KVADRĀTISKĀS KĀRTAS: PIEMĒRI, NOTEIKUMS UN ATRISINĀTI VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Par kvadrātvienādojums mantojumu , matemātiskā izteiksmē, sastāv no secības numuriem, kas seko noteiktu noteikumu aritmētisko. Interesanti ir uzzināt šo noteikumu, lai noteiktu kādu no secības noteikumiem.

Viens veids, kā to izdarīt, ir noteikt atšķirību starp diviem secīgiem terminiem un redzēt, vai iegūtā vērtība vienmēr tiek atkārtota. Kad tas tā ir, tiek teikts, ka tā ir regulāra secība.

Skaitļu kārtas ir veids, kā organizēt skaitļu secības. Avots: pixabay.com

Bet, ja tas neatkārtojas, tad varat mēģināt izpētīt atšķirību starpību un noskaidrot, vai šī vērtība ir nemainīga. Ja tā, tad tā ir kvadrātiskā secība .

Regulāru secību un kvadrātisko secību piemēri

Šie piemēri palīdz noskaidrot līdz šim izskaidroto:

Regulāras pēctecības piemērs

Ļaujiet secībai S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Šī secība, ko apzīmē ar S, ir bezgalīga skaitļu kopa, šajā gadījumā veseli skaitļi.

Var redzēt, ka tā ir regulāra secība, jo katrs termins tiek iegūts, iepriekšējam terminam vai elementam pievienojot 3:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Citiem vārdiem sakot: šī secība ir regulāra, jo atšķirība starp nākamo un iepriekšējo terminu dod fiksētu vērtību. Dotajā piemērā šī vērtība ir 3.

Parastās sekvences, kuras iegūst, iepriekšējam terminam pievienojot fiksētu daudzumu, sauc arī par aritmētisko progresiju. Un starpību - konstantu - starp secīgiem terminiem sauc par attiecību un apzīmē ar R.

Neregulāras un kvadrātiskas kārtas piemērs

Skatīt tagad šādu secību:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Aprēķinot secīgas atšķirības, iegūst šādas vērtības:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

To atšķirības nav nemainīgas, tāpēc var teikt, ka tā NAV regulāra secība.

Tomēr, ja ņemam vērā atšķirību kopumu, mums ir cita secība, kas tiks apzīmēta kā S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Šī jaunā secība patiešām ir regulāra secība, jo katrs termins tiek iegūts, iepriekšējam pievienojot fiksēto vērtību R = 2. Tāpēc mēs varam apstiprināt, ka S ir kvadrātiska secība.

Vispārīgs noteikums kvadrātiskās kārtas izveidošanai

Pastāv vispārīga formula kvadrātiskās kārtas izveidošanai:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

Šajā formulā T _n ir termins secības n pozīcijā. A, B un C ir fiksētas vērtības, savukārt n mainās pa vienam, tas ir, 1, 2, 3, 4, …

Iepriekšējā piemēra secībā A = 1, B = 1 un C = 0. No tā izriet, ka formula, kas ģenerē visus terminus, ir šāda: T _n = n ² + n

Proti:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Atšķirība starp diviem secīgiem kvadrātiskās kārtas terminiem

T _{n + 1} - T _n = -

Izteiksmes attīstīšana, izmantojot ievērojamu produktu, joprojām ir:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Vienkāršojot to, jūs iegūstat:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Šī formula sniedz atšķirību S _Dif secību, ko var uzrakstīt šādi:

Starpība _n = A ∙ (2n + 1) + B

Nākamais termins skaidri ir 2 ∙ Dažreiz iepriekšējais. Tas ir, atšķirību S _diff kārtas secība ir šāda: R = 2 ∙ A.

