MILETUS PASAKAS TEORĒMA: PIRMAIS, OTRAIS UN PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Miletus Thales pirmās un otrās teorēmas pamatā ir trijstūru noteikšana no līdzīgiem (pirmā teorēma) vai no apļiem (otrā teorēma). Tie ir bijuši ļoti noderīgi dažādās jomās. Piemēram, pirmā teorēma bija ļoti noderīga lielu struktūru mērīšanai, kad nebija sarežģītu mērinstrumentu.

Thales of Miletus bija grieķu matemātiķis, kurš sniedza lielu ieguldījumu ģeometrijas attīstībā, no kurām šīs divas teorēmas izceļas (dažos tekstos viņš ir arī uzrakstīts kā Thales) un to noderīgajiem lietojumiem. Šie rezultāti ir izmantoti visā vēsturē, un tie ļāva atrisināt visdažādākās ģeometriskās problēmas.

Miletus tales

Thales pirmā teorēma

Thales pirmā teorēma ir ļoti noderīgs rīks, kas cita starpā ļauj izveidot trīsstūri, kas līdzīgs citam iepriekš zināmam. No šejienes tiek iegūtas dažādas teorēmas versijas, kuras var pielietot dažādos kontekstos.

Pirms izteikt savu viedokli, atcerēsimies dažus priekšstatus par trijstūru līdzību. Būtībā divi trīsstūri ir līdzīgi, ja to leņķi ir sakrīt (tiem ir vienāds izmērs). Tā rezultāts ir fakts, ka, ja divi trīsstūri ir līdzīgi, to atbilstošās (vai homologās) malas ir proporcionālas.

Thales pirmā teorēma norāda, ka, ja līnija tiek novilkta paralēli jebkurai tās pusei noteiktā trijstūrī, iegūtais jaunais trīsstūris būs līdzīgs sākotnējam trīsstūrim.

Arī veidojas leņķi, kā parādīts nākamajā attēlā.

Pieteikums

Starp daudzajiem pielietojumiem izceļas viena īpaša interese, kas saistīta ar vienu no veidiem, kā senatnē tika veikti lielo struktūru mērījumi - laikā, kad Thales dzīvoja un kurā nebija modernu mērīšanas ierīču, kas tie pastāv tagad.

Mēdz teikt, ka šādi Thalesam izdevās izmērīt Ēģiptes augstāko piramīdu Cheops. Tam Thales domāja, ka saules staru atstarojumi pieskaras zemei, veidojot paralēlas līnijas. Saskaņā ar šo pieņēmumu viņš pavirši nūju vai niedru vertikāli zemē.

Pēc tam viņš izmantoja divu iegūto trīsstūru līdzību, vienu veidojot piramīdas ēnas garumu (kuru var viegli aprēķināt) un piramīdas augstumu (nezināms), bet otru veido ēnas garums. un stieņa augstums (ko var arī viegli aprēķināt).

Izmantojot proporcionalitāti starp šiem garumiem, var atrisināt un uzzināt piramīdas augstumu.

Lai gan šī mērīšanas metode var radīt ievērojamu tuvināšanas kļūdu attiecībā uz augstuma precizitāti un ir atkarīga no saules staru paralēlisma (kas savukārt ir atkarīgs no precīza laika), ir jāatzīst, ka tā ir ļoti ģeniāla ideja un ka tas nodrošināja labu laika alternatīvu mērīšanai.

Piemēri

Katrā gadījumā atrodiet x vērtību:

Thales otrā teorēma

Otrā Thales teorēma nosaka taisno trīsstūri, kas apvilkts aplī katrā tā paša punkta punktā.

Trijstūris, kas apzīmēts ar apkārtmēru, ir trīsstūris, kura virsotnes atrodas uz apkārtmēru, tādējādi paliekot tajā.

Konkrēti, Thales otrajā teorēmā teikts: ņemot vērā apli ar centru O un diametru AC, katrs punkts B uz perimetra (izņemot A un C) nosaka taisno trīsstūri ABC ar taisno leņķi

Kā pamatojumu atzīmēsim, ka gan OA, gan OB, gan OC atbilst apkārtmēra rādiusam; tāpēc to mērījumi ir vienādi. No tā izriet, ka trīsstūri OAB un OCB ir vienādsānu, kur

Ir zināms, ka trīsstūra leņķu summa ir vienāda ar 180º. Izmantojot to ar trīsstūri ABC, mums ir:

2b + 2a = 180º.

Līdzvērtīgi mums ir, ka b + a = 90 ° un b + a =

Ņemiet vērā, ka taisnais trīsstūris, ko nodrošina Thales otrā teorēma, ir tieši tāds, kura hipotenūza ir vienāda ar apkārtmēra diametru. Tāpēc to pilnīgi nosaka pusloks, kurā ir trīsstūra punkti; šajā gadījumā augšējais pusloks.

