EKSISTENCES UN UNIKALITĀTES TEORĒMA: PIERĀDĪJUMS, PIEMĒRI UN VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Esamība un unikalitāti teorēmu nosaka nepieciešamos un pietiekamus apstākļus pirmās kārtas diferenciālvienādojuma, ar konkrētas sākuma stāvoklī, lai būtu risinājums, un šo risinājumu, ir tikai viens.

Tomēr teorēma nedod nekādu paņēmienu vai norādi, kā rast šādu risinājumu. Eksistences un unikalitātes teorēma tiek attiecināta arī uz augstākas pakāpes diferenciālvienādojumiem ar sākotnējiem nosacījumiem, kas ir pazīstams kā Cauchy problēma.

1. attēls. Parādīts diferenciālvienādojums ar sākotnējo stāvokli un tā risinājumu. Esamības un unikalitātes teorēma garantē, ka tas ir vienīgais iespējamais risinājums.

Formālais apgalvojums par esamības un unikalitātes teorēmu ir šāds:

“Diferenciālvienādojumam y” (x) = f (x, y) ar sākotnējo nosacījumu y (a) = b XY plaknes taisnstūrveida apgabalā ir vismaz viens risinājums, kas satur punktu (a, b), ja f (x, y) šajā reģionā ir nepārtraukta. Un, ja f daļējs atvasinājums attiecībā pret y: g = ∂f / ∂y ir nepārtraukts tajā pašā taisnstūra apgabalā, tad risinājums ir unikāls punkta (a, b) apkaimē, kas atrodas FY nepārtrauktības reģionā g. "

Šīs teorēmas lietderība, pirmkārt, ir zināšanā, kuros XY plaknes reģionos var atrasties risinājums, kā arī zināt, vai atrastais risinājums ir vienīgais iespējamais vai arī ir citi.

Ņemiet vērā: ja unikalitātes nosacījums nav izpildīts, teorēma nevar paredzēt, cik daudz kopīgu risinājumu ir Kaučija problēmai: iespējams, ka tas ir viens, divi vai vairāk.

Pierādījums par teorijas esamību un unikalitāti

2. attēls. Čārlzs Emīls Pikards (1856–1941) ir kreditēts ar vienu no pirmajiem esamības un unikalitātes teorijas pierādījumiem. Avots: Wikimedia Commons.

Šai teorēmai ir zināmi divi iespējamie pierādījumi, viens no tiem ir Šarla Emila Pikarda (1856–1941) pierādījums, bet otrs - Džuzepes Peano (1858–1932), kura pamatā ir Augustīna Luisa Kaučija (1789–1857) darbi. .

Jāatzīmē, ka šīs teorēmas pierādīšanā piedalījās deviņpadsmitā gadsimta izcilākie matemātiskie prāti, tāpēc var iedomāties, ka neviens no diviem nav vienkāršs.

Lai formāli pierādītu teorēmu, vispirms ir jāizveido progresīvāku matemātisko jēdzienu virkne, piemēram, Lipschitz tipa funkcijas, Banach telpas, Carathéodory esamības teorēma un vairākas citas, kas ir ārpus raksta tvēruma.

Liela daļa no diferenciālvienādojumiem, kas tiek apstrādāti fizikā, attiecas uz nepārtrauktām funkcijām interesējošos reģionos, tāpēc mēs aprobežosimies tikai ar to, ka parādīsim, kā teorēma tiek piemērota vienkāršos vienādojumos.

Piemēri

- 1. piemērs

Apsvērsim šādu diferenciālvienādojumu ar sākuma nosacījumu:

y '(x) = - y; ar y (1) = 3

Vai ir kāds risinājums šai problēmai? Vai tas ir vienīgais iespējamais risinājums?

Atbildes

Pirmkārt, tiek novērtēts diferenciālvienādojuma risinājuma esamība un tas, vai tas arī atbilst sākotnējam nosacījumam.

Šajā piemērā f (x, y) = - un eksistences nosacījums prasa zināt, vai f (x, y) ir nepārtraukts XY plaknes reģionā, kurā ir koordinātu punkts x = 1, y = 3.

Bet f (x, y) = - y ir afīnas funkcija, kas ir nepārtraukta reālo skaitļu jomā un pastāv visā reālo skaitļu diapazonā.

Tādēļ izdarāms secinājums, ka f (x, y) ir nepārtraukta R ² , tāpēc teorēma garantē esamību vismaz vienā šķīdumā.

Zinot to, ir jānovērtē, vai risinājums ir unikāls vai, gluži pretēji, ir vairāk nekā viens. Šim nolūkam ir jāaprēķina f daļējs atvasinājums attiecībā uz mainīgo y:

Tad g (x, y) = -1, kas ir nemainīga funkcija, kas ir arī noteikts par visiem P ² un ir nepārtraukta tur. No tā izriet, ka esamības un unikalitātes teorēma garantē, ka šai sākotnējās vērtības problēmai ir unikāls risinājums, kaut arī tā mums nepasaka, kas tā ir.

