ČEBIŠOVA TEORĒMA: KAS TĀ IR, PIETEIKUMI UN PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Teorēmu Chebyshev (Chebyshev vai nevienlīdzība) ir viens no svarīgākajiem klasiskās rezultātu varbūtību teoriju. Tas ļauj novērtēt notikuma varbūtību, kas aprakstīts pēc nejauša mainīgā X, nodrošinot mums robežu, kas nav atkarīga no nejaušā mainīgā sadalījuma, bet no X dispersijas.

Teorēma nosaukta krievu matemātiķa Pafnutija Čebišova vārdā (saukts arī par Čebčevu vai Čečekefu), kurš, neskatoties uz to, ka nebija pirmais, kurš šo teoriju paziņoja, pirmais sniedza pierādījumu 1867. gadā.

Šī nevienlīdzība vai tās, kuras to īpašību dēļ sauc par Čebišova nevienlīdzību, galvenokārt tiek izmantotas varbūtību tuvināšanai, aprēķinot augstumus.

No kā tas sastāv?

Pētot varbūtības teoriju, atklājas, ka, ja ir zināma nejauša mainīgā X sadalījuma funkcija, tā paredzamo vērtību vai matemātisko cerību E (X) - un tās variāciju Var (X) var aprēķināt, ja vien šādas summas pastāv. Tomēr otrādi nebūt nav taisnība.

Tas ir, zinot E (X) un Var (X), nav obligāti iespējams iegūt X sadalījuma funkciju, tāpēc tādus lielumus kā P (-X-> k) dažiem k> 0 ir ļoti grūti iegūt. Bet, pateicoties Čebišova nevienlīdzībai, ir iespējams novērtēt izlases lieluma varbūtību.

Čebišova teorēma stāsta, ka, ja mums ir izlases mainīgais X virs parauga telpas S ar varbūtības funkciju p un ja k> 0, tad:

Pieteikumi un piemēri

Starp daudzajiem Čebišova teorēmas pielietojumiem var minēt:

Ierobežojošās varbūtības

Šis ir visizplatītākais pielietojums, un to izmanto, lai piešķirtu augšējo robežu P (-XE (X) -≥k), kur k> 0, tikai ar izlases variantu un cerībām uz nejaušo mainīgo X, nezinot varbūtības funkciju. .

1. piemērs

Pieņemsim, ka uzņēmumā nedēļas laikā saražoto produktu skaits ir nejaušs mainīgais ar vidēji 50.

Ja ir zināms, ka vienas ražošanas nedēļas novirze ir vienāda ar 25, tad ko mēs varam teikt par varbūtību, ka šonedēļ produkcija no vidējā atšķirsies vairāk nekā par 10?

Risinājums

Piemērojot Čebišova nevienlīdzību, mums ir:

No tā mēs varam iegūt, ka varbūtība, ka ražošanas nedēļā izstrādājumu skaits pārsniedz vidējo vairāk nekā par 10, ir ne vairāk kā 1/4.

Robežu teorēmu pierādījums

Čebišova nevienlīdzībai ir nozīmīga loma svarīgāko robežu teorēmu pierādīšanā. Kā piemērs mums ir šāds:

Vājš lielo numuru likums

Šis likums nosaka, ka, ņemot vērā neatkarīgu izlases mainīgo ar vienādu vidējo sadalījumu E (Xi) = μ un dispersijas Var (X) = σ ² secību X1, X2,…, Xn,… , un zināmu vidējo paraugu:

Tad k> 0 mums ir:

Vai līdzīgi:

Demonstrācija

Vispirms pamanīsim:

Tā kā X1, X2,…, Xn ir neatkarīgi, no tā izriet, ka:

Tāpēc ir iespējams norādīt sekojošo:

Tad, izmantojot Čebišova teorēmu, mums ir:

Visbeidzot, teorēma izriet no tā, ka labās puses robeža ir nulle, kad n tuvojas bezgalībai.

Jāatzīmē, ka šis tests tika veikts tikai gadījumam, kad pastāv Xi dispersija; tas ir, tas nenovirzās. Tādējādi mēs novērojam, ka teorēma vienmēr ir patiesa, ja pastāv E (Xi).

