KOMPLEKTA TEORIJA: RAKSTURLIELUMI, ELEMENTI, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Komplekts teorija ir filiāle matemātiskā loģika-, kas ir atbildīga par pētījumu attiecības starp personu sauc kopas. Komplektiem raksturīga tā, ka tās ir vienāda rakstura priekšmetu kolekcijas. Minētie objekti ir kopas elementi un var būt: cipari, burti, ģeometriskas figūras, vārdi, kas attēlo objektus, paši objekti un citi.

19. gadsimta beigās Georgs Kantors ierosināja kopu teoriju. Kamēr citi nozīmīgi matemātiķi 20. gadsimtā veica formalizāciju: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel citu starpā.

1. attēls. Kopu A, B un to krustojuma A⋂ B. vennu diagramma (pašu izstrādājums).

Venna diagrammas ir grafisks veids, kā attēlot kopu, un tas sastāv no slēgtas plaknes figūras, kurā ir kopas elementi.

Piemēram, 1. attēlā ir parādītas divas kopas A un B, kurām ir kopīgi elementi, elementiem, kas kopīgi A un B. Tie veido jaunu kopu, ko sauc par A un B krustojuma kopu, kas ir uzrakstīta formā simboliski šādi:

A ∩ B

raksturojums

Komplekts ir primitīvs jēdziens, jo ģeometrijā tas ir punkta, līnijas vai plaknes jēdziens. Nav labāks veids, kā izteikt šo jēdzienu, kā tikai norādot piemērus:

E komplekts, ko veido Spānijas karoga krāsas. Šo kopas izteikšanas veidu sauc ar izpratni. Tas pats E komplekts, kas rakstīts ar paplašinājumu:

E = {sarkans, dzeltens}

Šajā gadījumā sarkans un dzeltens ir E komplekta elementi. Jāatzīmē, ka elementi ir uzskaitīti lencēm un nav atkārtoti. Spānijas karoga gadījumā ir trīs krāsainas svītras (sarkanas, dzeltenas, sarkanas), no kurām divas atkārtojas, bet elementi netiek atkārtoti, kad izteikts viss.

Pieņemsim, ka kopa V, ko veido pirmie trīs patskaņu burti:

V = {a, e, i}

V jaudas kopa, ko apzīmē ar P (V), ir visu to kopumu kopa, ko var veidot ar V elementiem:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Komplektu veidi

Galīgais komplekts

Tas ir kopums, kurā tā elementi ir saskaitāmi. Ierobežoto kopu piemēri ir spāņu alfabēta burti, spāņu patskaņi, Saules sistēmas planētas. Elementu skaitu ierobežotajā komplektā sauc par tā kardinalitāti.

Bezgalīgs komplekts

Ar bezgalīgu kopumu saprot visu to, ka tā elementu skaits nav noskaitāms, jo neatkarīgi no tā, cik liels var būt tā elementu skaits, vienmēr ir iespējams atrast vairāk elementu.

Bezgalīgas kopas piemērs ir dabisko skaitļu kopa N, kas plašā formā izteikta šādi:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Ir acīmredzami bezgalīga kopa, jo neatkarīgi no tā, cik liels var būt dabiskais skaitlis, bezgalīgā procesā vienmēr var atrast nākamo lielāko. Skaidrs, ka bezgalīgas kopas kardinalitāte ir ∞.

Tukšs komplekts

Tas ir komplekts, kas nesatur nevienu elementu. Tukšu komplektu V apzīmē ar Ø vai ar taustiņu pāri bez elementiem iekšpusē:

V = {} = Ø.

Tukšais komplekts ir unikāls, tāpēc ir nepareizi teikt "tukšs komplekts", pareizā forma ir teikt "tukšs komplekts".

