VARIGNONA TEORĒMA: PIEMĒRI UN ATRISINĀTIE VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Teorēma Varignon teikts, ka, ja kāds četrstūris ir pastāvīgi savienotas viduspunktus pusēm paralelograms tiek radīts. Šo teorēmu formulēja Pjērs Varignons, un tā tika publicēta 1731. gadā grāmatā Matemātikas elementi ”.

Grāmatas izdošana notika gadus pēc viņa nāves. Tā kā šo teorēmu ieviesa Varignons, paralēlogramma tiek nosaukta viņa vārdā. Teorēma ir balstīta uz Eiklīda ģeometriju un parāda četrstūru ģeometriskās attiecības.

Kāda ir Varignona teorēma?

Varignons paziņoja, ka skaitlis, ko nosaka četrstūra viduspunkti, vienmēr radīs paralelogrammu, un tā laukums vienmēr būs puse no četrstūra laukuma, ja tas ir plakans un izliekts. Piemēram:

Attēlā var redzēt četrstūri ar laukumu X, kur malu viduspunktus apzīmē ar E, F, G un H un, kad tie ir savienoti, tie veido paralēli. Četrstūra laukums būs izveidoto trijstūru laukumu summa, un puse no tā atbilst paralelogrammas laukumam.

Tā kā paralēlās diagrammas laukums ir puse no četrstūra laukuma, var noteikt šīs paralēles diagrammas perimetru.

Tādējādi perimetrs ir vienāds ar četrstūra diagonāļu garumu summu; tas notiek tāpēc, ka četrstūra mediānas būs paralēles diagrammas diagonāles.

No otras puses, ja četrstūra diagonāļu garumi ir tieši vienādi, paralelograma būs romba. Piemēram:

No attēla redzams, ka, pievienojoties četrstūra sānu viduspunktiem, tiek iegūts rombs. No otras puses, ja četrstūra diagonāles ir perpendikulāras, paralelograma būs taisnstūris.

Arī paralēlā diagramma būs kvadrāts, kad četrstūrim ir tāda paša garuma diagonāles un tie ir arī perpendikulāri.

Teorēma tiek izpildīta ne tikai plakņu četrstūros, tā tiek realizēta arī telpiskajā ģeometrijā vai lielās dimensijās; tas ir, tajos četrstūros, kas nav izliekti. Tā piemērs var būt astoņstūris, kur viduspunkti ir katras sejas centraidi un veido paralēlskaldni.

Tādā veidā, savienojot dažādu figūru viduspunktus, var iegūt paralēles. Vienkāršs veids, kā pārbaudīt, vai tā patiešām ir, ir tas, ka pretējām pusēm ir jābūt paralēlām, kad tās izstiepj.

Piemēri

Pirmais piemērs

Pretējo malu paplašināšana, lai parādītu, ka tā ir paralelograma:

Otrais piemērs

Apvienojot romba viduspunktus, iegūst taisnstūri:

Teorēma tiek izmantota punktu savienībā, kas atrodas četrstūra malu vidū, un to var izmantot arī cita veida punktiem, piemēram, trisekcijai, penta-sekcijai vai pat bezgalīgam sekciju skaitam ( n.), lai jebkura četrstūra malas sadalītu proporcionālos segmentos.

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Attēlā mums ir četrstūris ABCD no zonas Z, kur tā malu viduspunkti ir PQSR. Pārbaudiet, vai ir izveidojusies Varignonas paralēlā diagramma.

Risinājums

Var redzēt, ka pievienošanās PQSR punktiem veido Varignona paralelogrammu tieši tāpēc, ka paziņojumā ir norādīti četrstūra viduspunkti.

Lai to pierādītu, vispirms tiek pievienoti viduspunkti PQSR, tāpēc redzams, ka veidojas vēl viens četrstūris. Lai pierādītu, ka tā ir paralelograma, jums ir jānovelk tikai taisna līnija no punkta C līdz punktam A, tāpēc var redzēt, ka CA ir paralēla PQ un RS.

Tādā pašā veidā, pagarinot PQRS malas, var redzēt, ka PQ un RS ir paralēli, kā parādīts šajā attēlā:

2. vingrinājums

Mums ir taisnstūris tāds, ka visu tā malu garums ir vienāds. Apvienojot šo sānu viduspunktus, veidojas romba ABCD, kuru dala ar divām diagonālēm AC = 7cm un BD = 10cm, kas sakrīt ar taisnstūra malu izmēriem. Nosakiet romba un taisnstūra laukumus.

Risinājums

Atceroties, ka iegūtā paralelograma laukums ir puse no četrstūra, to laukumu var noteikt, zinot, ka diagonāļu izmērs sakrīt ar taisnstūra malām. Tātad jums:

AB = D

CD = d

_Taisnstūris = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

_Rhombus = a _taisnstūris / 2

_Rhombus = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

3. vingrinājums

Attēlā ir četrstūris, kam ir punktu EFGH savienojums, norādīti segmentu garumi. Nosakiet, vai EFGH savienība ir paralelograma.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Risinājums

Tā kā ir norādīti segmentu garumi, var pārliecināties, vai starp segmentiem ir samērīgums; tas ir, jūs varat zināt, vai tie ir paralēli, četrstūra segmentus saista šādi:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Tad tiek pārbaudīta proporcionalitāte, jo:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Tāpat, zīmējot līniju no punkta B uz punktu D, var redzēt, ka EH ir paralēla BD, tāpat kā BD ir paralēla FG. No otras puses, EF ir paralēla GH.

Tādējādi var noteikt, ka EFGH ir paralelogramma, jo pretējās puses ir paralēlas.

Atsauces

1. Andres, T. (2010). Matemātikas olimpiādes tresure. Springers. Ņujorka.
2. Barbosa, JL (2006). Plaknes Eiklīda ģeometrija. SBM. Riodežaneiro.
3. Hoārs, E. (1969). Ģeometrijas izpēte. Meksika: Hispanic - American.
4. Ramo, ģimenes ārsts (1998). Nezināmi Fermat-Torricelli problēmu risinājumi. ISBN - patstāvīgais darbs.
5. Vera, F. (1943). Ģeometrijas elementi. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Daži piedzīvojumi Eiklīda ģeometrijā. Dienvidāfrika.