MOIVRE TEORĒMA: PIERĀDĪJUMS UN ATRISINĀTI VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

No Moivre teorēmu piemērota algebra dzīvības procesus, piemēram, pilnvaru un ieguves saknēm sarežģītās skaitļiem. Teorēmu paziņoja slavenais franču matemātiķis Abrahams de Moivre (1730), kurš sarežģītos skaitļus saistīja ar trigonometriju.

Ābrahams Moivre izveidoja šo asociāciju caur sinusa un kosinusa izpausmēm. Šis matemātiķis izveidoja sava veida formulu, caur kuru ir iespējams paaugstināt komplekso skaitli z līdz jaudai n, kas ir pozitīvs vesels skaitlis, kas lielāks vai vienāds ar 1.

Kāda ir Moivre teorēma?

Moivre teorēma norāda:

Ja mums ir sarežģīts skaitlis polārā formā z = r _Ɵ , kur r ir kompleksa skaitļa z modulis, un leņķi Ɵ sauc par jebkura kompleksa skaitļa amplitūdu vai argumentu ar 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, lai aprēķinātu tā n– jaudai nebūs nepieciešams to reizināt ar n reizēm; tas ir, nav nepieciešams izgatavot šādu produktu:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n reizes.

Tieši pretēji, teorēma saka, ka, rakstot z trigonometriskā formā, lai aprēķinātu n-to jaudu, mēs rīkojamies šādi:

Ja z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), tad z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Piemēram, ja n = 2, tad z ² = r ² . Ja n = 3, tad z ³ = z ² _* z. Arī:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

Šādā veidā var iegūt sinusa un kosinusa trigonometriskās attiecības leņķa reizinājumiem, ja vien ir zināmas leņķa trigonometriskās attiecības.

Tādā pašā veidā to var izmantot, lai atrastu precīzākus un mazāk mulsinošus izteikumus kompleksa skaitļa z n-tajai saknei, lai z ⁿ = 1.

Lai pierādītu Moivra teorēmu, tiek izmantots matemātiskās indukcijas princips: ja veselam skaitlim "a" ir īpašība "P" un ja kādam veselam skaitlim "n" ir lielāks par "a", kam ir īpašība "P" Tas pierāda, ka n + 1 ir arī īpašums "P", tad visiem veseliem skaitļiem, kas lielāki vai vienādi ar "a", ir īpašums "P".

Demonstrācija

Tādējādi teorēmas pierādīšana tiek veikta ar šādām darbībām:

Induktīvā bāze

Vispirms to pārbauda, ​​vai n = 1.

Tā kā z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , teorēma ir n = 1.

Induktīvā hipotēze

Tiek pieņemts, ka formula ir patiesa attiecībā uz kādu pozitīvu skaitli, tas ir, n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Pārbaude

Ir pierādīts, ka tā ir taisnība n = k + 1.

Tā kā z ^{k + 1} = z ^k _* z, tad z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Tad izteiksmes tiek reizinātas:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Uz brīdi koeficientu r ^{k + 1} ignorē un ņem kopējo koeficientu i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Tā kā i ² = -1, mēs to aizvietojam izteiksmē un iegūstam:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Tagad ir pasūtīta reālā un iedomātā daļa:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Lai vienkāršotu izteiksmi, kosinuss un sinuss tiek piemēroti leņķu summas trigonometriskajām identitātēm, kas ir:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Šajā gadījumā mainīgie ir leņķi Ɵ un kƟ. Izmantojot trigonometriskās identitātes, mums ir:

cos kƟ _* cosƟ - grēks kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

grēks kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = grēks (kƟ + Ɵ)

Tādā veidā izteiciens ir:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Tādējādi var parādīt, ka rezultāts ir patiess n = k + 1. Pēc matemātiskās indukcijas principa tiek secināts, ka rezultāts ir patiess visiem pozitīvajiem skaitļiem; tas ir, n ≥ 1.

