PUASONA SADALĪJUMS: FORMULAS, VIENĀDOJUMI, MODELIS, ĪPAŠĪBAS - DUDAS - 2025

Puasona sadalījums ir diskrēta varbūtības sadalījums, ar kuru ir iespējams uzzināt, varbūtību, ka laikā liela parauga lieluma un noteiktu intervālu, pasākumā kura iespējamība ir maza notiks laikā.

Bieži vien Binomālā sadalījuma vietā var izmantot Puasona sadalījumu, ja vien ir izpildīti šādi nosacījumi: liels paraugs un maza varbūtība.

1. attēls. Puasona sadalījuma diagramma dažādiem parametriem. Avots: Wikimedia Commons.

Sīmans-Deniss Puisons (1781-1840) izveidoja šo sadaļu, kurai ir viņa vārds, un tas ir ļoti noderīgi, ja runa ir par neparedzamiem notikumiem. Puasons savus rezultātus publicēja 1837. gadā - izmeklēšanas darbā par kļūdainu kriminālsodu iestāšanās varbūtību.

Vēlāk citi pētnieki pielāgoja sadalījumu citās teritorijās, piemēram, zvaigžņu skaitu, ko varēja atrast noteiktā kosmosa tilpumā, vai varbūtību, ka karavīrs mirs no zirga sitiena.

Formula un vienādojumi

Puasona sadalījuma matemātiskā forma ir šāda:

- μ (dažreiz apzīmēts arī kā λ) ir sadalījuma vidējais vai parametrs

- Eulera numurs: e = 2,71828

- y = k iegūšanas varbūtība ir P

- k ir panākumu skaits 0, 1,2,3 …

- n ir testu vai notikumu skaits (parauga lielums)

Diskrēti izlases mainīgie, kā norāda to nosaukums, ir atkarīgi no nejaušības un ņem tikai diskrētās vērtības: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Vidējo sadalījumu izsaka:

Vēl viens svarīgs parametrs ir dispersija σ, kas mēra datu izplatību. Puasona sadalījumam tas ir:

σ = μ

Puasons noteica, ka tad, kad n → ∞ un p → 0, vidējam μ - ko sauc arī par paredzamo vērtību - ir tendence uz konstanti:

-Apskatītie notikumi vai notikumi ir neatkarīgi viens no otra un notiek nejauši.

-Noteikta notikuma P varbūtība P noteiktā laika posmā ir ļoti maza: P → 0.

- Varbūtība, ka laika posmā notiks vairāk nekā viens notikums, ir 0.

-Vidējā vērtība tuvojas konstantei, kas izteikta ar: μ = np (n ir parauga lielums)

-Tā kā izkliede σ ir vienāda ar μ, jo tā pieņem lielākas vērtības, mainīgums arī kļūst lielāks.

- Pasākumiem jābūt vienmērīgi sadalītiem izmantotajā laika intervālā.

- Notikuma y iespējamo vērtību kopa ir: 0,1,2,3,4….

-I mainīgo summa, kas seko Puasona sadalījumam, ir arī cits Puasona mainīgais. Tā vidējā vērtība ir šo mainīgo vidējo vērtību summa.

Binomālā sadalījuma atšķirības

Puasona sadalījums atšķiras no binomālā sadalījuma šādos svarīgos veidos:

-Binomālo sadalījumu ietekmē gan parauga lielums n, gan varbūtība P, bet Puasona sadalījumu ietekmē tikai vidējais μ.

-Binomālā sadalījumā izlases lieluma y iespējamās vērtības ir 0,1,2,…, N, turpretim Puasona sadalījumā šīm vērtībām nav augšējās robežas.

Piemēri

Puasons sākotnēji savu slaveno izplatījumu piemēroja juridiskām lietām, taču rūpnieciskā līmenī viens no viņa agrākajiem lietojumiem bija alus darīšana. Šajā procesā raudzēšanai izmanto rauga kultūras.

Raugs sastāv no dzīvām šūnām, kuru populācija laika gaitā ir mainīga. Alus ražošanā ir jāpievieno nepieciešamais daudzums, tāpēc jāzina šūnu skaits, kas ir vienā tilpuma vienībā.

Otrā pasaules kara laikā Puasona sadalījums tika izmantots, lai noskaidrotu, vai vācieši patiesībā mērķē uz Londonu no Kalē, vai tikai šauj nejauši. Sabiedrotajiem tas bija svarīgi, lai noteiktu, cik laba tehnoloģija bija pieejama nacistiem.

Praktiski pielietojumi

Puasona sadalījuma lietojumi vienmēr attiecas uz skaitiem laikā vai skaitiem telpā. Un tā kā parādīšanās varbūtība ir maza, to sauc arī par “retu notikumu likumu”.

Šeit ir saraksts ar notikumiem, kas ietilpst vienā no šīm kategorijām:

-Daļiņu reģistrēšana radioaktīvā sabrukšanā, kas tāpat kā rauga šūnu augšana ir eksponenciāla funkcija.

-Atsevišķas vietnes apmeklējumu skaits.

-Cilvēku ierašanās rindā, lai samaksātu vai tiktu apmeklēta (rindu teorija).

-Auto skaits, kas noteiktā laika posmā šķērso noteiktu ceļa punktu.

