ASTOŅKĀJU SISTĒMA: VĒSTURE, NUMERĀCIJAS SISTĒMA, KONVERTĒŠANA - MATEMĀTIKA - 2025

Oktāls sistēma ir bāze-astoņi (8) pozicionālo numerācijas sistēma; tas ir, tas sastāv no astoņiem cipariem, kas ir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 un 7. Tāpēc katram oktāla skaitļa ciparam var būt jebkura vērtība no 0 līdz 7. Octal skaitļi tie tiek veidoti no bināriem skaitļiem.

Tas notiek tāpēc, ka tā bāze ir precīza divu (2) jauda. Tas ir, skaitļi, kas pieder astoņkāju sistēmai, veidojas, kad tie ir sagrupēti trīs cipari pēc kārtas, sakārtoti no labās uz kreiso pusi, tādējādi iegūstot to decimālo vērtību.

Vēsture

Oktālā sistēma ir radusies senos laikos, kad cilvēki izmantoja rokas, lai skaitītu dzīvniekus no astoņiem līdz astoņiem.

Piemēram, lai saskaitītu govju skaitu stabulē, vienu sāka skaitīt ar labo roku, īkšķi savienojot ar mazo pirkstiņu; Pēc tam, lai saskaitītu otro dzīvnieku, īkšķi savienoja ar rādītājpirkstu un tā tālāk ar katras rokas atlikušajiem pirkstiem, līdz pabeidza 8.

Pastāv iespēja, ka senatnē astoņkāju numerācijas sistēma tika izmantota pirms decimāldaļas, lai varētu saskaitīt starpciparu atstarpes; tas ir, saskaitiet visus pirkstus, izņemot īkšķus.

Vēlāk tika izveidota astoņkāju numerācijas sistēma, kuras izcelsme bija binārā sistēmā, jo tai ir vajadzīgi daudzi cipari, lai pārstāvētu tikai vienu ciparu; no tā laika tika izveidotas astoņstūru un sešstūru sistēmas, kurām nav nepieciešams tik daudz ciparu un kuras var viegli pārveidot par bināro sistēmu.

Oktālā numerācijas sistēma

Astoņstaru sistēma sastāv no astoņiem cipariem, kas svārstās no 0 līdz 7. Tiem ir tāda pati vērtība kā decimālās sistēmas gadījumā, bet to relatīvā vērtība mainās atkarībā no ieņemtās pozīcijas. Katras pozīcijas vērtību nosaka 8. pamatnes spēks.

Ciparu pozīcijām astoņdaļas skaitļos ir šādi svari:

8 ⁴ , 8 ³ , 8 ² , 8 ¹ , 8 ⁰ , oktāla punkts, 8 ^-1 , 8 ^-2 , 8 ^-3 , 8 ^-4 , 8 ^-5 .

Lielākais astoņciparu cipars ir 7; tādējādi, skaitot šajā sistēmā, cipara pozīcija tiek palielināta no 0 līdz 7. Kad tiek sasniegts 7, tas tiek pārstrādāts uz 0 nākamajam skaitīšanai; šādā veidā tiek palielināta nākamā cipara pozīcija. Piemēram, lai skaitītu sekvences, oktālajā sistēmā tas būs:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Ir viena pamatteorema, ko piemēro oktālajai sistēmai, un to izsaka šādi:

Šajā izteiksmē di apzīmē ciparu, kas reizināts ar bāzes 8 jaudu, kas norāda katra cipara vietas vērtību tādā pašā veidā, kā tas tiek sakārtots decimālajā sistēmā.

Piemēram, jums ir numurs 543,2. Lai to nogādātu astoņkāju sistēmā, tas sadalās šādi:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Tādējādi mums ir 543,2 _q = 354,25 _d . Apakšindekss q norāda, ka tas ir astoņskaitļa skaitlis, ko var attēlot arī ar ciparu 8; un indekss d attiecas uz decimālo skaitli, ko var attēlot arī ar ciparu 10.

Pārveidošana no astoņdaļas uz decimālo sistēmu

Lai konvertētu skaitli no oktālās sistēmas uz tā ekvivalentu decimālajā sistēmā, vienkārši sareizini katru oktālā cipara skaitli ar tā vietas vērtību, sākot ar labo pusi.

1. piemērs

732 ₈ = (7 _* 8 ² ) + (3 _* 8 ¹ ) + (2 _* 8 ⁰ ) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

2. piemērs

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹ ) + (6 _* 8 ⁰ ) + (9 _* 8 ^-1 ) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,1225 ₁₀

Pārrēķins no decimāldaļas uz oktālo sistēmu

Decimālo skaitli var pārveidot par astoņdaļu skaitli, izmantojot atkārtotas dalīšanas metodi, kur decimālais vesels skaitlis tiek dalīts ar 8, līdz koeficients ir vienāds ar 0, un katra dalījuma atlikušās daļas apzīmēs astoto skaitli.