Ievērosim arī to, ka labajā trīsstūrī, kas iegūts, izmantojot Thales otro teorēmu, hipotenūza ir sadalīta divās vienādās daļās ar OA un OC (rādiuss). Šis izmērs savukārt ir vienāds ar segmentu OB (arī rādiusu), kas atbilst trijstūra ABC vidējai vērtībai ar B.

Citiem vārdiem sakot, labā trijstūra ABC vidus garumu, kas atbilst virsotnei B, pilnībā nosaka puse no hipotenūzes. Atgādiniet, ka trijstūra vidusdaļa ir segments no vienas virsotnes līdz pretējās puses viduspunktam; šajā gadījumā BO segments.

Apkārtējais apkārtmērs

Vēl viens veids, kā aplūkot Thales otro teorēmu, ir caur apkārtmēru, kas apzīmēts līdz taisnstūrim.

Parasti daudzstūrim noteiktais apkārtmērs sastāv no apkārtmēra, kas iet caur katru tā virsotni, kad vien to ir iespējams uzzīmēt.

Izmantojot Thales otro teorēmu, kurai dots taisns trīsstūris, mēs vienmēr varam uzbūvēt tai apkārt aprakstītu apkārtmēru ar rādiusu, kas vienāds ar pusi no hipotenūzes, un apkārtmēru (apkārtmēra centru), kas vienāds ar hipotenūzes viduspunktu.

Pieteikums

Ļoti svarīgs Thales otrās teorēmas pielietojums un, iespējams, visplašāk izmantotais, ir atrast pieskares līnijas noteiktam lokam caur punktu P, kas atrodas ārpus šī (zināmā).

Ņemiet vērā, ka, ņemot vērā apli (zemāk redzamajā attēlā iezīmēts zilā krāsā) un ārējo punktu P, ir divas līnijas, kas pieskaras aplim, kas iet caur P. Lai T un T 'būtu tangences punkti, r apļa rādiuss, un Vai arī centrs.

Ir zināms, ka segments, kas iet no apļa centra līdz tā paša tangences punktam, ir perpendikulārs šai pieskares līnijai. Tātad leņķis OTP ir pareizs.

No tā, ko mēs iepriekš redzējām Thales pirmajā teorēmā un tās dažādajās versijās, mēs redzam, ka ir iespējams OTP trīsstūri aprakstīt citā aplī (sarkanā krāsā).

Līdzīgi iegūst, ka trīsstūri OT'P var ierakstīt tajā pašā iepriekšējā apkārtmērā.

Pēc Thales otrās teorēmas mēs arī iegūstam, ka šī jaunā apkārtmēra diametrs precīzi ir trijstūra OTP hipotenūza (kas ir vienāds ar trijstūra OT'P hipotenūzi), un centrs ir šīs hipotenūzes viduspunkts.

Lai aprēķinātu jaunā apkārtmēra centru, pietiek ar to, lai aprēķinātu viduspunktu starp sākotnējā apkārtmēra (ko mēs jau zinām) centru - teiksim M - un punktu P (ko mēs arī zinām). Tad rādiuss būs attālums starp šo punktu M un P.

Ar rādiusu un sarkanā apļa centru mēs varam atrast tā Dekarta vienādojumu, ko mēs atceramies ar (xh) ² + (yk) ² = c ² , kur c ir rādiuss un punkts (h, k) ir apkārtmēra centrs.

Tagad zinot abu apļu vienādojumus, mēs tos varam krustot, risinot to izveidoto vienādojumu sistēmu un tādējādi iegūstot tangences punktus T un T '. Visbeidzot, lai zinātu vēlamās pieskares līnijas, pietiek ar to līniju vienādojuma atrašanu, kas iet caur T un P, kā arī caur T 'un P.

Piemērs

Apsveriet apkārtmēra diametru AC, centru O un rādiusu 1 cm. B B ir perimetra punkts tāds, ka AB = AC. Cik garš ir AB?

Risinājums

Pēc Thales otrās teorēmas mums ir, ka trīsstūris ABC ir taisns un hipotenūza atbilst diametram, kas šajā gadījumā ir 2 cm (rādiuss ir 1 cm). Pēc Pitagora teorēmas mums ir:

Atsauces

1. Ana Lira, PJ (2006). Ģeometrija un trigonometrija. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hiršs, L. (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pīrsona izglītība.
3. Gutiérrez, Á. LĪDZ. (2004). Matemātikas metodika un pielietojums ESO Izglītības ministrijā.
4. IGER. (2014). Matemātikas otrais semestris Zaculeu. Gvatemala: IGER.
5. Hosē Džimēnezs, LJ (2006). Matemātika 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometrija un analītiskā ģeometrija. Pīrsona izglītība.
7. Peress, MA (2009). Matemātikas vēsture: izaicinājumi un iekarojumi caur to raksturiem. Redakcijas vīzija Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Plaknes analītiskā ģeometrija. Redakcijas Venezolana CA