BOLCĀNO TEORĒMA: SKAIDROJUMS, PIELIETOJUMI UN VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Bolzano teorēma apgalvo, ka tad, ja funkcija ir nepārtraukta katrā vietā slēgtā intervālā un ir pārliecinājusies, ka attēls "a" un "b" (zem funkcija) ir pretējās pazīmes, tad būs vismaz viens punkts " c "atvērtā intervālā (a, b) tādā veidā, ka funkcija, kas novērtēta ar" c ", būs vienāda ar 0.

Šo teorēmu 1850. gadā pasludināja filozofs, teologs un matemātiķis Bernards Bolcāno. Šis zinātnieks, dzimis mūsdienu Čehijas Republikā, bija viens no pirmajiem matemātiķiem vēsturē, kurš oficiāli pierādīja nepārtraukto funkciju īpašības.

Paskaidrojums

Bolcāno teorēma ir pazīstama arī kā starpposma vērtību teorēma, kas palīdz noteikt konkrētu vērtību, it īpaši nulles, reāla mainīgā lieluma noteiktām reālām funkcijām.

Dotajā funkcijā f (x) turpinās, tas ir, ka f (a) un f (b) ir savienotas ar līkni, kur f (a) ir zem x ass (tā ir negatīva), un f (b) ar virs x ass (tā ir pozitīva) vai otrādi, uz x ass grafiski būs nogriešanās punkts, kas apzīmēs starpposma vērtību «c», kas būs starp «a» un «b», un f (c) vērtību būs vienāds ar 0.

Grafiski analizējot Bolcāno teorēmu, var redzēt, ka katrai nepārtrauktai funkcijai f, kas definēta ar intervālu, kur f (a) _* f (b) ir mazāka par 0, tajā būs vismaz viena šīs funkcijas sakne «c». no intervāla (a, b).

Šī teorēma nenosaka punktu skaitu šajā atklātajā intervālā, tā tikai norāda, ka ir vismaz 1 punkts.

Demonstrācija

Lai pierādītu Bolcāno teorēmu, tiek zaudēts vispārīgums, pieņemot, ka f (a) <0 un f (b)> 0; tādējādi starp "a" un "b" var būt daudz vērtību, kurām f (x) = 0, bet ir jāparāda tikai viena.

Sākumā novērtējam f viduspunktā (a + b) / 2. Ja f ((a + b) / 2) = 0, tad pierādījums šeit beidzas; pretējā gadījumā f ((a + b) / 2) ir pozitīvs vai negatīvs.

Tiek izvēlēta viena no intervāla pusēm, lai galējībās novērtētās funkcijas pazīmes būtu atšķirīgas. Šis jaunais intervāls būs.

Tagad, ja f vidējā punktā novērtētais nav nulle, tiek veikta tā pati darbība kā iepriekš; tas ir, tiek izvēlēta puse no šī intervāla, kas atbilst zīmju nosacījumam. Lai tas būtu jaunais intervāls.

Ja turpināsit šo procesu, jums būs divas sekvences {an} un {bn}, piemēram:

{an} skaits palielinās un {bn} samazinās:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Ja aprēķināsit katra intervāla garumu, jums būs jāveic šādas darbības:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

…

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Tāpēc robeža, tuvojoties n (bn-an) bezgalībai, ir vienāda ar 0.

Izmantojot to, ka {an} palielinās un tiek ierobežots, un {bn} samazinās un tiek ierobežots, mums ir tāda vērtība "c", ka:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

An robeža ir "c", un {bn} robeža ir arī "c". Tāpēc, ņemot vērā jebkuru δ> 0, vienmēr ir tāds “n”, ka intervāls ir ietverts intervālā (c-δ, c + δ).

Tagad jāparāda, ka f (c) = 0.

Ja f (c)> 0, tad, tā kā f ir nepārtraukts, pastāv ε> 0 tāds, ka f ir pozitīvs visā intervālā (c - ε, c + ε). Tomēr, kā minēts iepriekš, ir tāda vērtība "n", ka f mainās pierakstīšanās un turklāt ir ietverta (c - ε, c + ε), kas ir pretruna.

Ja f (c) <0, tad, tā kā f ir nepārtraukta, pastāv ε> 0 tāds, ka f ir negatīvs visā intervālā (c - ε, c + ε); taču pastāv tāda vērtība "n", ka f maina pierakstīšanos. Izrādās, ka tas ir ietverts (c - ε, c + ε), kas arī ir pretruna.

Tāpēc f (c) = 0, un to mēs gribējām pierādīt.

Kam tas domāts?

