VIENLĪDZĪBAS ĪPAŠĪBAS - MATEMĀTIKA - 2025

Par vienlīdzības īpašības, attiecas uz attiecībām starp divām matemātiskiem objektiem, vai tie ir skaitļi vai mainīgie. To apzīmē ar simbolu "=", kas vienmēr atrodas starp šiem diviem objektiem. Šo izteiksmi izmanto, lai noteiktu, ka divi matemātiski objekti attēlo vienu un to pašu objektu; citiem vārdiem sakot, ka divi objekti ir viena un tā pati lieta.

Ir gadījumi, kad ir mazsvarīgi izmantot vienlīdzību. Piemēram, ir skaidrs, ka 2 = 2. Tomēr, runājot par mainīgajiem, tas vairs nav mazsvarīgs, un tam ir īpašs pielietojums. Piemēram, ja mums ir y = x un, no otras puses, x = 7, mēs varam secināt, ka arī y = 7.

Iepriekš minētais piemērs ir balstīts uz vienu no vienlīdzības īpašībām, kā jūs redzēsit drīz. Šīs īpašības ir būtiskas vienādojumu (vienādojumu ar mainīgiem lielumiem) risināšanai, kas veido ļoti svarīgu matemātikas daļu.

Kādas ir vienlīdzības īpašības?

Atstarojošs īpašums

Refleksijas īpašība vienlīdzības gadījumā nosaka, ka katrs skaitlis ir vienāds ar sevi un tiek izteikts kā b = b jebkuram reālam skaitlim b.

Konkrētajā vienlīdzības gadījumā šī īpašība šķiet acīmredzama, bet cita veida attiecībās starp skaitļiem tā nav. Citiem vārdiem sakot, ne visas reālā skaitļa attiecības atbilst šim īpašumam. Piemēram, šāds sakarības gadījums “mazāks par” (<); neviens skaitlis nav mazāks par sevi.

Simetrisks īpašums

Simetriskais īpašums vienlīdzībai saka, ka, ja a = b, tad b = a. Neatkarīgi no tā, kāda kārtība tiek izmantota mainīgajos, to saglabās vienlīdzības attiecības.

Noteiktu šīs īpašības analoģiju ar komutācijas īpašību var novērot pievienošanas gadījumā. Piemēram, šī īpašuma dēļ tas ir ekvivalents ar y = 4 vai 4 = y.

Pārejošs īpašums

Vienlīdzības pārejas īpašība nosaka, ka, ja a = b un b = c, tad a = c. Piemēram, 2 + 7 = 9 un 9 = 6 + 3; tāpēc caur pārejas īpašību mums ir 2 + 7 = 6 + 3.

Vienkārša lietojumprogramma ir šāda: pieņemsim, ka Džulians ir 14 gadus vecs un Mario ir tāda paša vecuma kā Rosa. Ja Rosa ir tāda paša vecuma kā Juliāns, cik vecs ir Mario?

Aiz šī scenārija divreiz tiek izmantots pārejas īpašums. Matemātiski to interpretē šādi: ļaujiet "a" būt Mario vecumam, "b" Rosa vecumam un "c" Jūlija vecumam. Ir zināms, ka b = c un ka c = 14.

Ar pārejas īpašību mums ir, ka b = 14; tas ir, Rosa ir 14 gadus veca. Tā kā a = b un b = 14, atkal izmantojot tranzīta īpašību, mums ir, ka a = 14; tas ir, Mario vecums arī ir 14 gadi.

Vienveidīgs īpašums

Vienota īpašība ir tāda, ka, ja abas vienlīdzības puses tiek pievienotas vai reizinātas ar vienādu summu, vienlīdzība tiek saglabāta. Piemēram, ja 2 = 2, tad 2 + 3 = 2 + 3, kas ir skaidrs, jo 5 = 5. Šis īpašums ir visnoderīgākais, mēģinot atrisināt vienādojumu.

Piemēram, pieņemsim, ka jums tiek lūgts atrisināt vienādojumu x-2 = 1. Ir ērti atcerēties, ka vienādojuma atrisināšana sastāv no skaidri noteikta iesaistītā mainīgā (vai mainīgo) noteikšanas, pamatojoties uz noteiktu skaitli vai iepriekš norādītu mainīgo.

Atgriežoties pie vienādojuma x-2 = 1, kas jums jādara, ir skaidri jāatrod, cik daudz x ir vērts. Lai to izdarītu, mainīgais ir jānotīra.

Kļūdaini iemācīts, ka šajā gadījumā, tā kā skaitlis 2 ir negatīvs, tas ar pozitīvu zīmi pāriet uz vienlīdzības otru pusi. Bet nav pareizi to teikt.

Būtībā tas, ko jūs darāt, ir vienotā īpašuma piemērošana, kā mēs redzēsim tālāk. Ideja ir notīrīt "x"; tas ir, atstājiet to vienādojuma vienā pusē. Pēc vienošanās to parasti atstāj kreisajā pusē.

Šim nolūkam "likvidēt" ir -2. To var izdarīt, pievienojot 2, jo -2 + 2 = 0 un x + 0 = 0. Lai to izdarītu, nemainot vienlīdzību, tā pati darbība ir jāpiemēro arī otrai pusei.

Tas ļauj mums realizēt vienveidīgo īpašību: tā kā x-2 = 1, ja skaitlis 2 tiek pievienots abās vienlīdzības pusēs, tad vienveidīgais īpašums saka, ka tas netiek mainīts. Tad mums ir tas x-2 + 2 = 1 + 2, kas ir līdzvērtīgs apgalvojumam, ka x = 3. Ar to vienādojums tiktu atrisināts.

