- Demonstrācija
- Kā tas tiek atrisināts?
- Sadalīšana vienkāršās frakcijās
- Vēsture
- Vingrinājumi
- 1. vingrinājums
- 2. vingrinājums
- Atsauces
Summa teleskopiska ir filiāļu darbības skaitlisks sēriju. Tas attiecas uz elementu summēšanu no izteiksmju sākotnējās vērtības uz “n”, kuru arguments atbilst kādam no šiem modeļiem:
(F x - F x + 1 ); (F x + 1 - F x )
Kā arī:
Avots: Pixabay.com
Tie apzīmē elementu summēšanu, kuri, izstrādājot, tiek atcelti pretēji. Ļaujot definēt šādu vienlīdzību teleskopiskajai summēšanai:
Tā nosaukums cēlies no saistībām ar klasiskā teleskopa izskatu, kuru varētu salocīt un atlocīt, īpaši mainot tā izmēru. Tādā pašā veidā bezgalīga rakstura teleskopiskos summējumus var apkopot vienkāršotā izteiksmē:
F 1 - F n + 1
Demonstrācija
Izstrādājot terminu summēšanu, faktoru novēršana ir diezgan acīmredzama. Kur katram gadījumam nākamajā atkārtojumā parādīsies pretēji elementi.
Pirmais gadījums (F x - F x + 1 ) tiks izmantots kā piemērs , jo process darbojas homologā veidā (F x + 1 – F x ).
Izstrādājot pirmās 3 vērtības {1, 2, 3}, novērojama vienkāršošanas tendence
X 1 (F 1 - F 1 + 1 ) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1 ) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1 ) = F 3 - F 4
Kur, izsakot aprakstīto elementu summu:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
Tiek novērots, ka termini F 2 un F 3 ir aprakstīti kopā ar to pretstatiem, kas padara to vienkāršošanu neizbēgamu. Tādā pašā veidā tiek novērots, ka tiek saglabāti termini F 1 un F 4 .
Ja summa tika aprēķināta no x = 1 līdz x = 3, tas nozīmē, ka elements F 4 atbilst vispārīgajam vārdam F n + 1.
Tādējādi parādot vienlīdzību:
Kā tas tiek atrisināts?
Teleskopisko summējumu mērķis ir atvieglot darbu, lai nebūtu nepieciešams izstrādāt bezgalīgu skaitu terminu vai vienkāršot kādu pārāk ilgu papildinājumu ķēdi.
Lai to izšķirtu, būs jānovērtē tikai termini F 1 un F n + 1 . Šīs vienkāršās aizstāšanas veido summēšanas gala rezultātu.
Terminu kopums netiks izteikts, jo tas būs nepieciešams tikai rezultāta demonstrēšanai, bet ne parastam aprēķina procesam.
Svarīgi ir pamanīt numuru sēriju konverģenci. Dažreiz summēšanas arguments netiks izteikts teleskopiski. Šajos gadījumos alternatīvu faktoringa metožu ieviešana ir ļoti izplatīta.
Raksturīgā faktorizācijas metode teleskopiskajos papildinājumos ir vienkāršo frakciju metode. Tas notiek, ja sākotnējā frakcija tiek sadalīta vairāku frakciju summā, kur var novērot teleskopisko modeli (F x - F x + 1 ) vai (F x + 1 - F x ).
Sadalīšana vienkāršās frakcijās
Lai pārbaudītu skaitlisko virkņu konverģenci, ļoti bieži racionālas izteiksmes tiek pārveidotas ar vienkāršās frakcijas metodi. Mērķis ir modelēt zemes gabalu teleskopiskas summēšanas formā.
Piemēram, šāda vienlīdzība atspoguļo sadalīšanos vienkāršās daļās:
Izstrādājot skaitļu sērijas un piemērojot atbilstošās īpašības, izteiksmei ir šāda forma:
Kur tiek novērtēta teleskopiskā forma (F x - F x + 1 ).
Procedūra ir diezgan intuitīva un sastāv no skaitītāja vērtību atrašanas, kas, neizjaucot vienlīdzību, ļauj mums atdalīt saucējā atrastos produktus. Vienādojumi, kas rodas, nosakot šīs vērtības, tiek paaugstināti pēc abu vienlīdzības pušu salīdzinājumiem.
Šī procedūra tiek novērota soli pa solim, attīstot 2. vingrinājumu.