No grafiskās interpretācijas Bolcāno teorēma tiek izmantota, lai atdalītu saknes vai nulles nepārtrauktā funkcijā caur dalīšanu (tuvināšanu), kas ir inkrementālā meklēšanas metode, kas vienmēr dala intervālus ar 2.

Pēc tam tiek veikts intervāls vai vietā, kur notiek zīmes maiņa, un procesu atkārto, līdz intervāls ir mazāks un mazāks, lai varētu pietuvoties vēlamajai vērtībai; tas ir, līdz vērtībai, kuru funkcija padara par 0.

Kopumā, lai pielietotu Bolcāno teorēmu un tādējādi atrastu saknes, ierobežotu funkcijas nulles vai sniegtu risinājumu vienādojumam, tiek veiktas šādas darbības:

- Tiek pārbaudīts, vai f ir nepārtraukta funkcija intervālā.

- Ja intervāls nav norādīts, tas jāatrod tur, kur funkcija ir nepārtraukta.

- Tiek pārbaudīts, vai intervāla galējības dod pretējas zīmes, novērtējot f.

- Ja pretējas zīmes netiek iegūtas, intervāls jāsadala divos starpintervālos, izmantojot viduspunktu.

- Novērtējiet funkciju viduspunktā un pārbaudiet, vai Bolzano hipotēze ir piepildīta, ja f (a) _* f (b) <0.

- Atkarībā no atrastās vērtības zīmes (pozitīvas vai negatīvas) procesu atkārto ar jaunu pakārtoto intervālu, līdz tiek izpildīta iepriekšminētā hipotēze.

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Nosakiet, vai funkcijai f (x) = x ² - 2 ir vismaz viens reāls risinājums intervālā.

Risinājums

Mums ir funkcija f (x) = x ² - 2. Tā kā tā ir polinoma, tas nozīmē, ka tā ir nepārtraukta jebkurā intervālā.

Tiek lūgts noteikt, vai tam ir reāls risinājums intervālā, tāpēc tagad funkcijai ir jāaizstāj intervāla galējības, lai zinātu šo pazīmi un zināt, vai tās atbilst nosacījumam, ka tās ir atšķirīgas:

f (x) = x ² - 2

f (1) = 1 ² - 2 = -1 (negatīvs)

f (2) = 2 ² - 2 = 2 (pozitīvs)

Tāpēc zīme f (1) ≠ zīme f (2).

Tas nodrošina, ka ir vismaz viens punkts "c", kas pieder intervālam, kurā f (c) = 0.

Šajā gadījumā "c" vērtību var viegli aprēķināt šādi:

x ² - 2 = 0

x = ± √2.

Tādējādi √2 ≈ 1,4 pieder pie intervāla un piepilda, ka f (√2) = 0.

2. vingrinājums

Parādiet, ka vienādojumam x ⁵ + x + 1 = 0 ir vismaz viens reāls risinājums.

Risinājums

Vispirms ņemsim vērā, ka f (x) = x ⁵ + x + 1 ir polinoma funkcija, kas nozīmē, ka tā ir nepārtraukta visiem reālajiem skaitļiem.

Šajā gadījumā intervāls netiek norādīts, tāpēc vērtības jāizvēlas intuitīvi, vēlams tuvu 0, lai novērtētu funkciju un atrastu zīmes izmaiņas:

Ja izmantojat intervālu, jums:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1 ⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Tā kā zīmes nemainās, procesu atkārto ar citu intervālu.

Ja izmantojat intervālu, jums:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1) ⁵ + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Šajā intervālā notiek zīmes maiņa: f (-1) ≠ zīmes f (0) zīme, kas nozīmē, ka funkcijai f (x) = x ⁵ + x + 1 ir vismaz viena reālā sakne «c». intervālā tā, ka f (c) = 0. Citiem vārdiem sakot, ir taisnība, ka x ⁵ + x + 1 = 0 intervālā ir reāls risinājums.

Atsauces

1. Bronšteins I, SK (1988). Inženieru un studentu matemātikas rokasgrāmata. . Redakcijas MIR.
2. Džordžs, A. (1994). Matemātika un prāts. Oxford University Press.
3. Ilins V, PE (1991). Matemātiskā analīze. Trīs sējumos. .
4. Jesús Gómez, FG (2003). Vidējās izglītības skolotāji. II sējums. MAD.
5. Mateoss, ML (2013). Analīzes pamatīpašības R. Editores, 20. decembrī.
6. Piskunovs, N. (1980). Diferenciālais un integrālais aprēķins. .
7. Sydsaeter K, HP (2005). Matemātika ekonomiskai analīzei. Fēlikss Varela.
8. Viljams H. Bārkers, RH (nd). Nepārtraukta simetrija: no Eiklīda līdz Kleinam. Amerikas matemātikas soci.