Starp tukšās kopas īpašībām mums ir, ka tā ir jebkura kopas apakškopa:

Ø ⊂ A

Turklāt, ja kopa ir tukša kopa apakškopa, tad šī kopa noteikti būs vakuums:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Unitārais komplekts

Vienības komplekts ir jebkurš komplekts, kas satur atsevišķu elementu. Piemēram, Zemes dabisko satelītu komplekts ir vienots komplekts, kura vienīgais elements ir Mēness. B skaitlim, kas ir mazāks par 2 un lielāks par nulli, ir tikai elements 1, tāpēc tas ir vienības kopums.

Binārais komplekts

Komplekts ir binārs, ja tam ir tikai divi elementi. Piemēram, kopa X, piemēram, x ir reālā skaitļa risinājums ar x ^ 2 = 2. Šis pagarinājuma komplekts ir rakstīts šādi:

X = {-√2, + √2}

Universāls komplekts

Universālais komplekts ir komplekts, kurā ir citi tāda paša veida vai rakstura komplekti. Piemēram, dabisko skaitļu universālais komplekts ir reālo skaitļu kopums. Bet reālie skaitļi ir arī veselo skaitļu un racionālo skaitļu universāla kopa.

Galvenie priekšmeti

- Attiecības starp kopām

Asamblejās starp tiem un to elementiem var izveidot dažāda veida attiecības. Ja divām kopām A un B ir pilnīgi vienādi elementi starp tām, tiek izveidotas vienlīdzības attiecības, kuras apzīmē šādi:

A = B

Ja visi kopas A elementi pieder kopai B, bet ne visi B elementi pieder A, tad starp šīm kopām pastāv iekļaušanas sakarība, kas tiek apzīmēta šādi:

A ⊂ B, bet B ⊄ A

Iepriekš minētais izteiciens skan: A ir B apakškopa, bet B nav A apakškopa.

Lai norādītu, ka kāds elements vai elementi pieder pie kopas, tiek izmantots dalības simbols ∈, piemēram, lai teiktu, ka x elements vai elementi pieder pie kopas A, tiek uzrakstīts simboliski šādi:

x ∈ A

Ja elements nepieder kopai A, šo sakarību raksta šādi:

un ∉ A

Dalības attiecības pastāv starp komplekta un komplekta elementiem, izņemot tikai jaudas komplektu, barošanas kopa ir visu iespējamo kopu kolekcija vai kopa, ko var izveidot ar minētā komplekta elementiem.

Pieņemsim, ka V = {a, e, i}, tā jaudas komplekts ir P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, tādā gadījumā kopa V kļūst par kopas P (V) elementu un to var uzrakstīt:

V ∈ P (V)

- Iekļaušanas īpašības

Pirmais iekļaušanas īpašums nosaka, ka katrs komplekts ir ietverts pats par sevi vai, citiem vārdiem sakot, ka tas ir pats par sevi:

A ⊂ A

Otra iekļaušanas īpašība ir tranzītivitāte: ja A ir B apakškopa un B savukārt ir C apakškopa, tad A ir C. apakškopa. Simboliskā formā tranzītivitātes sakarību raksta šādi:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Zemāk ir Venna diagramma, kas atbilst iekļaušanas pārejamībai:

2. attēls. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Darbības starp komplektiem

Krustojums

Krustojums ir darbība starp diviem komplektiem, kas rada jaunu kopu, kas pieder tam pašam universālajam komplektam kā pirmie divi. Šajā ziņā tā ir slēgta darbība.

Simboliski krustojuma darbība ir formulēta šādi:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Piemērs ir šāds: vārda “elementi” burtu kopa A un vārda “atkārtots” burtu kopa B, krustojums starp A un B ir rakstīts šādi:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. A, B un A⋂B universālais kopa U ir spāņu alfabēta burtu komplekts.

