13 KOMPLEKTU KLASES UN PIEMĒRI - KULTŪRAS VĀRDNĪCA - 2025

Komplektu klases var iedalīt vienādās, ierobežotās un bezgalīgās, apakškopās, tukšās, nesadalītās vai disjunkcionālās, ekvivalentās, vienotās, savstarpēji pārklājamās vai pārklājošās, sakrītās un nesakristotajās, cita starpā.

Komplekts ir objektu kolekcija, taču, lai varētu saprātīgi runāt par kopām, ir nepieciešami jauni termini un simboli. Piemēram, mēs sakām, ka zirgu komplekts, reālo skaitļu komplekts, cilvēku komplekts, suņu komplekts utt.

Parastajā valodā pasaule, kurā mēs dzīvojam, ir jēga, klasificējot lietas. Spāņu valodā ir daudz vārdu šādām kolekcijām. Piemēram, "putnu ganāmpulks", "liellopu ganāmpulks", "bišu bars" un "skudru kolonija".

Matemātikā kaut kas līdzīgs tiek darīts, klasificējot skaitļus, ģeometriskos skaitļus utt. Šajās kopās esošos objektus sauc par kopu elementiem.

Komplekta apraksts

Komplektu var aprakstīt, uzskaitot visus tā elementus. Piemēram,

S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S ir kopa, kuras elementi ir 1, 3, 5, 7 un 9." Pieci komplekta elementi ir atdalīti ar komatiem un uzskaitīti iekavās.

Komplektu var arī atdalīt, kvadrātiekavās norādot tā elementu definīciju. Tādējādi iepriekšminēto kopu S var uzrakstīt arī šādi:

S = {nepāra veseli skaitļi mazāki par 10}.

Komplektam jābūt precīzi definētam. Tas nozīmē, ka kopas elementu aprakstam jābūt skaidram un nepārprotamam. Piemēram, {gari cilvēki} nav kopums, jo cilvēki mēdz nepiekrist tam, ko nozīmē "garš". Labi definēta kopas piemērs ir

T = {alfabēta burti}.

Komplektu veidi

1- vienādi komplekti

Divas kopas ir vienādas, ja tām ir tieši vienādi elementi.

Piemēram:

• Ja A = {alfabēta patskaņi} un B = {a, e, i, o, u}, tiek teikts, ka A = B.
• No otras puses, kopas {1, 3, 5} un {1, 2, 3} nav vienādas, jo tām ir dažādi elementi. Tas ir rakstīts kā {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
• Kārtībai, kādā elementi tiek rakstīti iekavās, nav nozīmes. Piemēram, {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• Ja vienums sarakstā parādās vairāk nekā vienu reizi, tas tiek ieskaitīts tikai vienu reizi. Piemēram, {a, a, b} = {a, b}.

Kopai {a, a, b} ir tikai divi elementi a un b. Otrais pieminējums ir nevajadzīgs atkārtojums, un to var ignorēt. Parasti tas tiek uzskatīts par sliktu apzīmējumu, ja elements ir uzskaitīts vairāk nekā vienu reizi.

2 - galīgās un bezgalīgās kopas

Galīgās kopas ir tās, kurās visus kopas elementus var saskaitīt vai uzskaitīt. Šeit ir divi piemēri:

• {Veseli skaitļi no 2 000 līdz 2 005} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004}
• {Veseli skaitļi no 2 000 līdz 3 000} = {2 001, 2 002, 2 003,…, 2 999}

Trīs punkti “…” otrajā piemērā apzīmē pārējos 995 ciparus komplektā. Visas preces varēja būt uzskaitītas, bet, lai ietaupītu vietu, to vietā tika izmantoti punkti. Šo apzīmējumu var izmantot tikai tad, ja ir pilnīgi skaidrs, ko tas nozīmē, kā šajā situācijā.

Komplekts var būt arī bezgalīgs - vissvarīgākais ir tas, lai tas būtu precīzi definēts. Šeit ir divi bezgalīgu kopu piemēri:

• {Pāra skaitļi un veseli skaitļi, kas ir lielāki vai vienādi ar diviem} = {2, 4, 6, 8, 10,…}
• {Vesels skaitlis lielāks par 2 000} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004,…}

Abas komplekti ir bezgalīgi, jo neatkarīgi no tā, cik daudz priekšmetu jūs mēģināt uzskaitīt, komplektā vienmēr ir vairāk priekšmetu, kurus nevar uzskaitīt, neatkarīgi no tā, cik ilgi mēģināt. Šoreiz punktiem “…” ir nedaudz atšķirīga nozīme, jo tie attēlo bezgalīgi daudz nenumurētu priekšmetu.

3- Iestata apakškopas

Apakšgrupa ir kopas daļa.

• Piemērs: pūces ir noteikts putnu tips, tāpēc katra pūce ir arī putns. Komplektu valodā to izsaka, sakot, ka pūču kopa ir putnu komplekta apakškopa.

Komplektu S sauc par citas kopas T apakškopu, ja katrs S elements ir T. elements. To raksta šādi:

• S ⊂ T (lasīt "S ir T apakškopa")

Jaunais simbols ⊂ nozīmē “ir” apakškopa. Tātad {pūces} ⊂ {putni}, jo katra pūce ir putns.

• Ja A = {2, 4, 6} un B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, tad A ⊂ B,

Jo katrs A elements ir B elements.

Simbols ⊄ nozīmē “nevis apakškopa”.