Čebišova ierobežojuma teorēma

Ja X1, X2,…, Xn,… ir neatkarīgu izlases mainīgo virkne, tāda, ka pastāv kāda C <bezgalība, tāda, ka Var (Xn) ≤ C visiem dabiskajiem n, tad jebkuram k> 0:

Demonstrācija

Tā kā dispersiju secība ir vienādi ierobežota, mums visiem Var (Sn) ≤ C / n ir visi dabiskie n. Bet mēs zinām, ka:

Veicot n tendenci uz bezgalību, tiek iegūti šādi rezultāti:

Tā kā varbūtība nevar pārsniegt vērtību 1, tiek iegūts vēlamais rezultāts. Šīs teorēmas rezultātā mēs varētu pieminēt konkrēto Bernulli gadījumu.

Ja eksperimentu atkārto n reizes neatkarīgi ar diviem iespējamiem rezultātiem (neveiksmi un panākumiem), kur p ir veiksmes varbūtība katrā eksperimentā un X ir izlases mainīgais, kas apzīmē iegūto panākumu skaitu, tad katram k> 0 tev vajag:

Parauga lielums

Runājot par dispersiju, Čebišova nevienlīdzība ļauj mums atrast izlases lielumu n, kas ir pietiekams, lai garantētu, ka varbūtība, ka -Sn-μ -> = k notiek, ir tik maza, cik vēlams, kas ļauj mums veikt tuvinājumu. uz vidējo.

Konkrēti, ļaujiet X1, X2,… Xn būt neatkarīgu izlases veida mainīgo lielumam ar n lielumu un pieņemsim, ka E (Xi) = μ un tā dispersija σ ² . Pēc Čebišova nevienlīdzības mums ir:

Piemērs

Pieņemsim, ka X1, X2,… Xn ir neatkarīgu izlases lielumu paraugs ar Berululu sadalījumu tā, lai tie ņemtu vērtību 1 ar varbūtību p = 0,5.

Kādam jābūt parauga lielumam, lai varētu garantēt, ka varbūtība, ka starpība starp vidējo aritmētisko Sn un tā paredzamo vērtību (pārsniedzot vairāk nekā 0,1) ir mazāka vai vienāda ar 0,01?

Risinājums

Mums ir, ka E (X) = μ = p = 0,5 un ka Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Pēc Čebišova nevienlīdzības jebkuram k> 0 mums ir:

Tagad, ņemot k = 0,1 un δ = 0,01, mums ir:

Šādā veidā tiek secināts, ka parauga lielums ir vismaz 2500, lai garantētu, ka notikuma varbūtība -Sn - 0,5 -> = 0,1 ir mazāka par 0,01.

Čebišova tipa nevienlīdzība

Ir vairākas nevienlīdzības, kas saistītas ar Čebišova nevienlīdzību. Viens no pazīstamākajiem ir Markova nevienlīdzība:

Šajā izteiksmē X ir nenegatīvs izlases lielums ar k, r> 0.

Markova nevienlīdzība var izpausties dažādos veidos. Piemēram, pieņemsim, ka Y ir nenegatīvs izlases mainīgais (tātad P (Y> = 0) = 1) un pieņemsim, ka E (Y) = μ pastāv. Pieņemsim arī, ka (E (Y)) ^r = μ _r pastāv ir vesels skaitlis r> 1. Tātad:

Vēl viena nevienlīdzība ir Gausa izteiksme, kurā teikts, ka, ņemot vērā vienveidīgu izlases mainīgo X ar režīmu uz nulli, tad k> 0,

Atsauces

1. Kai Lai Čunga. Elementārā varbūtības teorija ar stohastiskiem procesiem. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Roze.Diskrētā matemātika un tās pielietojumi. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Pols L. Meijers. Varbūtība un statistikas lietojumi. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seimūrs Lipschutz Ph.D. 2000 atrisinātās diskrētās matemātikas problēmas. Makgrevs-Hils.
5. Seimūrs Lipschutz Ph.D. Teorijas un varbūtības problēmas. Makgrevs-Hils.