- Aritmētikas pamatteormas pierādījums
- Galvenās faktorizācijas unikalitāte
- Lietojumprogrammas
- Galvenie skaitļi dabā
- Galvenie numuri un iepirkšanās tiešsaistē
- Atrisināti vingrinājumi
- - 1. vingrinājums
- Risinājums
- - 2. vingrinājums
- Risinājums
- Atsauces
Aritmētikas pamatteorēma nosaka, ka jebkura fiziska skaitlis ir lielāks par 1, var sadalīt kā produktu prime skaitu - daži var atkārtot - un tas forma ir unikāla šo numuru, lai gan kārtība no faktoriem, var būt atšķirīgs.
Atcerieties, ka primārais skaitlis p ir tāds, kurš tikai atzīst sevi par pozitīvu dalītāju un skaitli 1. Šie skaitļi ir PRIMES: 2, 3, 5, 7, 11, 13 un tā tālāk, jo ir bezgalības. Skaitli 1 neuzskata par galveno, jo tam ir tikai viens dalītājs.
1. attēls. Eiklids (pa kreisi) pierādīja aritmētikas pamatteormu savā grāmatā Elementi (350 BC), un pirmais pilnīgais pierādījums ir saistīts ar Karlu F. Gausu (1777-1855) (pa labi). Avots: Wikimedia Commons.
No otras puses, skaitļus, kas neatbilst iepriekšminētajam, sauc par saliktiem numuriem, piemēram, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Ņemsim, piemēram, skaitli 10 un uzreiz redzēsim, ka to var sadalīt kā 2 un 5:
10 = 2 × 5
Gan 2, gan 5 faktiski ir sākotnējie skaitļi. Teorēma norāda, ka tas ir iespējams jebkuram skaitlim n:
Kur p 1 , p 2 , p 3 … p r ir sākotnējie skaitļi un k 1 , k 2 , k 3 ,… k r ir naturālie skaitļi. Tātad sākotnējie skaitļi darbojas kā celtniecības bloki, no kuriem, reizinot, tiek veidoti dabiskie skaitļi.
Aritmētikas pamatteormas pierādījums
Sākumā parādīsim, ka katru skaitli var sadalīt galvenajos faktoros. Ļaujiet būt naturālam skaitlim n> 1, sākotnējam vai saliktam.
Piemēram, ja n = 2, to var izteikt šādi: 2 = 1 × 2, kas ir galvenā. Tādā pašā veidā rīkojieties ar šādiem skaitļiem:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Mēs turpinām šādi, sadalot visus naturālos skaitļus, līdz mēs sasniedzam skaitli n -1. Redzēsim, vai mēs to varam izdarīt ar šādu numuru: n.
Ja n ir galvenā, mēs varam to sadalīt kā n = 1 × n, bet pieņemsim, ka n ir salikts un ar dalītāju d, loģiski mazāku par n:
1 <d <n.
Ja n / d = p 1 , ar p 1 galveno skaitli, tad n raksta šādi:
n = p 1 .d
Ja d ir galvenais nav daudz darīt, bet, ja tā nav, ir vairāki n 2 , kas ir dalītājs ar d un mazāk nekā šis: N 2 <d, lai d var rakstīt, jo produkts n 2 ar otru sākotnējais skaitlis p 2 :
d = p 2 n 2
Tas, ka, aizstājot sākotnējo skaitli n, iegūtu:
n = p 1 .p 2 .n 2
Tagad pieņemsim, ka n 2 arī nav skaitlis, un mēs to uzrakstām kā sākotnējā skaitļa p 3 reizinājumu ar dalītāju n 3 tā , ka n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
Mēs atkārtojam šo procedūru ierobežotas reizes, līdz iegūstam:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
Tas nozīmē, ka ir iespējams sadalīt visus veselos skaitļus no 2 līdz skaitlim n kā sākotnējo skaitļu reizinājumu.
Galvenās faktorizācijas unikalitāte
Tagad pārliecināsimies, ka, izņemot faktoru secību, šī sadalīšanās ir unikāla. Pieņemsim, ka n var uzrakstīt divējādi:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q s (ar r ≤ s)
Protams, q 1 , q 2 , q 3 … ir arī skaitļi. Tā kā p 1 dalās (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ), tad p 1 ir vienāds ar jebkuru no “q”, nav svarīgi, kurš no tiem ir, tāpēc mēs varam teikt, ka p 1 = q 1 . Mēs dalām n ar p 1 un iegūstam:
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
Procedūru atkārtojam, līdz visu sadalām ar p r , tad iegūstam:
1 = q r + 1 … q s
Bet q r + 1 … q s = 1 nav iespējams sasniegt, kad r <s, tikai tad, ja r = s. Kaut arī atzīstot, ka r = s, tiek atzīts arī, ka "p" un "q" ir vienādi. Tāpēc sadalīšanās ir unikāla.
