Green 's teorēma ir aprēķina metode, ko izmanto, lai savienotu line integrāļi dubultu integrāļi vai platības. Iesaistītās funkcijas jāapzīmē kā vektora lauki un jādefinē ceļā C.
Piemēram, līnijas integrālo izteiksmi var būt ļoti grūti atrisināt; tomēr, ieviešot Grīna teorēmu, dubultie integrāļi kļūst diezgan pamata. Vienmēr ir svarīgi ievērot pozitīvo trajektorijas virzienu, tas attiecas uz virzienu pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
Grīna teorēma ir īpašs Stokes teorēmas gadījums, kad vektora funkcijas projekcija tiek veikta xy plaknē.
Definīcija
Grīna teorēma ir izteikta šādi:
Pirmais termins parāda līnijas integrālu, ko nosaka ceļš “C”, skalārajam produktam starp vektora funkciju “F” un vektora “r”.
C: Tas ir noteikts ceļš, pa kuru tiks projicēta vektora funkcija, ja vien tā ir noteikta šai plaknei.
F: vektora funkcija, kur katru no tā komponentiem nosaka funkcija kā tāda (f, g).
r: tas ir vektors, kas pieskaras reģionam R, kurā ir definēts integrālis. Šajā gadījumā mēs strādājam ar šī vektora diferenciāli.
Otrajā termiņā mēs redzam izstrādātu Grīna teorēmu, kurā tiek novērots g un f daļējo atvasinājumu starpības R reģionā noteiktais divkāršais integrāls attiecībā pret x un y attiecīgi. Ar laukuma diferenciāli, kas nav nekas vairāk kā abu divdimensiju diferenciāļu produkts (dx.dy).
Šī teorēma ir lieliski piemērota telpas un virsmas integrāļiem.
Demonstrācija
Lai vienkāršā veidā pierādītu Grīna teorēmu, šis uzdevums tiks sadalīts 2 daļās. Pirmkārt, mēs pieņemsim, ka vektora funkcijai F ir definīcija tikai versorā i. Kamēr funkcija "g", kas atbilst versoram j, būs vienāda ar nulli.
Autors
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Vispirms mēs izveidojam līnijas integrālu virs ceļa C, kuram ceļš ir sadalīts divās daļās, kuras vispirms virzās no a līdz b un tad no b uz a.
Noteiktajam integrālam tiek izmantota aprēķina pamata teorēmas definīcija.
Izteiciens tiek pārkārtots vienā integrālā, negatīvais tiek veikts par kopējo koeficientu, un faktoru secība tiek mainīta.
Detalizēti novērojot šo izteiksmi, kļūst skaidrs, ka, piemērojot primitīvās funkcijas kritērijus, mēs atrodamies izteiksmes integrālam, kas iegūts no f attiecībā pret y. Novērtēts parametros
Tagad pietiek pieņemt, ka vektora funkcija F ir definēta tikai g (x, y) j . Ja, darbojoties līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā, iegūst:
Lai pabeigtu, tiek ņemti 2 pierādījumi un savienoti gadījumā, ja vektora funkcijai ir vērtības abām versores. Tādā veidā tiek parādīts, kā līnijas integrālo elementu pēc tam, kad tas ir definēts un uzskatīts par viendimensiju trajektoriju, var pilnībā izveidot plaknei un telpai.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Tādā veidā tiek pierādīta Grīna teorēma.
Lietojumprogrammas
Grīna teorēmas pielietojums ir plašs fizikas un matemātikas nozarēs. Tie attiecas uz jebkuru lietojumu vai lietojumu, ko var piešķirt līnijas integrācijai.
Mehānisko darbu, ko spēks F veic caur ceļu C, var attīstīt ar līnijas integrālu, ko Grīna teorēma izsaka kā laukuma divkāršu integrālu.
Daudzu ķermeņu inerces brīži, kas dažādos piemērošanas punktos tiek pakļauti ārējiem spēkiem, reaģē arī uz līniju integrāļiem, kurus var izveidot ar Grīna teorēmu.
Tam ir vairākas funkcijas izmantoto materiālu pretestības pētījumos. Kur ārējās vērtības var kvantificēt un ņemt vērā pirms dažādu elementu izstrādes.
Kopumā Grīna teorēma atvieglo to zonu izpratni un definēšanu, kurās vektora funkcijas ir noteiktas attiecībā pret reģionu ceļa garumā.
Vēsture
Tas tika publicēts 1828. gadā darbā Matemātiska elektrības un magnētisma teoriju analīze, kuru uzrakstījis britu matemātiķis Džordžs Grīns. Tajā tiek izpētītas diezgan izšķirošas sadaļas, kas saistītas ar aprēķinu pielietošanu fizikā, piemēram, potenciālo funkciju jēdziens, Grīna funkcijas un viņa paša nosauktā teorēmas pielietojumi.
Džordžs Grīns savu studenta karjeru formalizēja 40 gadu vecumā, līdz šim būdams pilnīgi pašmācīts matemātiķis. Pēc studijām Kembridžas universitātē viņš turpināja savus pētījumus, dodot ieguldījumu akustikā, optikā un hidrodinamikā, kas joprojām ir spēkā mūsdienās.
Saistība ar citām teorēmām
Grīna teorēma ir īpašs gadījums, un tā rodas no 2 citām ļoti svarīgām teorēmām aprēķināšanas jomā. Tās ir Kelvina-Stoksa teorēma un diverģences jeb Gausa Ostrogradska teorēma.
Sākot ar vienu no abām teorēmām, var nonākt pie Grīna teorēmas. Lai izstrādātu šādus pierādījumus, ir vajadzīgas noteiktas definīcijas un priekšlikumi.
Vingrinājumi
- Šis uzdevums parāda, kā pārveidot līnijas integrālu divkāršā integrālā attiecībā pret R reģionu.
Sākotnējā izteiksme ir šāda:
No kurienes tiek ņemtas atbilstošās af un g funkcijas
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Piemērojot Grīna teorēmu, nav viena veida, kā noteikt integrācijas robežas. Tomēr ir veidi, kā integrāli pēc definēšanas var būt vienkāršāki. Tātad integrācijas robežu optimizēšana ir pelnījusi uzmanību.
Kur, risinot integrāļus, iegūstam:
Šī vērtība kubiskās vienībās atbilst reģionam zem vektora funkcijas un virs trīsstūrveida apgabala, ko nosaka C.
Līnijas integrāla gadījumā, neveicot Grīna metodi, būtu bijis nepieciešams parametrēt funkcijas katrā reģiona sadaļā. Tas ir, izšķirtspējai veiciet 3 parametrizētus integrāļus. Tas ir pietiekams pierādījums tam, cik efektīvs ir Roberts Grīns ar aprēķina teorēmu.
Atsauces
- Ievads kontinuuma mehānikā. W Michael Michael, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23. jūlijs. 2009. gads
- Daudzveidīgs aprēķins. Džeimss Stjuarts. Cengagas mācīšanās, 22. marts 2011. gads
- Neoficiāla Grīna teorēmas un ar to saistīto ideju vēsture. Džeimss Džozefs Krusts. Melburnas Universitātes Matemātikas nodaļa, 1975
- Siltuma vadīšana, izmantojot Zaļās funkcijas. Kevins D. Kols, Džeimss V. Beks, A. Hadži-Šeihs, Bahmans Litkouhi. Teilors un Francisks, 16. jūlijs 2010. gads
- Grīna teorēmas pielietojums lineāro integrālo elementu ekstrēmācijai. Aizsardzības tehniskās informācijas centrs, 1961. gads