EULERA METODE: KĀDAM TAS PAREDZĒTS, PROCEDŪRA UN VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Euler metode ir visvienkāršākā un vienkāršas procedūras, ko izmanto, lai atrastu skaitliskās risinājumu aptuveno ar parasto diferenciālo vienādojumu ar pirmo rīkojumu, ar nosacījumu, ka sākotnējais stāvoklis ir zināms.

Parasts diferenciālvienādojums (ODE) ir vienādojums, kas saista viena neatkarīga mainīgā nezināmu funkciju ar tā atvasinājumiem.

Secīgas tuvināšanas ar Eulera metodi. Avots: Oļegs Aleksandrovs

Ja lielākais atvasinājums, kas parādās vienādojumā, ir pirmās pakāpes, tad tas ir parasts pirmās pakāpes diferenciālvienādojums.

Vispārīgākais veids, kā uzrakstīt pirmās pakāpes vienādojumu, ir:

x = x ₀

y = y ₀

Kāda ir Eulera metode?

Eulera metodes ideja ir atrast skaitlisku diferenciālvienādojuma risinājumu intervālā no X ₀ līdz X _f .

Pirmkārt, intervālu diskretizē n + 1 punktos:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Ko iegūst šādi:
x _i = x ₀ + ih

H ir apakšintervālu platums vai pakāpiens:

Ja ir sākotnējais nosacījums, tad sākumā ir iespējams uzzināt arī atvasinājumu:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Šis atvasinājums precīzi norāda tangentes līnijas slīpumu pret funkcijas y (x) līkni:

Ao = (x _o , y _o )

Pēc tam tiek veikts aptuvens funkcijas y (x) vērtības aprēķins šādā punktā:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Pēc tam ir iegūts nākamais aptuvenais risinājuma punkts, kas atbilst:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Procedūru atkārto, lai iegūtu secīgus punktus

A ₂ , A ₃ …, x _n

Sākumā parādītajā attēlā zilā līkne apzīmē precīzu diferenciālvienādojuma risinājumu, un sarkanais attēlo secīgus aptuvenos punktus, kas iegūti pēc Eulera procedūras.

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

I ) Ļaujiet diferenciālvienādojumam:

Ar sākotnējo nosacījumu x = a = 0; un _a = 1

Izmantojot Eulera metodi, iegūst aptuvenu y risinājumu koordinātē X = b = 0,5, sadalot intervālu n = 5 daļās.

Risinājums

Skaitliskie rezultāti ir apkopoti šādi:

No tā secina, ka Y risinājums vērtībai 0.5 ir 1,4851.

Piezīme: Lai veiktu aprēķinus, ir izmantota bezmaksas programma Smath Studio.

2. vingrinājums

II ) Turpinot diferenciālvienādojumu no I) uzdevuma, atrodiet precīzu risinājumu un salīdziniet to ar rezultātu, kas iegūts ar Eilera metodi. Atrodiet kļūdu vai atšķirību starp precīzo un aptuveno rezultātu.

Risinājums

Precīzu risinājumu nav ļoti grūti atrast. Funkcijas sin (x) atvasinājums ir zināms kā funkcija cos (x). Tāpēc risinājums y (x) būs:

y (x) = sin x + C

Lai sākotnējais nosacījums būtu izpildīts un (0) = 1, konstantei C jābūt vienādai ar 1. Pēc tam precīzu rezultātu salīdzina ar aptuveno:

Secina, ka aprēķinātajā intervālā tuvināšanai ir trīs zīmīgi precizitātes skaitļi.

3. vingrinājums

III ) Apsveriet diferenciālvienādojumu un tā sākotnējos nosacījumus, kas norādīti zemāk:

y '(x) = - y ²

Ar sākotnējo stāvokli x ₀ = 0; un ₀ = 1

Izmantojiet Eulera metodi, lai iegūtu aptuvenās šķīduma y (x) vērtības intervālā x =. Izmantojiet soli h = 0,1.