Lietojumprogrammas
Kā mēs jau teicām iepriekš, sākotnējie skaitļi, ja vēlaties, apzīmē skaitļu atomus, to pamata komponentus. Tātad aritmētikas pamatteoremai ir daudz pielietojumu, pats acīmredzamākais: mēs varam strādāt ar lieliem skaitļiem vieglāk, ja mēs tos izsakām kā mazāku skaitļu reizinājumu.
Tādā pašā veidā mēs varam atrast visizplatītāko daudzkārtīgo (LCM) un vislielāko kopējo dalītāju (GCF) - procedūru, kas palīdz mums vieglāk veikt frakciju summas, atrast lielu skaitu saknes vai darboties ar radikāļiem, racionalizēt un atrisināt ļoti daudzveidīga piemērošanas problēmas.
Turklāt sākotnējie skaitļi ir ārkārtīgi mīklaini. Tajās modelis vēl nav atpazīts, un nav iespējams zināt, kurš no tiem būs nākamais. Lielākais līdz šim tika atrasts datoros, un tam ir 24 862 048 cipari, lai gan jaunie sākotnējie skaitļi katru reizi parādās retāk.
Galvenie skaitļi dabā
Cicadas, cicádidos vai cicadas, kas dzīvo Amerikas Savienoto Valstu ziemeļaustrumos, parādās 13 vai 17 gadu ciklos. Tie abi ir sākotnējie skaitļi.
Tādā veidā cikādas izvairās no sakritības ar plēsējiem vai konkurentiem, kuriem ir citi dzimšanas periodi, kā arī konkurē dažādas cikādu šķirnes, jo tās nesakrīt vienā un tajā pašā gadā.
2. attēls. Amerikas Savienoto Valstu austrumu daļa Magicicada parādās ik pēc 13 līdz 17 gadiem. Avots: Pxfuel.
Galvenie numuri un iepirkšanās tiešsaistē
Kriptogrāfijā tiek izmantoti sākotnējie skaitļi, lai saglabātu kredītkartes datus slepenus, veicot pirkumus internetā. Tādā veidā tiek iegūti dati, ka pircējs precīzi nonāk veikalā, nepazūdot vai nonākot negodīgu cilvēku rokās.
Kā? Datus uz kartēm kodē ar skaitli N, ko var izteikt kā sākotnējo skaitļu reizinājumu. Šie sākotnējie skaitļi ir atslēga, ko dati atklāj, bet tie nav sabiedrībai zināmi, tos var atšifrēt tikai tīmeklī, uz kuru tie ir novirzīti.
Skaitļa sadalīšana faktoros ir viegls uzdevums, ja skaitļi ir mazi (skat. Atrisinātos vingrinājumus), taču šajā gadījumā par atslēgu tiek izmantoti 100 ciparu lielie skaitļi, kas, reizinot tos, dod daudz lielākus skaitļus, kuru detalizēta sadalīšana ir saistīta ar milzīgu uzdevumu .
Atrisināti vingrinājumi
- 1. vingrinājums
Sadaliet 1029 pamata faktoros.
Risinājums
1029 dalās ar 3. Tas ir zināms, jo, pievienojot tā ciparus, summa ir 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. reizinājums. Tā kā koeficientu secība nemaina reizinājumu, mēs varam sākt tur:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
No otras puses, 343 = 7 3 , tad:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
Un tā kā gan 3, gan 7 ir sākotnējie skaitļi, tas ir sadalījums 1029.
- 2. vingrinājums
Faktors trinomālais x 2 + 42x + 432.
Risinājums
Trinomiāls tiek pārrakstīts formā (x + a). (x + b), un mums jāatrod a un b vērtības:
a + b = 42; ab = 432
Skaitlis 432 tiek sadalīts pamatfaktoros, un no tā ar izmēģinājumu un kļūdu izvēlas atbilstošo kombināciju, lai pievienotie koeficienti iegūtu 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
Šeit ir vairākas iespējas rakstīt 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
Un visu var atrast, kombinējot produktus starp galvenajiem faktoriem, bet, lai atrisinātu piedāvāto uzdevumu, vienīgā piemērotā kombinācija ir: 432 = 24 × 18, kopš 24 + 18 = 42, tad:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Atsauces
- Baldor, A. 1986. Teorētiskā praktiskā aritmētika. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC pasaule. Slēptais dabas kods. Atgūts no: bbc.com.
- De Leons, Manuels Galvenie skaitļi: interneta aizbildņi. Atgūts no: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Skaitļu teorija I: Aritmētikas pamatteorija. Atgūts no: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. Aritmētikas pamatteorema. Atgūts no: es.wikipedia.org.