Negatīvs vesels skaitlis

Moivra teorēma tiek piemērota arī tad, ja n ≤ 0. Apskatīsim negatīvu skaitli «n»; tad "n" var rakstīt kā "-m", tas ir, n = -m, kur "m" ir pozitīvs vesels skaitlis. Tādējādi:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Lai pozitīvi iegūtu eksponentu «m», izteiksmi raksta apgriezti:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Tagad tiek izmantots, ka, ja z = a + b * i ir sarežģīts skaitlis, tad 1 ÷ z = ab * i. Tādējādi:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Izmantojot šo cos (x) = cos (-x) un -sen (x) = sin (-x), mums ir:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Tādējādi var teikt, ka teorēma attiecas uz visām veselām skaitļa vērtībām "n".

Atrisināti vingrinājumi

Pozitīvo spēku aprēķināšana

Viena no operācijām ar sarežģītiem skaitļiem to polārajā formā ir šo reizināšana ar diviem; tādā gadījumā moduļi tiek reizināti un argumenti pievienoti.

Ja jums ir divi sarežģīti skaitļi z _{1 un} z ₂ un vēlaties aprēķināt (z ₁ * z ₂ ) ² , rīkojieties šādi:

z ₁ z ₂ = *

Tiek piemērots izplatīšanas īpašums:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

Tie ir sagrupēti, par izteicienu kopējo faktoru ņemot terminu "i":

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Tā kā i ² = -1, tas tiek aizstāts ar izteiksmi:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Īstie termini tiek pārgrupēti ar reāliem, bet iedomāti ar iedomātu:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Visbeidzot, piemēro trigonometriskās īpašības:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

Noslēgumā:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

1. vingrinājums

Uzrakstiet kompleksa skaitli polārā formā, ja z = - 2 -2i. Pēc tam, izmantojot Moivra teorēmu, aprēķini z ⁴ .

Risinājums

Kompleksa skaitli z = -2 -2i izsaka taisnstūra formā z = a + bi, kur:

a = -2.

b = -2.

Zinot, ka polārā forma ir z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), mums jānosaka moduļa "r" vērtība un argumenta "Ɵ" vērtība. Tā kā r = √ (a² + b²), dotās vērtības tiek aizstātas:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Pēc tam, lai noteiktu «Ɵ» lielumu, tam tiek piemērota taisnstūra forma, ko aprēķina pēc formulas:

iedegums Ɵ = b ÷ a

iedegums Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Tā kā tan (Ɵ) = 1 un mums ir <0, tad mums ir:

Ɵ = arktāns (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Tā kā «r» un «Ɵ» vērtība jau ir iegūta, komplekso skaitli z = -2 -2i var izteikt polārā formā, aizstājot vērtības:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Tagad, lai aprēķinātu z ^4, mēs izmantojam Moivra teorēmu :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

2. vingrinājums

Atrodiet sarežģīto skaitļu reizinājumu, izsakot to polārā formā:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Pēc tam aprēķiniet (z1 * z2) ².

Risinājums

Vispirms tiek izveidots doto skaitļu reizinājums:

z ₁ z ₂ = *

Tad moduļus reizina savā starpā un pievieno argumentus:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Izteiciens ir vienkāršots:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Visbeidzot, Moivre teorēma ir piemērojama:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Negatīvo spēku aprēķināšana

Lai sadalītu divus sarežģītus skaitļus z _{1 un} z ₂ to polārajā formā, modulis tiek sadalīts un argumenti tiek atņemti. Tādējādi koeficients ir z ₁ ÷ z ₂ un tiek izteikts šādi:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, ja mēs vēlamies aprēķināt (z1 ÷ z2) ³, vispirms tiek veikts dalījums un pēc tam tiek izmantota Moivre teorēma.

3. vingrinājums

Kauliņi:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

aprēķināt (z1 ÷ z2) ³.

Risinājums

Pēc iepriekš aprakstītajām darbībām var secināt, ka:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Atsauces

1. Artūrs Gudmens, LH (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pīrsona izglītība.
2. Krūčers, M. (nd). No Moivre teorijas par trig identitātēm. Volframa demonstrējumu projekts.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matemātikas enciklopēdija.
4. Makss Peterss, WL (1972). Algebra un trigonometrija.
5. Perezs, CD (2010). Pīrsona izglītība.
6. Stenlijs, G. (nd). Lineārā algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Iepriekšēja aprēķināšana. Pīrsona izglītība.