Atlikumi tiek pasūtīti no pēdējā līdz pirmajam; tas ir, pirmais atlikums būs vismazākais zīmīgais oktāla skaitļa cipars. Tādā veidā visnozīmīgākais cipars būs pēdējais atlikums.

Piemērs

Decimāldaļskaitlis Oktāls 266 ₁₀

- Daliet decimālo skaitli 266 ar 8 = 266/8 = 33 + atlikušo daļu no 2.

- Tad daliet 33 ar 8 = 33/8 = 4 + atlikušo daļu 1.

- daliet 4 ar 8 = 4/8 = 0 + atlikušo 4 daļu.

Tā kā pēdējā dalījumā tiek iegūts koeficients, kas mazāks par 1, tas nozīmē, ka rezultāts ir atrasts; Atlikušās daļas jāpasūta tikai apgriezti, lai četrstūra skaitļa decimālais skaitlis 266 būtu 412, kā redzams šajā attēlā:

Pāreja no oktālās uz bināro sistēmu

Konvertēšana no oktālā uz bināro tiek veikta, konvertējot oktāla ciparu ekvivalentā binārā ciparā, kas sastāv no trim cipariem. Ir tabula, kurā parādīts, kā tiek konvertēti astoņi iespējamie cipari:

Pēc šiem konvertējumiem jebkuru skaitli var mainīt no oktālās sistēmas uz bināro, piemēram, lai konvertētu skaitli 572 ₈ , tabulas tiek meklēti tā ekvivalenti. Tādējādi jums:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Tāpēc binārā sistēmā 572 _{8 ir} līdzvērtīgs 10111110.

Pārvēršana no binārā uz astoņkāju

Bināru veselu skaitļu pārvēršana astoņdaļas veselos skaitļos ir iepriekšējā procesa pretējs process.

Tas ir, binārā skaitļa biti tiek sagrupēti divās trīs bitu grupās, sākot no labās uz kreiso. Tad pārvēršana no binārā uz astoņkāju tiek veikta, izmantojot iepriekš redzamo tabulu.

Dažos gadījumos binārajam skaitlim nebūs 3 bitu grupas; Lai to pabeigtu, pirmās grupas kreisajā pusē pievieno vienu vai divas nulles.

Piemēram, lai mainītu bināro numuru 11010110 uz oktālo, rīkojieties šādi:

- Tiek izveidotas 3 bitu grupas, sākot no labās puses (pēdējais bits):

11010110

- Tā kā pirmā grupa ir nepilnīga, tai pievieno nulli:

011010110

- Pārrēķins tiek veikts no tabulas:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Tādējādi binārais skaitlis 011010110 ir vienāds ar 326 ₈ .

Pārveidošana no astoņdaļas uz heksadecimālo un otrādi

Lai mainītu no astotā skaitļa uz heksadecimālo sistēmu vai no heksadecimālā uz astoņdaļu, vispirms skaitlis jāpārveido binārā un pēc tam vēlamajā sistēmā.

Šim nolūkam ir tabula, kurā katrs heksadecimālais cipars tiek attēlots ar ekvivalentu binārajā sistēmā, kas sastāv no četriem cipariem.

Dažos gadījumos binārajam skaitlim nebūs 4 bitu grupas; Lai to pabeigtu, pirmās grupas kreisajā pusē pievieno vienu vai divas nulles

Piemērs

Konvertējiet astoņskaitļa numuru 1646 par heksadecimālo skaitli:

- Pārvērtiet skaitli no astoņdaļas uz bināru

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Tātad, 1646 ₈ = 1110100110.

- Lai konvertētu no binārā uz heksadecimālo, tie vispirms tiek sakārtoti 4 bitu grupā, sākot no labās uz kreiso:

11 1010 0110

- Pirmo grupu aizpilda ar nullēm, lai tajā varētu būt 4 biti:

0011 1010 0110

- Tiek veikta konversija no binārā uz heksadecimālo. Ekvivalentus aizstāj ar tabulu:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Tādējādi astoņstūra skaitlis 1646 ir vienāds ar 3A6 heksadecimālajā sistēmā.

Atsauces

1. Bressan, AE (1995). Ievads numerācijas sistēmās. Uzņēmuma Argentīnas universitāte.
2. Hariss, JN (1957). Ievads bināro un astoņkāju numerācijas sistēmās: Leksingtona, Masačūsetsas Tehniskās informācijas aģentūra.
3. Kumars, AA (2016). Digitālo shēmu pamati. Learning Pvt.
4. Peris, XC (2009). Vienas operētājsistēmas.
5. Ronalds J. Tocci, NS (2003). Digitālās sistēmas: principi un pielietojumi. Pīrsona izglītība.