- Formulas un īpašības
- Laukums zem līknes
- Atrisināti vingrinājumi
- - 1. vingrinājums
- Risinājums
- - 2. vingrinājums
- Risinājums
- Atsauces
Riemann summa ir nosaukums, kas dots aptuveno aprēķinu noteiktu integrālis, izmantojot diskrēta summēšanu ar noteiktu skaitu noteikumu. Parasts pielietojums ir funkciju apgabala tuvināšana diagrammā.
Tas bija vācu matemātiķis Georgs Frīdrihs Bernhards Riemans (1826-1866), kurš vispirms piedāvāja precīzi definēt funkcijas integrālu noteiktā intervālā. Viņš to darīja zināmu 1854. gadā publicētā rakstā.
1. attēls. Riemann summa ir definēta funkcijai f un nodalījumam intervālā. Avots: Fanny Zapata.
Riemann summa tiek definēta funkcijai y = f (x), kur x pieder pie slēgtā intervāla. Šajā intervālā tiek izveidots n elementu nodalījums P:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Tas nozīmē, ka intervāls tiek sadalīts šādi:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
1. attēlā grafiski parādīta funkcijas f Riemann summa intervālā uz četru pakārtoto starpsienu - pelēko taisnstūru - nodalījumu.
Summa apzīmē kopējo taisnstūru laukumu, un šīs summas rezultāts skaitliski tuvina laukumu zem līknes f starp abscisu x = x 0 un x = x 4 .
Protams, tuvināšanās laukumam zem līknes ievērojami uzlabojas, jo lielāks ir starpsienu skaits n. Tādējādi summa saplūst ar laukumu zem līknes, kad nodalījumu skaitam n ir tendence uz bezgalību.
Formulas un īpašības
Funkcijas Riemann summa nodalījumā f (x):
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Intervālā to nosaka:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Kur t k ir vērtība intervālā. Riemann summā parasti izmanto regulārus platuma intervālus Δx = (b - a) / n, kur a un b ir absciss minimālās un maksimālās vērtības, bet n ir apakšdalījumu skaits.
Tādā gadījumā Riemann pareizā summa ir:
Sd (f, n) = * Δx
2. attēls. Riemann pareizā summa. Avots: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Kamēr Riemann kreiso summu izsaka šādi:
Ja (f, n) = * Δx
3. attēls. Kreisās Riemann summa. Avots: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Visbeidzot, Riemann centrālā summa ir:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
4. attēls. Starpcitu Riemann summa. Avots: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Atkarībā no tā, kur intervālā atrodas punkts t k , Riemann summa var pārvērtēt vai nenovērtēt precīzu laukuma vērtību zem funkcijas y = f (x) līknes. Citiem vārdiem sakot, taisnstūri var vai nu izvirzīties no līknes, vai arī būt nedaudz zem tā.
Laukums zem līknes
Rīmana summas galvenā īpašība, no kuras izriet tās nozīme, ir tāda, ka, ja apakšdaļu skaitam ir tendence uz bezgalību, tad summas rezultāts saplūst ar funkciju noteikto integrālu:
Atrisināti vingrinājumi
- 1. vingrinājums
Aprēķina funkcijas integrālā lieluma vērtību no a = -2 līdz b = +2:
f (x) = x 2
Izmantojiet Riemann summu. Lai to izdarītu, vispirms atrodiet summu par n regulāriem intervāla nodalījumiem un pēc tam paņemiet matemātisko robežu gadījumam, ja nodalījumu skaitam ir tendence uz bezgalību.
Risinājums
Šīs ir veicamās darbības:
-Pirmkārt, starpsienu intervālu nosaka šādi:
Δx = (b - a) / n.
-Tad Riemann summa labajā pusē, kas atbilst funkcijai f (x), izskatās šādi:
-Un tad to summēšanā uzmanīgi aizstāj:
Nākamais solis ir atdalīt summas un ņemt nemainīgos daudzumus kā katras summas kopējo koeficientu. Jāņem vērā, ka indekss ir i, tāpēc skaitļus un apzīmējumus ar n uzskata par nemainīgiem:
-Katra summa tiek novērtēta, jo katram no tiem ir piemēroti izteicieni. Piemēram, pirmā no summām dod n:
-Visbeidzot, aprēķināmais integrālis ir:
Lasītājs var pārbaudīt, vai tas ir precīzs rezultāts, ko var iegūt, risinot nenoteikto integrālu un novērtējot integrācijas robežas pēc Bārova noteikuma.
- 2. vingrinājums
Aptuveni noteikt laukumu zem funkcijas:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (-X 2 /2)
Ievadiet x = -1 un x = + 1, izmantojot Riemann centrālo summu ar 10 nodalījumiem. Salīdziniet ar precīzu rezultātu un novērtējiet procentuālo starpību.
Risinājums
Solis vai palielinājums starp divām secīgām diskrētām vērtībām ir:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Tātad nodalījums P, kurā ir definēti taisnstūri, izskatās šādi:
P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0}
Bet tā kā ir vēlama centrālā summa, funkcija f (x) tiks novērtēta pakārtoto starpposmu viduspunktos, tas ir, kopā:
T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0.9}.
Riemann (centrālā) summa izskatās šādi:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Tā kā funkcija f ir simetriska, summu ir iespējams samazināt līdz tikai 5 termiņiem, un rezultāts tiek reizināts ar diviem:
S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397 + 0,381 + 0,352 + 0,312 + 0,266} = 0,683
Šajā piemērā sniegtā funkcija nav nekas cits kā plaši pazīstamais Gausa zvans (normalizēts, ar vidējo vērtību vienāds ar nulli un ar standarta novirzi). Zināms, ka laukums zem līknes šīs funkcijas intervālā ir 0,6827.
5. attēls. Platība zem Gausa zvaniņa, kas tuvināta ar Riemann summu. Avots: F. Zapata.
Tas nozīmē, ka aptuvenais risinājums ar tikai 10 terminiem precīzajam risinājumam atbilst trīs zīmēm aiz komata. Procentuālā kļūda starp aptuveno un precīzo integrālu ir 0,07%.
Atsauces
- Kasteleiro, JM, un Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrāls aprēķins (ilustrēts red.). Madride: ESIC redakcija.
- Unikāns. Integrālā jēdziena vēsture. Atgūts no: repositorio.unican.es
- UIS. Riemann summas. Atgūts no: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Riemann summa. Atgūts no: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Riemann integrācija. Atgūts no: es.wikipedia.com