Savienība

Divu kopu savienība ir kopums, ko veido abiem kopiem kopīgie elementi un divu kopu neparastie elementi. Savienību darbība starp kopām tiek simboliski izteikta šādi:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Atšķirība

Kopas A mīnus kopas B atšķirīgā darbība tiek apzīmēta ar AB. AB ir jauna kopa, ko veido visi elementi, kas atrodas A un nepieder B. Simboliski tas ir rakstīts šādi:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

3. attēls. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Simetriska atšķirība

Simetriskā atšķirība ir darbība starp diviem komplektiem, kur iegūto komplektu veido elementi, kas nav kopīgi abām kopām. Simetriskā atšķirība tiek simboliski attēlota šādi:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Piemēri

1. piemērs

Venna diagramma ir grafisks kopu attēlošanas veids. Piemēram, burtu kopa C vārdu kopā ir attēlota šādi:

2. piemērs

Zemāk ar Venna diagrammām parādīts, ka patskaņu komplekts vārdam "komplekts" ir burtu kopas apakšdaļa ar vārdu "komplekts".

3. piemērs

Spāņu alfabēta burtu kopa Ñ ir ierobežota kopa, šī paplašinājuma kopa ir uzrakstīta šādi:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z}, un tā kardinalitāte ir 27.

4. piemērs

Patskaņu V komplekts spāņu valodā ir kopas et apakškopa:

Tāpēc V ⊂ Ñ ir ierobežots kopums.

Galīgo kopu V plašā formā raksta šādi: V = {a, e, i, o, u}, un tā kardinālums ir 5.

5. piemērs

Ņemot vērā kopas A = {2, 4, 6, 8} un B = {1, 2, 4, 7, 9}, nosaka AB un BA.

A - B ir A elementi, kas neatrodas B:

A - B = {6, 8}

B - A ir B elementi, kas neatrodas A:

B - A = {1, 7, 9}

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Rakstiet simboliskā formā un, paplašinot, arī pāra naturālo skaitļu kopu P, kas mazāka par 10.

Risinājums: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

2. vingrinājums

Pieņemsim, ka kopa A, ko veido naturālie skaitļi, kas ir koeficienti 210, un kopa B, ko veido primārie naturālie skaitļi, kas ir mazāki par 9. Pagarinājumā nosakiet abas kopas un nosakiet, kāda ir saistība starp abām kopām.

Risinājums: Lai noteiktu kopas A elementus, mums jāsāk ar dabiskā skaitļa 210 faktoru atrašanu:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Tad tiek uzrakstīts komplekts A:

A = {2, 3, 5, 7}

Tagad mēs uzskatām kopu B, kas ir primes, kas mazāka par 9. 1 nav primāts, jo tas neatbilst gruntības definīcijai: "cipars ir cipars, ja un tikai tad, ja tam ir tieši divi dalītāji, 1 un pats cipars." 2 ir vienmērīgs, un tajā pašā laikā tas ir galvenais, jo tas atbilst gruntīguma definīcijai, pārējie primīdi, kas mazāki par 9, ir 3, 5 un 7. Tātad kopa B ir:

B = {2, 3, 5, 7}

Tāpēc abas kopas ir vienādas: A = B.

3. vingrinājums

Nosakiet kopu, kuras elementi x atšķiras no x.

Risinājums: C = {x / x ≠ x}

Tā kā katrs elements, skaitlis vai objekts ir vienāds ar sevi, kopa C nevar būt tukšā kopa:

C = Ø

4. vingrinājums

Ļaujiet naturālo skaitļu N un Z skaitļu kopumu. Nosaka N ⋂ Z un N ∪ Z.

Risinājums:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z, jo N ⊂ Z.

Atsauces

1. Garo, M. (2014). Matemātika: kvadrātvienādojumi: Kā atrisināt kvadrātvienādojumu. Marilù Garo.
2. Hausslers, EF un Pols, RS (2003). Vadības un ekonomikas matemātika. Pīrsona izglītība.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matemātika 1 SEP. Slieksnis.
4. Preciado, CT (2005). Matemātikas 3. kurss. Redakcijas Progreso.
5. Matemātika 10 (2018). "Galīgo komplektu piemēri". Atgūts no: matematicas10.net
6. Wikipedia. Komplekta teorija. Atgūts no: es.wikipedia.com