EIKLIDA TEORĒMA: PIERĀDĪJUMS, PIELIETOJUMS UN VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Par Eiklida teorēma parāda rekvizītus trīsstūra izdarīt līnija, kas dala IT uz divām jaunām trīsstūra, kas ir līdzīgi un, savukārt, ir līdzīgi sākotnējā trijstūrī; tad pastāv samērīguma attiecības.

Eiklida bija viens no lielākajiem senatnes matemātiķiem un ģeometriešiem, kurš veica vairākus svarīgu teorēmu pierādījumus. Viens no galvenajiem ir tas, kurš nes viņa vārdu, kurš ir plaši izmantots.

Tas tā ir bijis tāpēc, ka ar šīs teorēmas palīdzību vienkāršā veidā izskaidro ģeometriskās attiecības, kas pastāv labajā trīsstūrī, kur trīsstūra kājas ir saistītas ar to projekcijām uz hipotenūzi.

Formulas un demonstrācija

Eiklida teorēma ierosina, ka katrā taisnajā trīsstūrī, kad tiek novilkta līnija - kas apzīmē augstumu, kas atbilst taisnā leņķa virsotnei attiecībā pret hipotenūzi - no oriģināla tiek izveidoti divi taisnstūri.

Šie trīsstūri būs līdzīgi viens otram un arī līdzīgi sākotnējam trīsstūrim, kas nozīmē, ka to līdzīgās malas ir proporcionālas viena otrai:

Triju trīsstūru leņķi ir sakrīt; tas ir, kad tos pagriež par 180 grādiem ap savu virsotni, viens leņķis sakrīt ar otru. Tas nozīmē, ka viņi visi būs vienādi.

Tādā veidā līdzību, kas pastāv starp trim trīsstūriem, var pārbaudīt arī ar to leņķu vienādību. No trijstūru līdzības Eiklida nosaka to proporcijas no divām teorēmām:

- Auguma teorēma.

- Kāju teorēma.

Šai teorēmai ir plašs pielietojums. Senatnē to izmantoja, lai aprēķinātu augstumu vai attālumu, kas bija liels trigonometrijas sasniegums.

Pašlaik to izmanto daudzās citās jomās, pamatojoties uz matemātiku, piemēram, inženierzinātnēs, fizikā, ķīmijā un astronomijā.

Augstuma teorēma

Šajā teorēmā ir noteikts, ka jebkurā taisnstūrī augstums, kas novilkts no labā leņķa attiecībā pret hipotenūzi, ir ģeometriski proporcionālais vidējais (augstuma kvadrāts) starp kāju projekcijām, ko tas nosaka hipotenūzei.

Tas ir, augstuma kvadrāts būs vienāds ar to hipotenūzu veidojošo kāju reizinājumu:

h _c ² = m _* n

Demonstrācija

Ņemot vērā trijstūri ABC, kas atrodas taisni virsotnē C, izliekot augstumu, rodas divi līdzīgi taisnstūri - ADC un BCD; tāpēc to atbilstošās puses ir proporcionālas:

Tādā veidā, ka augstums h _c, kas atbilst segmentam CD, atbilst hipotenūzei AB = c, tādējādi mums ir:

Tas, savukārt, atbilst:

Atrisinot hipotenūzi (h _c ), lai reizinātu abus vienlīdzības dalībniekus, mums ir:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Tādējādi hipotenūzes vērtību izsaka:

Kāju teorēma

Šajā teorēmā ir noteikts, ka katrā labajā trīsstūrī katras kājas izmērs būs ģeometriski proporcionālais vidējais (katras kājas kvadrāts) starp hipotenūzes izmēru (pilnīgu) un katra projekciju uz tā:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstrācija

Piešķirot trijstūri ABC, kas atrodas tieši virsotnē C tādā veidā, ka tā hipotenūza ir c, uzzīmējot augstumu (h), tiek noteiktas kāju a un b projekcijas, kas ir attiecīgi m un n segmenti un kuras atrodas uz hipotenūza.

