KAS IR SLĪPI TRĪSSTŪRI? (AR VINGRINĀJUMIEM) - MATEMĀTIKA - 2025

Par Slīpi trīsstūri ir tie trijstūri, kas nav taisnstūri. Citiem vārdiem sakot, trīsstūri ir tādi, ka neviens no to leņķiem nav taisns leņķis (to izmērs ir 90 °).

Tā kā viņiem nav taisnu leņķu, tad Pitagora teorēmu šiem trijstūriem nevar piemērot.

Tāpēc, lai zinātu datus slīpā trīsstūrī, ir jāizmanto citas formulas.

Slīpa trīsstūra atrisināšanai vajadzīgās formulas ir tā sauktie sinusu un kosinusu likumi, kas tiks aprakstīti vēlāk.

Papildus šiem likumiem vienmēr var izmantot to, ka trīsstūra iekšējo leņķu summa ir vienāda ar 180º.

Slīpi trīsstūri

Kā teikts sākumā, slīps trīsstūris ir tāds trīsstūris, ka neviens no tā leņķiem nav 90 °.

Problēma, kas saistīta ar slīpa trīsstūra malu atrašanu, kā arī tā leņķa izmēru atrašanu, tiek saukta par "slīpa trīsstūra risināšanu".

Svarīgs fakts, strādājot ar trīsstūriem, ir tāds, ka trīsstūra trīs iekšējo leņķu summa ir vienāda ar 180º. Tas ir vispārējs rezultāts, tāpēc to var piemērot arī slīpiem trīsstūriem.

Sinusu un kosinusu likumi

Piešķirts trīsstūris ABC ar malām "a", "b" un "c":

- Sinusa likums nosaka, ka a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), kur A, B un C ir pretēji leņķi pret "a", "b" un "c" »Attiecīgi.

- Kosinusu likums nosaka, ka: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Līdzvērtīgi var izmantot šādas formulas:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) vai a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Izmantojot šīs formulas, var aprēķināt datus par slīpu trīsstūri.

Vingrinājumi

Zemāk ir daži vingrinājumi, kur, pamatojoties uz noteiktiem sniegtajiem datiem, jāatrod trūkstošie dati par dotajiem trijstūriem.

Pirmais vingrinājums

Ja trijstūris ABC ir tāds, ka A = 45º, B = 60º un a = 12cm, aprēķiniet pārējos trīsstūra datus.

Risinājums

Izmantojot to, trīsstūra iekšējo leņķu summa ir vienāda ar 180º, un tā mums ir

C = 180º-45º-60º = 75º.

Trīs leņķi jau ir zināmi. Pēc tam, lai aprēķinātu abas trūkstošās puses, izmanto sinusa likumu.

Vienādojumi, kas rodas, ir 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Sākot no pirmās vienlīdzības, mēs varam atrisināt pozīciju «b» un to iegūt

b = 12 * grēks (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696cm.

Varam arī atrisināt attiecībā uz «c» un to iegūt

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392cm.

Otrais vingrinājums

Ja trijstūris ABC ir tāds, ka A = 60º, C = 75º un b = 10cm, aprēķiniet pārējos trīsstūra datus.

Risinājums

Tāpat kā iepriekšējā vingrinājumā, B = 180º-60º-75º = 45º. Turklāt, izmantojot sinusa likumu, mums ir, ka a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), no kā iegūst, ka a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12,247 cm un c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Trešais vingrinājums

Ja trijstūris ABC ir tāds, ka a = 10cm, b = 15cm un C = 80º, aprēķiniet pārējos trīsstūra datus.

Risinājums

Šajā vingrinājumā ir zināms tikai viens leņķis, tāpēc to nevar sākt tāpat kā iepriekšējos divos vingrinājumos. Arī sinusa likumu nevar piemērot, jo nevar atrisināt nevienu vienādojumu.

Tāpēc mēs sākam piemērot kosinosa likumu. Tieši tad tas ir

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325–300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

tā, lai c ≈ 16,51 cm. Tagad, zinot trīs puses, tiek izmantots sinusu likums, un tas tiek iegūts

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51cm / sin (80º).

Tādējādi, risinot B, rezultāts ir sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, kas nozīmē, ka B ≈ 63,38º.

Tagad mēs varam iegūt, ka A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Ceturtais vingrinājums

Slīpa trīsstūra malas ir a = 5cm, b = 3cm un c = 7cm. Atrodiet trīsstūra leņķus.

Risinājums

Arī sinusu likumu nevar tieši piemērot, jo neviens vienādojums nederētu leņķu vērtības iegūšanai.

Izmantojot kosinusa likumu, mums ir, ka c² = a² + b² - 2ab cos (C), no kura, risinot, mums ir cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2, un tāpēc C = 120º.

Tagad, ja mēs varam piemērot sinusu likumu un tādējādi iegūt 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), no kurienes mēs varam atrisināt par B un iegūt šo grēku (B) = 3 * grēks (120º) / 7 = 0,371, tā, ka B = 21,79º.

Visbeidzot, pēdējo leņķi aprēķina, izmantojot A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Atsauces

1. Landaverde, F. d. (1997). Ģeometrija (atkārtota drukāšana). Progress.
2. Leikijs, D. (2006). Trijstūri (ilustrēts red.). Heinemann-Raintree.
3. Perezs, CD (2006). Iepriekšēja aprēķināšana. Pīrsona izglītība.
4. Ruiza, Á., Un Barrantes, H. (2006). Ģeometrijas. CR tehnoloģija.
5. Sullivans, M. (1997). Iepriekšēja aprēķināšana. Pīrsona izglītība.
6. Sullivans, M. (1997). Trigonometrija un analītiskā ģeometrija. Pīrsona izglītība.