Risinājums

Eulera metode ir ļoti piemērota lietošanai ar izklājlapu. Šajā gadījumā mēs izmantosim ģeogebras izklājlapu - bezmaksas un atvērtā koda programmu.

Izklājlapā attēlā redzamas trīs kolonnas (A, B, C), pirmā ir mainīgais x, otrā kolonna apzīmē mainīgo y, bet trešā kolonna ir atvasinājums y '.

2. rinda satur sākotnējās vērtības X, Y, Y '.

Vērtības solis 0.1 ir ievietots absolūtās pozīcijas šūnā ($ D $ 4).

Sākotnējā y0 vērtība ir šūnā B2, un y1 ir šūnā B3. Y ₁ aprēķināšanai izmanto formulu:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Šī izklājlapas formula būtu skaitlis B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Līdzīgi y2 būtu šūnā B4, un tā formula ir parādīta šajā attēlā:

Attēlā parādīts arī precīzā risinājuma grafiks un punkti A, B,…, P aptuvenajam risinājumam pēc Eulera metodes.

Ņūtona dinamika un Eulera metode

Klasisko dinamiku izstrādāja Īzaks Ņūtons (1643 - 1727). Leonarda Eilera (1707 - 1783) sākotnējā motivācija izstrādāt savu metodi bija precīzi atrisināt Ņūtona otrā likuma vienādojumu dažādās fiziskās situācijās.

Ņūtona otro likumu parasti izsaka kā otrās pakāpes diferenciālvienādojumu:

Kur x apzīmē objekta stāvokli laikā t. Minētā objekta masa ir m un tas ir pakļauts spēkam F. Funkcija f ir saistīta ar spēku un masu šādi:

Lai izmantotu Eulera metodi, ir nepieciešamas laika t, ātruma v un pozīcijas x sākotnējās vērtības.

Šajā tabulā ir paskaidrots, kā, sākot no sākotnējām vērtībām t1, v1, x1, var iegūt ātruma v2 un pozīcijas x2 tuvinājumu momentā t2 = t1 + Δt, kur Δt apzīmē nelielu pieaugumu un atbilst solim metodes Eulers.

4. vingrinājums

IV ) Viena no pamatproblēmām mehānikā ir masas M bloks, kas piesaistīts elastīgās konstantes K atsperim (vai atsperei).

Ņūtona otrais šīs problēmas likums izskatīsies šādi:

Šajā piemērā vienkāršības labad ņemsim M = 1 un K = 1. Atrodiet aptuvenus risinājumus pozīcijai x un ātrumam v, izmantojot Eulera metodi laika intervālā, sadalot intervālu 12 daļās.

Par sākotnējo tūlītējo vērtību, sākotnējo ātrumu 0 un sākuma stāvokli 1 ņem 0.

Risinājums

Skaitliskie rezultāti ir parādīti šajā tabulā:

Parādīti arī pozīcijas un ātruma grafiki laikā no 0 līdz 1,44.

Ierosinātie vingrinājumi mājām

1. vingrinājums

Izmantojiet izklājlapu, lai diferenciālvienādojumam, izmantojot Eulera metodi, noteiktu aptuvenu risinājumu:

y '= - Exp (-y) ar sākotnējiem nosacījumiem x = 0, y = -1 intervālā x =

Sāciet ar 0,1 soli. Uzzīmējiet rezultātu.

2. vingrinājums

Izmantojot izklājlapu, atrodiet skaitliskus risinājumus šādam kvadrātvienādojumam, kur y ir neatkarīgā mainīgā t funkcija.

y '' = - 1 / y² ar sākotnējo stāvokli t = 0; un (0) = 0,5; y '(0) = 0

Atrodi risinājumu intervālā, izmantojot soli 0,05.

Apzīmē rezultātu: y vs t; y 'vs t

Atsauces

1. Eurlera metode Pārņemts no wikipedia.org
2. Euler risinātājs. Paņemts no en.smath.com