Līdzīgi, ja vēlaties atrisināt vienādojumu (1/5) y-1 = 9, varat turpināt izmantot vienveidīgo īpašību šādi:

Vispārīgāk runājot, var izteikt šādus paziņojumus:

- Ja ab = cb, tad a = c.

- Ja xb = y, tad x = y + b.

- Ja (1 / a) z = b, tad z = a ×

- Ja (1 / c) a = (1 / c) b, tad a = b.

Īpašuma atcelšana

Atcelšanas īpašums ir vienveidīga īpašuma īpašs gadījums, īpaši ņemot vērā atņemšanas un dalīšanas gadījumu (kas būtībā atbilst arī saskaitīšanai un reizināšanai). Šis īpašums šo lietu izturas atsevišķi.

Piemēram, ja 7 + 2 = 9, tad 7 = 9-2. Vai, ja 2y = 6, tad y = 3 (dalot ar diviem no abām pusēm).

Līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā, izmantojot atcelšanas īpašumu, var izveidot šādus paziņojumus:

- Ja a + b = c + b, tad a = c.

- Ja x + b = y, tad x = yb.

- Ja az = b, tad z = b / a.

- Ja ca = cb, tad a = b.

Aizvietošanas īpašums

Ja mēs zinām matemātiskā objekta vērtību, aizstāšanas īpašība nosaka, ka šo vērtību var aizstāt ar jebkuru vienādojumu vai izteiksmi. Piemēram, ja b = 5 un a = bx, tad, aizstājot "b" vērtību otrajā vienādībā, mums ir, ka a = 5x.

Vēl viens piemērs ir šāds: ja "m" sadala "n" un arī "n" sadala "m", tad mums jābūt, ka m = n.

Patiešām, teikt, ka "m" sadala "n" (vai līdzvērtīgi, ka "m" ir "n" dalītājs), nozīmē, ka dalījums m ÷ n ir precīzs; tas ir, dalot "m" ar "n", tiek iegūts vesels skaitlis, nevis decimāls. To var izteikt, sakot, ka pastāv vesels skaitlis "k", kas m = k × n.

Tā kā "n" arī sadala "m", tad pastāv vesels skaitlis "p", kas n = p × m. Sakarā ar aizvietošanas īpašību mums ir n = p × k × n, un, lai tas notiktu, ir divas iespējas: n = 0, tādā gadījumā mums būtu identitāte 0 = 0; op × k = 1, tātad identitāte n = n.

Pieņemsim, ka “n” ir nulle. Tad obligāti p × k = 1; tāpēc p = 1 un k = 1. Vēlreiz izmantojot aizstāšanas īpašību, aizstājot k = 1 vienādībā m = k × n (vai līdzvērtīgi, p = 1 n = p × m), mēs beidzot iegūstam m = n, ko mēs gribējām pierādīt.

Varas īpašums vienlīdzībā

Tāpat kā iepriekš tika uzskatīts, ka, ja tādas operācijas kā saskaitīšana, reizināšana, atņemšana vai dalīšana tiek veikta abos vienlīdzības nosacījumos, tā tiek saglabāta, tāpat kā citas operācijas, kas nemaina vienlīdzību, var tikt izmantotas.

Galvenais ir vienmēr to veikt abās vienlīdzības pusēs un jau iepriekš pārliecināties, ka operāciju var veikt. Tāds ir pilnvarojums; tas ir, ja abas vienādojuma puses tiek paceltas uz vienu un to pašu spēku, mums joprojām ir vienlīdzība.

Piemēram, kopš 3 = 3, tātad 3 ² = 3 ² (9 = 9). Kopumā, ņemot vērā skaitli "n", ja x = y, tad x ⁿ = y ⁿ .

Saknes īpašums vienādībā

Šis ir īpašs pilnvarojuma gadījums, un to piemēro, ja jauda ir racionālais skaitlis, kas nav vesels skaitlis, piemēram, ½, kas apzīmē kvadrātsakni. Šis īpašums nosaka, ka, ja abām vienlīdzības pusēm tiek pielietota viena un tā pati sakne (kad vien iespējams), vienlīdzība tiek saglabāta.

Atšķirībā no iepriekšējā gadījuma, šeit jums jābūt uzmanīgam attiecībā uz lietojamās saknes paritāti, jo ir labi zināms, ka negatīvā skaitļa pat sakne nav precīzi definēta.

Ja radikāls ir vienmērīgs, tad problēmu nav. Piemēram, ja x ³ = -8, kaut arī tā ir vienlīdzība, nevar, piemēram, izmantot kvadrātsakni abām pusēm. Tomēr, ja jūs varat lietot kuba sakni (kas ir vēl ērtāk, ja vēlaties skaidri zināt x vērtību), tādējādi iegūstot, ka x = -2.

Atsauces

1. Ailvina, CU (2011). Loģika, komplekti un skaitļi. Mérida - Venecuēla: Publikāciju padome, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemātika 1 SEP. Slieksnis.
3. Lira, ML (1994). Sīmanis un matemātika: matemātikas teksts otrajai klasei: studenta grāmata. Andress Bello.
4. Preciado, CT (2005). Matemātikas 3. kurss. Redakcijas Progreso.
5. Segovija, BR (2012). Matemātiskas aktivitātes un spēles ar Migelu un Lūciju. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matemātikas kurss. Redakcijas Progreso.