- 2. piemērs

Apsveriet šādu pirmās kārtas parasto diferenciālvienādojumu ar sākotnējo stāvokli:

y '(x) = 2√y; un (0) = 0.

Vai šai problēmai ir risinājums y (x)? Ja tā, nosakiet, vai ir viens vai vairāki.

Atbildi

Mēs uzskatām funkciju f (x, y) = 2√y. Funkcija f ir definēta tikai y≥0, jo mēs zinām, ka negatīvajam skaitlim trūkst reālas saknes. Turklāt, f (x, y) ir nepārtraukta augšējā pusē plaknē, R ² , ieskaitot X asi, tā esamību un unikalitāti teorēma garantijas vismaz viens šķīdums šajā reģionā.

Tagad sākotnējais nosacījums x = 0, y = 0 atrodas šķīduma apgabala malā. Tad mēs ņemsim f (x, y) daļēju atvasinājumu attiecībā pret y:

∂f / ∂y = 1 / √y

Šajā gadījumā funkcija nav definēta y = 0, tieši tur, kur ir sākotnējais nosacījums.

Ko mums saka teorēma? Tas stāsta mums, ka, kaut arī mēs zinām, ka X ass augšējā pusplaknē ir vismaz viens risinājums, ieskaitot X asi, tā kā unikalitātes nosacījums nav izpildīts, nav garantijas, ka būs unikāls risinājums.

Tas nozīmē, ka f (x, y) nepārtrauktības apgabalā varētu būt viens vai vairāki risinājumi. Un kā vienmēr, teorēma mums nepasaka, kādi viņi varētu būt.

Atrisināti vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Atrisiniet Cauchy problēmu 1. piemērā:

y '(x) = - y; ar y (1) = 3.

Atrodiet funkciju y (x), kas atbilst diferenciālvienādojumam un sākotnējam nosacījumam.

Risinājums

1. piemērā tika noteikts, ka šai problēmai ir risinājums un tā ir arī unikāla. Lai atrastu risinājumu, vispirms jāatzīmē, ka tas ir atdalāmu mainīgo lielumu pirmās pakāpes diferenciālvienādojums, ko raksta šādi:

Sadalot starp abiem dalībniekiem un abos, lai atdalītu mainīgos lielumus, kas mums ir:

Neierobežots integrālis tiek piemērots abiem dalībniekiem:

Atrisinot nenoteiktos integrāļus, kas mums ir:

kur C ir integrācijas konstante, ko nosaka sākotnējais nosacījums:

C vērtības aizstāšana un pārkārtošana paliek:

Izmantojot šādu logaritmu īpašību:

Iepriekš minēto izteicienu var pārrakstīt šādi:

Abās daļās eksponenciālā funkcija ar bāzi e tiek izmantota, lai iegūtu:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Kas ir līdzvērtīgs:

y = 3e e ^-x

Šis ir vienādojuma y '= -y vienādojuma risinājums ar y (1) = 3. Šī risinājuma diagramma parādīta 1. attēlā.

- 2. vingrinājums

Atrodiet divus risinājumus 2. piemērā izvirzītajai problēmai.

y '(x) = 2√ (y); un (0) = 0.

Risinājums

Tas ir arī atdalāmu mainīgo vienādojums, kas, rakstīts diferenciālā formā, izskatās šādi:

dy / √ (y) = 2 dx

Neierobežota integrāla iegūšana abos locekļos paliek:

2 √ (y) = 2 x + C

Tā kā mēs zinām, ka y≥0 risinājumu reģionā mums ir:

y = (x + C) ²

Bet tā kā ir jāizpilda sākotnējais nosacījums x = 0, y = 0, tad konstante C ir nulle un paliek šāds risinājums:

y (x) = x ² .

Bet šis risinājums nav unikāls, arī funkcija y (x) = 0 ir problēmas risinājums. Eksistences un unikalitātes teorēma, kas šai problēmai tika piemērota 2. piemērā, jau bija paredzējusi, ka risinājumu varētu būt vairāk nekā viens.

Atsauces

1. Coddington, Earl A .; Levinsons, Normens (1955), parasto diferenciālvienādojumu teorija, Ņujorka: Makgreivs.
2. Matemātikas enciklopēdija. Cauchy-Lipschitz teorēma. Atgūts no: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des tuvināšanas secīgas aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 1844. gada 116. sējums, 1. lpp. 454. – 457. Atgūts no: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Pikarda secīgā tuvināšanas metode. Atgūts no: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Pikarda-Lindelofa teorēma. Atgūts no: es.wikipedia.com.
6. Zils, D. 1986. gads. Elementārie diferenciālvienādojumi ar lietojumprogrammām Prentice Hall.