Par integrāļi veidi , kas, mūsuprāt, calculus ir beztermiņa integrālis un noteiktais integrālis. Lai arī noteiktiem integrāļiem ir daudz vairāk lietojumu nekā nenoteiktiem integrāļiem, vispirms ir jāapgūst, kā atrisināt nenoteiktos integrāļus.
Viens no pievilcīgākajiem noteiktu integrāļu pielietojumiem ir revolūcijas cietās vielas tilpuma aprēķins. Abiem integrāļu veidiem ir vienādas linearitātes īpašības, un arī integrācijas paņēmieni nav atkarīgi no integrala veida.
Cieta revolūcijas
Bet, neskatoties uz to, ka tie ir ļoti līdzīgi, pastāv viena galvenā atšķirība; pirmā veida integrala gadījumā rezultāts ir funkcija (kas nav specifiska), savukārt otrā tipa rezultāts ir cipars.
Integrālo pamatveidi
Integrāliju pasaule ir ļoti plaša, taču tajā var izdalīt divus integrāļu pamattipus, kuriem ir liela pielietojamība ikdienas dzīvē.
1- Nenoteikti integrāļi
Ja F '(x) = f (x) visiem x domēna f apgabalā, mēs sakām, ka F (x) ir f (x) antiderivatīvs, primitīvs vai neatņemams elements.
No otras puses, ņemsim vērā, ka (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), kas nozīmē, ka funkcijas integrālis nav unikāls, jo, piešķirot dažādas vērtības konstantei C, mēs iegūsim atšķirīgu antiderivatīvi.
Šī iemesla dēļ F (x) + C sauc par f (x) nenoteikto integrāli un C sauc par integrācijas konstantu, un mēs to uzrakstām šādi
Neierobežots integrālis
Kā redzam, funkcijas f (x) nenoteiktais integrālis ir funkciju saime.
Piemēram, ja vēlaties atrast funkcijas f (x) = 3x² nenoteiktu integrālu, vispirms jāatrod f (x) antiderivatīvs.
Ir viegli redzēt, ka F (x) = x³ ir atvasinājums, jo F '(x) = 3x². Tāpēc var secināt, ka
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2 - Noteiktie integrāļi
Ļaujiet y = f (x) būt reālai, nepārtrauktai funkcijai slēgtā intervālā un F (x) būt f (x) antiderivattam. Noteikto f (x) integrālu starp a un b sauc par skaitli F (b) -F (a), un to apzīmē šādi:
Aprēķina pamat teorēma
Iepriekš parādītā formula ir labāk pazīstama kā "Kalkuļa pamatteorema". Šeit "a" sauc par apakšējo robežu, un "b" sauc par augšējo robežu. Kā redzat, funkcijas noteiktais integrālis ir skaitlis.
Tādā gadījumā, ja intervālā tiek aprēķināts f (x) = 3x² noteikts integrālis, tiks iegūts skaitlis.
Lai noteiktu šo skaitli, kā f (x) = 3x² atvasinājumu mēs izvēlamies F (x) = x³. Tad mēs aprēķinām F (3) -F (0), kas dod rezultātu 27-0 = 27. Noslēgumā jānorāda, ka f (x) noteiktais integrālis intervālā ir 27.
Var atzīmēt, ka, ja tiek izvēlēta G (x) = x³ + 3, tad G (x) ir f (x) antiderivatīvs, kas atšķiras no F (x), bet tas neietekmē rezultātu, jo G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Šī iemesla dēļ integrācijas konstante neparādās noteiktajos integrāļos.
Viens no visnoderīgākajiem šāda veida integrālu lietojumiem ir tas, ka tas ļauj mums aprēķināt plaknes figūras (apgriezienu masas) laukumu (tilpumu), nosakot piemērotas funkcijas un integrācijas robežas (un rotācijas asi).
Noteiktajos integrāļos mēs varam atrast dažādus tā paplašinājumus, piemēram, līniju integrāļus, virsmas integrāļus, nepareizus integrāļus, vairākus integrālus, cita starpā, tos visus ar ļoti noderīgiem pielietojumiem zinātnē un inženierzinātnēs.
Atsauces
- Kasteleiro, JM (2012). Vai to ir viegli integrēt? Pašmācības rokasgrāmata. Madride: ESIC.
- Kasteleiro, JM, un Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrāls aprēķins (ilustrēts red.). Madride: ESIC redakcija.
- Flemings, W., un Varbergs, DE (1989). Priekškalkulu matemātika. Prentice Hall PTR.
- Flemings, W., un Varbergs, DE (1989). Priekškalkulu matemātika: problēmu risināšanas pieeja (2, ilustrēts red.). Mičigana: Prentice zāle.
- Kishan, H. (2005). Integrāls aprēķins. Atlantijas izdevēji un izplatītāji.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkuluss (devītais izdevums). Prentice zāle.