Tas nozīmē, ka vismaz viens S elements nav T. elements. Piemēram:

• {Putni} ⊄ {lidojoši radījumi}

Tā kā strauss ir putns, bet tas nelido.

• Ja A = {0, 1, 2, 3, 4} un B = {2, 3, 4, 5, 6}, tad A ⊄

Tā kā 0 ∈ A, bet 0 ∉ B, mēs lasām “0 pieder kopai A”, bet “0 nepieder kopai B”.

4 - tukšs komplekts

Simbols Ø apzīmē tukšu komplektu, kas ir komplekts, kurā vispār nav elementu. Nekas visā Visumā nav Ø elements:

• - Ø - = 0 un X ∉ Ø neatkarīgi no tā, kāds var būt X.

Ir tikai viens tukšs komplekts, jo diviem tukšiem komplektiem ir tieši vienādi elementi, tāpēc tiem jābūt savstarpēji vienādiem.

5 - Sadalīti vai disjunktīvi komplekti

Divas kopas sauc par nesavienotām, ja tām nav kopīgu elementu. Piemēram:

• Komplekti S = {2, 4, 6, 8} un T = {1, 3, 5, 7} nav savstarpēji saistīti.

6- ekvivalenti komplekti

Mēdz teikt, ka A un B ir līdzvērtīgi, ja tiem ir vienāds elementu skaits, kas tos veido, tas ir, kopas A kardinālais skaits ir vienāds ar kopas B kardinālo numuru, n (A) = n (B). Simbols, kas apzīmē ekvivalentu komplektu, ir “↔”.

• Piemēram:
  A = {1, 2, 3}, tāpēc n (A) = 3
  B = {p, q, r}, tāpēc n (B) = 3
  Tāpēc A ↔ B

7- Vienību komplekti

Tas ir komplekts, kurā ir tieši viens elements. Citiem vārdiem sakot, ir tikai viens elements, kas veido kopumu.

Piemēram:

• S = {a}
• Ļaujiet B = {ir pāra skaitlis}

Tāpēc B ir vienības komplekts, jo ir tikai viens sākotnējais skaitlis, kas ir vienmērīgs, tas ir, 2.

8- Universāls vai atsauces komplekts

Universāls komplekts ir visu objektu kolekcija noteiktā kontekstā vai teorijā. Visas pārējās kopas šajā ietvarā veido universālā komplekta apakškopas, kuras apzīmē ar slīprakstā izmantoto lielo burtu U.

Precīza U definīcija ir atkarīga no attiecīgā konteksta vai teorijas. Piemēram:

• U var definēt kā visu dzīvo lietu kopumu uz Zemes. Tādā gadījumā visu kaķu kopa ir U apakškopa, visu zivju kopa ir vēl viena U kopa.
• Ja U tiek definēts kā visu dzīvnieku kopums uz Zemes, tad visu kaķu kopa ir U apakškopa, visu zivju kopa ir vēl viena U apakškopa, bet visu koku kopa nav apakšgrupa U.

9 - Komplekti, kas pārklājas vai pārklājas

Divas kopas, kurām ir vismaz viens kopīgs elements, sauc par pārklājošām kopām.

• Piemērs: Ļaujiet X = {1, 2, 3} un Y = {3, 4, 5}

Abām kopām X un Y ir viens kopīgs elements - skaitlis 3. Tāpēc tos sauc par pārklājošām kopām.

10- kongregātu komplekti.

Tās ir tās kopas, kurās katram A elementam ir vienādas attāluma attiecības ar tā B attēla elementiem. Piemērs:

• B {2, 3, 4, 5, 6} un A {1, 2, 3, 4, 5}

Attālums starp: 2 un 1, 3 un 2, 4 un 3, 5 un 4, 6 un 5 ir viena (1) vienība, tāpēc A un B ir savstarpēji savienotas kopas.

11- nesaturīgi komplekti

Tie ir tādi, kuros nav iespējams noteikt vienādas attāluma attiecības starp katru elementu A ar tā attēlu B.

• B {2, 8, 20, 100, 500} un A {1, 2, 3, 4, 5}

Attālums starp: 2 un 1, 8 un 2, 20 un 3, 100 un 4, 500 un 5 ir atšķirīgs, tāpēc A un B ir nesaturīgas kopas.

12 - viendabīgi komplekti

Visi elementi, kas veido komplektu, pieder tai pašai kategorijai, žanram vai klasei. Tie ir viena veida. Piemērs:

• B {2, 8, 20, 100, 500}

Visi B elementi ir skaitļi, tāpēc kopu uzskata par viendabīgu.

13 - neviendabīgi komplekti

Elementi, kas ir kopas daļa, pieder dažādām kategorijām. Piemērs:

• A {z, auto, π, ēkas, bloks}

Nav kategorijas, pie kuras pieder visi kopas elementi, tāpēc tā ir neviendabīga kopa.

Atsauces

1. Brauns, P. et al (2011). Komplekti un Venna diagrammas. Melburna, Melburnas universitāte.
2. Galīgais komplekts. Atgūts no: math.tutorvista.com.
3. Hūns, L. un Hoons, T (2009). Matemātikas ieskats 5. sekundārais (parastais). Singapūra, Pearson Education South Asia Pte Ld.
4. Atgūts no: searchsecurity.techtarget.com.
5. Komplektu veidi. Atgūts no: math-only-math.com.