātes robežas.

Atsauces

1. Izbaudi matemātiku. Tesselācijas. Atgūts no: enjoymatematicas.com
2. Rubiños. Tessellations atrisināti piemēri. Atgūts no: matematicasn.blogspot.com
3. Veisšteins, Ēriks W. "Demiregular tessellation." Veisšteins, Ēriks V, ed. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Tessellation. Atgūts no: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Regulāra tesselēšana. Atgūts no: es.wikipedia.com