Atrisinātas kvadrātisko secību problēmas

1. vingrinājums

Ļaujiet secībai S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Nosakiet, vai:

i) tas ir regulāri vai nē

ii) Vai tas ir kvadrātveida vai nē

iii) Tas bija kvadrāts, atšķirību secība un to attiecība

Atbildes

i) Aprēķināsim starpību starp šiem un iepriekšējiem terminiem:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Mēs varam apgalvot, ka secība S nav regulāra, jo atšķirība starp secīgiem terminiem nav pastāvīga.

ii) Atšķirību secība ir regulāra, jo atšķirība starp tās noteikumiem ir nemainīga vērtība 2. Tāpēc sākotnējā secība S ir kvadrātā.

iii) Mēs jau esam noteikuši, ka S ir kvadrātā, atšķirību secība ir šāda:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…}, un tā attiecība ir R = 2.

2. vingrinājums

Ļaujiet secībai S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} no iepriekšējā piemēra, kur tika pārbaudīts, ka tā ir kvadrātā. Noteikt:

i) formula, kas nosaka vispārīgo terminu T _n.

ii) Pārbaudiet trešo un piekto terminu.

iii) desmitā termiņa vērtība.

Atbildes

i) vispārējā formula T _n ir ∙ n ² + B ∙ n + C. Tad atliek uzzināt A, B un C vērtības.

Atšķirību secībai ir attiecība 2. Turklāt jebkurai kvadrātveida secībai attiecība R ir 2 ∙ A, kā parādīts iepriekšējās sadaļās.

R = 2 ∙ A = 2, kas ļauj secināt, ka A = 1.

Pirmais atšķirību virknes S _{Dif lielums} ir 2 un tai jāatbilst A ∙ (2n + 1) + B, ar n = 1 un A = 1, tas ir:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

risinot B, iegūstam: B = -1

Tad pirmais S (n = 1) termiņš ir 1 vērts, tas ir: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Kā mēs jau zinām, ka A = 1 un B = -1, aizstājot, mums ir:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Atrisinot C, iegūstam tā vērtību: C = 1.

Kopsavilkumā:

A = 1, B = -1 un C = 1

Tad n-tais termiņš būs T _n = n ² - n + 1

ii) Trešais termins T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7, un tas ir pārbaudīts. Piektais T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, kas arī ir pārbaudīts.

iii) desmitais termiņš būs T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

3. vingrinājums

3. uzdevuma zonu secība. Avots: pašu izstrādāts darbs.

Attēlā parādīta piecu skaitļu secība. Režģis apzīmē garuma vienību.

i) Nosakiet figūru laukuma secību.

ii) parādiet, ka tā ir kvadrātiskā secība.

iii) Atrodiet 10. attēla laukumu (nav parādīts).

Atbildes

i) S sekcija S, kas atbilst skaitļu kārtas laukumam, ir:

S = {0, 2, 6, 12, 20,. . . . . }

ii) Secība, kas atbilst S nosacījumu secīgajām atšķirībām, ir šāda:

S _diff = {2, 4, 6, 8,. . . . . }

Tā kā atšķirība starp secīgiem terminiem nav pastāvīga, tad S nav regulāra secība. Atliek zināt, vai tas ir kvadrāts, kam mēs atkal veicam atšķirību secību, iegūstot:

{2, 2, 2, …….}

Tā kā visi secības nosacījumi atkārtojas, tiek apstiprināts, ka S ir kvadrātiska secība.

iii) Secība S _dif ir regulāra, un tās attiecība R ir 2. Izmantojot iepriekš parādīto vienādojumu R = 2 ∙ A, tas paliek:

2 = 2 ∙ A, kas nozīmē, ka A = 1.

Otrais termins sekvences atšķirības S _DIF ir 4, n termiņš S _dif ir

A ∙ (2n + 1) + B

Otrajam terminam ir n = 2. Turklāt jau ir noteikts, ka A = 1, tāpēc, izmantojot iepriekšējo vienādojumu un aizstājot, mums ir:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Atrisinot B, iegūstam: B = -1.

Ir zināms, ka S otrais termins ir 2 vērts un ka tam ir jāizpilda vispārīgā termina formula ar n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Proti

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Secina, ka C = 0, tas ir, formula, kas dod sekvences S vispārīgo terminu, ir:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Tagad ir pārbaudīts piektais termiņš:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) 10. attēlā, kas šeit nav uzzīmēts, būs laukums, kas atbilst sekvences S desmitajam termiņam:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Atsauces

1. https://www.geogebra.org