- Paskaidrojums
- Bajesa teorēmas pielietojumi
- Atrisinātie vingrinājumi
- 1. vingrinājums
- 2. vingrinājums
- Atsauces
Bayes teorēma ir procedūra, kas ļauj mums , lai izteiktu nosacītu varbūtību nejaušs notikums noteiktā B, saistībā ar notikumu A un B varbūtību sadalījums, jo ir tikai A. varbūtības sadalījuma
Šī teorēma ir ļoti noderīga, jo, pateicoties tai, mēs varam saistīt varbūtību, ka notikums A notiek, zinot, ka notika B, ar varbūtību, ka notiek pretējais, tas ir, ka B notiek, ņemot vērā A.
Beisija teorēma bija 18. gadsimta angļu teologa, kurš bija arī matemātiķis, godbijīgais Tomass Bajess. Viņš bija vairāku teoloģijas darbu autors, taču šobrīd viņš ir pazīstams ar pāris matemātiskiem traktātiem, starp kuriem kā galvenais rezultāts izceļas iepriekšminētā Bajesa teorēma.
Beisija šo teoriju izskatīja darbā ar nosaukumu "Eseja problēmas risināšanai izredžu doktrīnā", kas publicēts 1763. gadā un par kuru ir izstrādāts liels skaits. studijas ar lietojumiem dažādās zināšanu jomās.
Paskaidrojums
Pirmkārt, lai labāk izprastu šo teorēmu, ir nepieciešami daži varbūtības teorijas pamatjēdzieni, īpaši nosacītās varbūtības reizināšanas teorēma, kurā teikts, ka
E un A patvaļīgiem notikumiem parauga telpā S.
Un nodalījumu definīcija, kas mums saka, ka, ja parauga telpā S ir A 1 , A 2 , …, A n notikumi, tie veidos S nodalījumu, ja A i ir savstarpēji izslēdzoši un to savienība ir S.
Ņemot to vērā, ļaujiet B būt vēl vienam notikumam. Tātad mēs varam redzēt B kā
Kur A i krustojas ar B, ir savstarpēji izslēdzoši notikumi.
Un tā rezultātā
Pēc tam, piemērojot reizināšanas teorēmu
No otras puses, nosacīto Ai varbūtību, kas dota B, nosaka ar
Pienācīgi aizstājot, tas ir paredzēts jebkuram i
Bajesa teorēmas pielietojumi
Pateicoties šim rezultātam, pētniecības grupām un dažādām korporācijām ir izdevies uzlabot uz zināšanām balstītas sistēmas.
Piemēram, pētot slimības, Bailsa teorēma var palīdzēt atklāt varbūtību, ka slimība tiek atrasta cilvēku grupā ar noteiktām īpašībām, par datiem ņemot slimības vispārējos rādītājus un minēto īpašību izplatību gan veseliem, gan slimiem cilvēkiem.
No otras puses, augsto tehnoloģiju pasaulē tas ir ietekmējis lielos uzņēmumus, kuri, pateicoties šim rezultātam, ir izstrādājuši programmatūru, kas balstīta uz zināšanām.
Kā ikdienas piemērs mums ir Microsoft Office palīgs. Beija teorēma palīdz programmatūrai novērtēt problēmas, kuras lietotājs uzrāda, un noteikt, kādus padomus viņam dot, un tādējādi spēt piedāvāt labāku pakalpojumu atbilstoši lietotāja ieradumiem.
Proti, šī formula tika ignorēta līdz nesenam laikam, galvenokārt tāpēc, ka tad, kad šis rezultāts tika izstrādāts pirms 200 gadiem, to praktiski neizmantoja. Tomēr mūsu laikā, pateicoties lielajam tehnoloģiskajam progresam, zinātnieki ir atraduši veidus, kā šo rezultātu izmantot praksē.
Atrisinātie vingrinājumi
1. vingrinājums
Mobilo telefonu uzņēmumam ir divas iekārtas A un B. 54% no saražotajiem mobilajiem telefoniem ir izgatavoti ar mašīnu A, bet pārējie - ar mašīnu B. Ne visi saražotie mobilie telefoni ir labā stāvoklī.
Bojāto mobilo tālruņu īpatsvars, ko ražo A, ir 0,2 un B ir 0,5. Cik liela ir iespējamība, ka mobilais tālrunis no šīs rūpnīcas ir bojāts? Kāda ir varbūtība, ka, zinot, ka mobilais tālrunis ir bojāts, tas nāk no mašīnas A?
Risinājums
Šeit jums ir eksperiments, kas tiek veikts divās daļās; pirmajā daļā notiek notikumi:
A: šūna, kuru izgatavoja A mašīna
B: šūna, ko izgatavo B mašīna.
Tā kā mašīna A ražo 54% mobilo tālruņu, bet pārējo ražo mašīna B, no tā izriet, ka mašīna B ražo 46% mobilo tālruņu. Tiek parādītas šo notikumu varbūtības, proti:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Eksperimenta otrās daļas notikumi ir:
D: mobilais tālrunis ir bojāts.
E: mobilais tālrunis ar trūkumiem.
Kā teikts paziņojumā, šo notikumu iespējamība ir atkarīga no pirmajā daļā iegūtā rezultāta:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Izmantojot šīs vērtības, var noteikt arī šo notikumu papildinājumu varbūtības, tas ir:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
un
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Tagad notikumu D var uzrakstīt šādi:
Izmantojot reizināšanas teorēmu nosacītās varbūtības rezultātiem:
Pēc tam tiek atbildēts uz pirmo jautājumu.
Tagad mums jāaprēķina tikai P (AD), kuram tiek piemērota Beisa teorēma:
Pateicoties Bajesa teorēmai, var apgalvot, ka varbūtība, ka mobilo tālruni izgatavoja mašīna A, zinot, ka mobilais tālrunis ir bojāts, ir 0,319.
2. vingrinājums
Trīs kastēs ir melnbaltās bumbiņas. Katra no tām sastāvs ir šāds: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Vienu no rūtiņām izvēlas pēc nejaušības principa, un pēc nejaušības principa tiek izlozēta bumba, kas izrādās balta. Kāda kastīte, visticamāk, ir izvēlēta?
Risinājums
Izmantojot U1, U2 un U3, mēs arī pārstāvēsim izvēlēto lodziņu.
Šie notikumi veido S nodalījumu un tiek pārbaudīts, ka P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, jo lodziņa izvēle ir nejauša.
Ja B = {novilktā bumba ir balta}, mums būs P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Tas, ko mēs vēlamies iegūt, ir varbūtība, ka bumba ir izņemta no lodziņa Ui, zinot, ka minētā bumba ir balta, tas ir, P (Ui -B), un redziet, kura no trim vērtībām bija visaugstākā, lai zinātu, no kuras lodziņā, visticamāk, tika iegūta kijas bumba.
Pieliekot Bajesa teorēmu pirmajai no lodziņiem:
Un pārējiem diviem:
P (U2-B) = 2/6 un P (U3-B) = 1/6.
Tad pirmā no kastēm ir tā, kurai ir vislielākā iespējamība, ka tā tiks izvēlēta bižele lodītes ieguvei.
Atsauces
- Kai Lai Čunga. Elementārā varbūtības teorija ar stohastiskiem procesiem. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Roze.Diskrētā matemātika un tās pielietojumi. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Pols L. Meijers. Varbūtība un statistikas lietojumi. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seimūrs Lipschutz Ph.D. 2000 atrisinātās diskrētās matemātikas problēmas. Makgrevs-Hils.
- Seimūrs Lipschutz Ph.D. Teorijas un varbūtības problēmas. Makgrevs-Hils.