2. attēls. Automašīnu skaits, kas šķērso punktu, aptuveni atbilst Puasona sadalījumam. Avots: Pixabay.

-Mutācijas, kas cietušas noteiktā DNS ķēdē pēc starojuma iedarbības.

- Gadā nokritušo meteorītu skaits ar diametru lielāku par 1 m.

-Ietekme uz auduma kvadrātmetru.

-Asins šūnu daudzums 1 kubikcentimetrā.

-Zvani minūtē uz telefona centrāli.

-Šokolādes skaidiņas atrodas 1 kg mīklas mīklas.

-Koku skaits, kas inficēti ar noteiktu parazītu 1 hektārā meža.

Ņemiet vērā, ka šie nejaušie mainīgie norāda, cik reizes notikums notiek noteiktā laika posmā (zvani minūtē uz telefona centrāli) vai noteiktā telpas reģionā (auduma defekti uz kvadrātmetru).

Šie notikumi, kā jau noteikts, nav atkarīgi no laika, kas pagājis kopš pēdējā notikuma.

Binomu sadalījuma tuvināšana ar Puasona sadalījumu

Puasona sadalījums ir labs tuvinājums binominālajam sadalījumam, ja:

-Palasījums ir liels: n ≥ 100

- Varbūtība p ir maza: p ≤ 0,1

- μ ir šādā secībā: np ≤ 10

Šādos gadījumos Puasona sadalījums ir lielisks līdzeklis, jo šajos gadījumos var būt grūti piemērot binomālo sadalījumu.

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Seismoloģiskā pētījumā tika noteikts, ka pēdējo 100 gadu laikā visā pasaulē notika 93 lielas zemestrīces ar vismaz 6,0 balles pēc Rihtera skalas -logaritmiskās. Pieņemsim, ka Puasona sadalījums šajā gadījumā ir piemērots modelis. Atrodi:

a) Vidēja lielu zemestrīču iespējamība gadā.

b) Ja P (y) ir varbūtība, ka zemestrīces notiks nejauši izvēlētā gadā, atrodiet šādas varbūtības:

Tas ir diezgan mazāks par P (2).

Rezultāti ir uzskaitīti zemāk:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Piemēram, mēs varētu teikt, ka pastāv 39,5% varbūtība, ka attiecīgajā gadā liela zemestrīce nenotiks. Vai arī ka tajā gadā ir 5,29% no 3 lielām zemestrīcēm.

C) risinājums

c) frekvences tiek analizētas, reizinot ar n = 100 gadiem:

39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 un 0,00471.

Piemēram:

- Biežums 39,5 norāda, ka 39,5 no 100 gadiem notiek 0 lielas zemestrīces, mēs varētu teikt, ka tas ir diezgan tuvu faktiskajam 47 gadu rezultātam bez lielas zemestrīces.

Salīdzināsim citu Puasona rezultātu ar faktiskajiem rezultātiem:

- Iegūtā vērtība 36,7 nozīmē, ka 37 gadu laikā notiek 1 liela zemestrīce. Faktiskais rezultāts ir tāds, ka 31 gada laikā notika 1 liela zemestrīce, kas bija laba atbilde modelim.

- Paredzētas 17,1 gads ar 2 lielām zemestrīcēm, un ir zināms, ka 13 gadu laikā, kas ir tuva vērtība, patiešām notika 2 lielas zemestrīces.

Tāpēc Puasona modelis ir pieņemams šajā gadījumā.

2. vingrinājums

Viens uzņēmums lēš, ka to komponentu skaits, kas sabojājas pirms 100 darba stundu sasniegšanas, seko Puasona sadalījumam. Ja vidējais kļūmju skaits šajā laikā ir 8, atrodiet šādas varbūtības:

a) komponents sabojājas 25 stundās.

b) mazāk kā divu sastāvdaļu kļūme 50 stundās.

c) Vismaz trīs sastāvdaļas sabojājas 125 stundu laikā.

Risinājums)

a) Ir zināms, ka vidējais kļūmju skaits 100 stundās ir 8, tāpēc 25 stundās ir gaidāma ceturtdaļa neveiksmju, tas ir, 2 kļūmes. Tas būs μ parametrs.

Tiek pieprasīta varbūtība, ka 1 komponents neizdodas, izlases lielums ir "komponenti, kas sabojājas pirms 25 stundām", un tā vērtība ir y = 1. Aizvietojot varbūtības funkciju:

Tomēr jautājums ir par varbūtību, ka 50 stundās sabojājas mazāk nekā divi komponenti, nevis par to, ka 50 stundās sabojājas tieši 2 komponenti, tāpēc mums jāpiebilst, ka:

-Neviens neizdodas

- tikai kļūme 1

Šajā gadījumā sadalījuma parametrs μ ir:

μ = 8 + 2 = 10 atteices 125 stundās.

P (3 vai vairāk komponenti neizdodas) = ​​1- P (0) - P (1) - P (2) =

Atsauces

1. MathWorks. Puasona sadalījums. Atgūts no: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Vadības un ekonomikas statistika. 3. izdevums. Grupo Editorial Iberoamérica.
3. Stat Trek. Iemāci sev statistiku. Puasona sadalījums. Atgūts no: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Elementārā statistika. 11. Ed Pearon izglītība.
5. Wikipedia. Puasona sadalījums. Atgūts no: en.wikipedia.org