CENTRĀLĀ SIMETRIJA: ĪPAŠĪBAS, PIEMĒRI UN VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Diviem punktiem A un A 'ir centrālā simetrija attiecībā pret punktu O, kad segments AA' iet tam cauri, un tas ir arī AA viduspunkts. Punktu O sauc par simetrijas centru.

Trijstūra ABC centrālā simetrija attiecībā pret punktu O ir vēl viens trīsstūris A'B'C ', kam ir šādas īpašības:

-Homoloģiski segmenti ir vienāda garuma

-Tiem atbilstošajiem leņķiem ir tāds pats izmērs.

1. attēls. Trijstūris ABC un tā simetriskais A'B'C. Avots: F. Zapata.

1. attēlā parādīts trīsstūris ABC (sarkans) un tā centrālā simetrija A'B'C '(zaļa) attiecībā pret simetrijas centru O.

Šajā pašā attēlā uzmanīgs novērotājs saprastu, ka tāds pats rezultāts tiek iegūts, piemērojot sākotnējā trīsstūra pagriešanos, ja vien tas ir 180 ° un ir vērsts uz O.

Tāpēc centrālā simetrija ir līdzvērtīga 180 ° pagriezienam attiecībā pret simetrijas centru.

Centrālās simetrijas īpašības

Centrālajai simetrijai ir šādas īpašības:

-Simetrijas centrs ir segmenta viduspunkts, kas savieno punktu ar tā simetriju.

-Cita simetrisks punkts, kas atrodas simetrijas centrā, sakrīt ar simetrijas centru.

-Trīsstūra centrālā simetrija ir sakrīt trīsstūris (vienāds) ar oriģinālu.

-Attēls ar apļa centrālo simetriju ir vēl viens vienāda rādiusa aplis.

-Armēram ir centrāla simetrija attiecībā pret savu centru.

2. attēls. Dizains ar centrālo simetriju. Avots: Pixabay.

- Elipsei ir centrālā simetrija attiecībā pret tās centru.

- Segmentam ir centrālā simetrija attiecībā pret tā viduspunktu.

Vienādmalu trīsstūrim nav centrālās simetrijas attiecībā pret tā centru, jo, kaut arī tā simetrija ir kongruzīva ar pirmo, tas iegūst pagrieztu vienādmalu trīsstūri.

-Kvadrātiem ir centrālā simetrija attiecībā pret to centru.

-Piecstūrim trūkst centrālās simetrijas attiecībā pret tā centru.

-Regulāriem daudzstūriem ir centrālā simetrija, ja tiem ir vienāds sānu skaits.

Piemēri

Simetrijas kritērijiem ir daudz pielietojumu zinātnē un inženierijā. Dabā ir centrālā simetrija, piemēram, ledus kristāliem un zirnekļu tīkliem ir šāda veida simetrija.

Turklāt daudzas problēmas ir viegli atrisināmas, izmantojot centrālās simetrijas un cita veida simetrijas iespējas. Tāpēc ir ērti ātri noteikt, kad tas notiek.

3. attēls. Ledus kristāliem ir centrālā simetrija. Avots: Pixabay.

1. piemērs

Ņemot vērā koordinātu punktu P (a, b), mums jāatrod tās simetriskās P 'koordinātas attiecībā pret koordinātu sākumu O (0, 0).

Pirmais ir konstruēt punktu P ', kuram tiek novilkta līnija, kas iet caur sākumu O un caur punktu P. Šīs līnijas vienādojums ir y = (b / a) x.

Tagad sauksim (a ', b') simetriskā punkta P 'koordinātas. Punktam P 'jāatrodas uz līnijas, kas iet caur O, un tā ir taisnība: b' = (b / a) a '. Turklāt attālumam OP jābūt vienādam ar OP ', kas analītiskā formā ir uzrakstīts šādi:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Šāds ir b '= aizstājums iepriekšējā izteiksmē un kvadrātā abas vienlīdzības puses, lai izslēgtu kvadrātsakni: (a ² + b ² ) =

Izņemot kopējo koeficientu un vienkāršojot, mēs iegūstam, ka ' ² = a ² . Šim vienādojumam ir divi reāli risinājumi: a '= + a vai a' = -a.

Lai iegūtu b ', mēs atkal izmantojam b' = (b / a) a '. Ja tiek aizstāts '' pozitīvais risinājums, mēs iegūstam, ka b '= b. Un, kad tiek aizstāts negatīvais risinājums, tad b '= -b.