Vēsture
Ir diezgan neskaidri spēt definēt vēsturisko brīdi, kurā tika parādīti teleskopiskie summējumi. Tomēr tā ieviešanu sāk redzēt septiņpadsmitajā gadsimtā, skaitlisko sēriju pētījumos, ko veica Leibnizs un Huygens.
Abi matemātiķi, izpētot trīsstūrveida skaitļu summēšanu, sāk pamanīt tendences noteiktu secīgu elementu virkņu saplūšanā. Bet vēl interesantāks ir šo izteicienu modelēšanas sākums elementos, kas ne vienmēr seko viens otram.
Faktiski iepriekš lietotais izteiciens attiecas uz vienkāršām frakcijām:
To ieviesa Hjūgens, un tas nekavējoties piesaistīja Leibnica uzmanību. Kas laika gaitā varēja novērot konverģenci uz vērtību 2. To nezinot, viņš ieviesa teleskopisko summēšanas formātu.
Vingrinājumi
1. vingrinājums
Definējiet, līdz kuram termiņam šāda summa saplūst:
Manuāli veidojot summu, tiek novērots šāds modelis:
(2 3 - 2 4 ) + (2 4 - 2 5 ) + (2 5 - 2 6 ). . . . (2 10 - 2 11 )
Ja faktoriem no 2 4 līdz 2 10 ir pozitīvas un negatīvas daļas, padarot to atcelšanu acīmredzamu. Tad vienīgie faktori, kas netiks vienkāršoti, būs pirmais “2 3 ” un pēdējais “2 11 ”.
Tādā veidā, realizējot teleskopiskās summēšanas kritēriju, iegūst:
2. vingrinājums
Pārveido argumentu teleskopiskā tipa summējumā un definē virkņu konverģenci:
Kā norādīts paziņojumā, vispirms jāveic sadalīšana vienkāršās daļās, lai atkārtotu argumentu un izteiktu to teleskopiskā veidā.
Jums jāatrod 2 frakcijas, kuru saucēji ir attiecīgi "n" un "n + 1", kur turpmāk izmantotajai metodei jāiegūst skaitītāja vērtības, kas atbilst vienādībai.
Mēs turpinām noteikt vērtību A un B. Vispirms pievienojiet frakcijas.
Tad saucēji tiek vienkāršoti un izveidots lineārais vienādojums.
Nākamajā solī tiek darbināta izteiksme labajā pusē, līdz tiek iegūts paraugs, kas salīdzināms ar “3” kreisajā pusē.
Lai definētu izmantojamos vienādojumus, ir jāsalīdzina abu vienlīdzības pušu rezultāti. Tas ir, kreisajā pusē netiek novērotas mainīgā lieluma n vērtības, tāpēc A + B būs jābūt vienādam ar nulli.
A + B = 0; A = -B
No otras puses, nemainīgajai vērtībai A jābūt vienādai ar nemainīgo vērtību 3.
A = 3
Tādējādi.
A = 3 un B = -3
Kad vienkāršo frakciju skaitītāja vērtības jau ir definētas, summēšana tiek atkārtota.
Kur vispārīgais teleskopiskās summēšanas veids jau ir sasniegts. Tiek izstrādāta teleskopiskā sērija.
Ja, dalot ar ļoti lielu skaitu, rezultāts tiks tuvināts un tuvāk nullei, novērojot virknes konverģenci ar vērtību 3.
Šāda veida sērijas nevarēja atrisināt nekādā citā veidā, jo bezgalīgais iterāciju skaits nosaka problēmu. Tomēr šī metode, tāpat kā daudzas citas, veido skaitlisko virkņu pētījumu nozari, kuras mērķis ir noteikt konverģences vērtības vai noteikt minēto sēriju atšķirības.
Atsauces
- Bezgalīgas aprēķina nodarbības. Manuels Franko, Manuels Franko Nikolds, Fransisko Martinezs Gonzaless, Roka Molina Legaza. EDITUM, 1994. gads.
- Integrālais aprēķins: secības un funkciju sērija. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21. oktobris. 2014. gads.
- Kursa aprēķins un reālā analīze. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5. jūnijs. 2006. gads.
- Bezgalīgā sērija. Tomlinsona forts. The Clarendon Press, 1930. gads.
- Bezgalīgo procesu teorijas elementi. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill grāmatu uzņēmums, reģistrēts, 1923. gadā.