Tādējādi mums ir, ka augstums, kas novilkts uz labā trīsstūra ABC, ģenerē divus līdzīgus taisnstūra trīsstūrus - ADC un BCD -, lai atbilstošās malas būtu proporcionālas, piemēram:

DB = n, kas ir kājas CB projekcija uz hipotenūzi.

AD = m, kas ir kājas AC projekcija uz hipotenūzi.

Tad hipotenūzi c nosaka pēc tā izvirzījumu kāju summas:

c = m + n

Sakarā ar trīsstūru ADC un BCD līdzību, mums ir:

Iepriekš minētais ir tāds pats kā:

Atrisinot kāju “a”, lai reizinātu divus vienlīdzības dalībniekus, mums ir:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Tādējādi kājas "a" vērtību izsaka:

Tādā pašā veidā, ņemot vērā trīsstūru ACB un ADC līdzību, mums ir:

Iepriekš minētais ir vienāds ar:

Risinot kāju "b", lai reizinātu abus vienlīdzības dalībniekus, mums ir:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Tādējādi kājas "b" vērtību izsaka:

Saistība starp Eiklida teorēmām

Teorēmas ar atsauci uz augstumu un kājām ir savstarpēji saistītas, jo abu lielums tiek veikts attiecībā uz labā trīsstūra hipotenūzi.

Izmantojot Eiklida teorēmu saistību, var atrast arī augstuma vērtību; tas ir iespējams, no kājas teorēmas atrisinot m un n vērtības, un tās tiek aizstātas ar augstuma teorēmu. Tādā veidā var secināt, ka augstums ir vienāds ar kāju reizināšanu, dalot to ar hipotenūzi:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

Augstuma teorēmā mēs aizstājam m un n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Atrisināti vingrinājumi

1. piemērs

Ņemot vērā trijstūri ABC, kas atrodas taisni pie A, nosaka AC un AD izmēru, ja AB = 30 cm un BD = 18 cm

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir vienas projekcijas kāju (BD) un sākotnējā trīsstūra (AB) kāju izmēri. Tādā veidā var izmantot kājas teorēmu, lai atrastu kājas BC vērtību.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Kājas CD vērtību var uzzināt, zinot, ka BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Tagad ir iespējams noteikt kājas AC vērtību, atkal piemērojot kājas teorēmu:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Lai noteiktu augstuma vērtību (AD), tiek piemērota augstuma teorēma, jo ir zināmas prognozēto kāju CD un BD vērtības:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

2. piemērs

Nosakiet trijstūra MNL augstuma (h) vērtību pa labi N, zinot segmentu izmērus:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Risinājums

Mums ir vienas kājas izmērs, kas izvirzīts uz hipotenūzes (PM), kā arī sākotnējā trīsstūra kāju izmēri. Tādā veidā kāju teorēmu var izmantot, lai atrastu otras projicētās kājas (LN) vērtību:

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Tā kā kāju un hipotenūzes vērtība jau ir zināma, izmantojot augstuma un kāju teorēmu saistību, augstuma vērtību var noteikt:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Atsauces

1. Brauns, E. (2011). Haoss, fraktāļi un dīvainas lietas. Ekonomiskās kultūras fonds.
2. Kabrera, VM (1974). Mūsdienu matemātika, 3. sējums.
3. Daniels Hernandezs, DP (2014). 3. kursa matemātika. Karakasa: Santillana.
4. Enciklopēdija Britannica, t.i. (deviņpadsmit deviņdesmit pieci). Hispanic enciklopēdija: Macropedia. Enciklopēdijas Britannica izdevēji.
5. Eiklids, RP (1886). Eiklida ģeometrijas elementi.
6. Guardeño, AJ (2000). Matemātikas mantojums: no Eiklīda līdz Ņūtonam, ģēniji caur savām grāmatām. Seviļas universitāte.