Pozitīvais risinājums P 'dod vienādu punktu P, tāpēc to izmet. Negatīvs risinājums noteikti norāda simetriskā punkta koordinātas:

P ': (-a, -b)

2. piemērs

Jāparāda, ka segmentam AB un tā centrālajai simetriskajai A'B 'ir vienāds garums.

Sākot ar A punkta koordinātām, kuras ir (Ax, Ay), un punkta B koordinātām: (Bx, By), segmenta AB garumu aprēķina ar:

d (AB) = √ ((Bx - ass) ² + (līdz - Ay) ² )

Pēc analoģijas simetriskā segmenta A'B 'garums būs izteikts ar:

d (A'B ') = √ ((Bx' - ass ') ² + (ar' - Ay ') ² )

Simetriskā punkta A 'koordinātas ir Ax' = -Ax un Ay '= -Ay. Līdzīgi B 'ir Bx' = -Bx un By '= -By. Ja šīs koordinātas tiek aizstātas ar attāluma d (A'B ') vienādojumu, mums ir:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ), kas ir ekvivalents:

√ ((Bx - ass) ² + (līdz - Ay) ² ) = d (AB)

Tādējādi tiek parādīts, ka abiem segmentiem ir vienāds garums.

Atrisināti vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Analītiski parādiet, ka R rādiusa apļa un centra O centrālā simetriskā O ir tas pats oriģinālais aplis.

Risinājums

Apļa ar rādiusu R un centru O (0,0) vienādojums ir:

x ² + y ² = R ² (C apkārtmēra vienādojums)

Ja katrā koordinātu (x, y) apkārtmēra P punktā P tiek atrasts tā simetriskais koordinātu (x ', y') P ', simetriskā apkārtmēra vienādojums ir:

x ' ² + y' ² = R ² (simetriskā loka C vienādojums)

Tagad mēs atsaucamies uz 1. piemēra rezultātu, kurā secināts, ka punkta P 'koordinātas, simetriskas P un ar koordinātām (a, b), ir (-a, -b).

Bet šajā uzdevumā punktam P ir koordinātas (x, y), tāpēc tā simetriskajam P 'būs koordinātas x' = -xe y '= -y. Aizstājot to simetriskā loka vienādojumā, kas mums ir:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Kas ir ekvivalents: x ² + y ² = R ² , secinot, ka apļa centrālā simetrija attiecībā pret tā centru ir pats aplis.

- 2. vingrinājums

Ģeometriskā formā parādiet, ka centrālā simetrija saglabā leņķus.

Risinājums

Simetrisko punktu uzbūve 2. uzdevumam. Avots: F. Zapata.

Plaknē ir trīs punkti A, B un C. Tās simetrijas A ', B' un C 'ir konstruētas attiecībā pret simetrijas centru O, kā parādīts 4. attēlā.

Tagad mums jāparāda, ka leņķim ∡ABC = β ir tāds pats izmērs kā leņķim ∡A'B'C '= β'.

Tā kā C un C 'ir simetriski, tad OC = OC'. Līdzīgi OB = OB 'un OA = OA'. No otras puses, leņķis ∡BOC = ∡B'OC ', jo virsotnei tie ir pretēji.

Tāpēc trīsstūri BOC un B'OC 'ir sakrīt, jo tiem ir vienāds leņķis starp divām vienādām pusēm.

Tā kā BOC ir vienāds ar B'OC ', tad leņķi γ un γ' ir vienādi. Bet šie leņķi papildus γ = γ 'izpildei ir arī iekšējie pārmaiņus starp līnijām BC un B'C', kas nozīmē, ka līnija BC ir paralēla B'C '.

Līdzīgi BOA ir saderīgs ar B'OA ', no kā izriet, ka α = α'. Bet α un α 'ir alternatīvi iekšējie leņķi starp līnijām BA un B'A', no kuriem secina, ka līnija BA ir paralēla B'A '.

Tā kā leņķa ∡ABC = β malas ir paralēlas leņķim ∡A'B'C '= β' un arī abas ir akūtas, secina, ka:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Šādi pierādot, ka centrālā simetrija saglabā leņķu izmēru.

Atsauces

1. Baldor, JA 1973. Plakne un kosmosa ģeometrija. Centrālamerikas kultūras.
2. Matemātiskie likumi un formulas. Leņķa mērīšanas sistēmas. Atgūts no: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane ģeometrija. Atgūts no: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Centrālā simetrija. Atgūts no: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Konveijers. Atgūts no: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Konjugēti iekšējie un ārējie leņķi. Atgūts no: lifeder.com