PERMUTĀCIJAS BEZ ATKĀRTOJUMIEM: FORMULAS, PIERĀDĪJUMS, VINGRINĀJUMI, PIEMĒRI - DUDAS - 2025

Permutācija bez atkārtošanās no n elementiem ir dažādas grupas, dažādu elementu, kas var tikt iegūti no neatkārtojot nevienu elementu, tikai mainot kārtību izvietošanu elementiem.

Lai uzzinātu permutāciju skaitu bez atkārtojumiem, tiek izmantota šāda formula:

Pn = n!

Kura izvērsta būtu Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Tātad iepriekšējā praktiskajā piemērā to piemērotu šādi:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 dažādi četrciparu skaitļi.

Tie kopumā ir 24 masīvi: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Kā redzams, tas nekādā gadījumā neatkārtojas, ir 24 dažādi skaitļi.

Demonstrācija un formulas

24 4 dažādu figūru izkārtojums

Konkrētāk analizēsim 24 dažādu četrciparu masīvu piemēru, kurus var veidot ar cipariem 2468. Masīvu skaitu (24) var uzzināt šādi:

Jums ir 4 iespējas, kā izvēlēties pirmo ciparu, bet 3 izvēles iespējas ir atstāt otro. Divi cipari jau ir iestatīti, un trešā cipara izvēlei paliek 2 iespējas. Pēdējam ciparam ir tikai viena izvēles iespēja.

Tāpēc permutāciju skaitu, ko apzīmē ar P4, iegūst, atlases variantu reizinot katrā pozīcijā:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 dažādi četrciparu skaitļi

Parasti dažādu permutāciju vai izkārtojumu skaits, ko var veikt ar visiem dotajiem kopas n elementiem, ir:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Izteiciens n! to sauc par n koeficientu un tas nozīmē visu dabisko skaitļu, kas atrodas starp skaitli n un numuru vienu, ieskaitot abus, reizinājumu.

12 divu dažādu figūru izkārtojums

Tagad pieņemsim, ka vēlaties zināt permutāciju vai divciparu skaitļu skaitu, ko var izveidot ar skaitļa 2468 cipariem.

Tie kopumā būtu 12 pasākumi: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Jums ir 4 iespējas, kā atlasīt pirmo ciparu, atstājot 3 ciparus, lai izvēlētos otro. Tāpēc četru ciparu permutāciju skaitu, kas ņemti pa diviem, apzīmēti ar 4P2, iegūst, iegūstot atlases iespējas katrā pozīcijā:

4P2 = 4 * 3 = 12 dažādi divciparu skaitļi

Parasti dažādu permutāciju vai izkārtojumu skaits, ko dotajā komplektā var veikt ar n elementiem r, ir:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Iepriekš minētais izteiciens tiek sagriezts pirms spēles n !. Lai pabeigtu n! no tā mums vajadzētu rakstīt:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Faktori, kurus mēs pievienojam, savukārt, raksturo faktoru:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Tādējādi

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

No šejienes

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Piemēri

1. piemērs

Cik dažādas 5 burtu kombinācijas var veidot ar vārda KEY burtiem?

Mēs vēlamies atrast dažādu burtu kombināciju skaitu no 5 burtiem, ko var izveidot ar vārda KEY 5 burtiem; tas ir, 5 burtu masīvu skaits, kas satur visus burtus, kas ir pieejami vārdam KEY.

5 burtu vārdu skaits = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 dažādas 5 burtu burtu kombinācijas.

Tās būtu: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… kopā līdz 120 dažādām burtu kombinācijām.

2. piemērs

Jums ir 15 numurētas bumbiņas un jūs vēlaties zināt, cik daudz dažādu 3 bumbiņu grupu var izveidot ar 15 numurētām bumbiņām?

Jūs vēlaties atrast 3 bumbiņu grupu skaitu, kuras var izveidot ar 15 numurētām bumbiņām.

3 bumbiņu grupu skaits = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

3 bumbiņu grupu skaits = 15 * 14 * 13 = 2730 3 bumbiņu grupas

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Augļu veikalā ir izstāžu stends, kas sastāv no nodalījumu rindas, kas atrodas ieejas zālē uz telpām. Vienā dienā dārzenis iegādājas: apelsīnus, banānus, ananāsus, bumbierus un ābolus.

a) Cik dažādos veidos jums jāpasūta izstādes stends?

b) Cik dažādos veidos jums ir jāpasūta stends, ja papildus minētajiem augļiem (5) tajā dienā jūs saņēmāt: mango, persikus, zemenes un vīnogas (4)?

a) Mēs vēlamies atrast dažādu veidu skaitu, kā pasūtīt visus augļus displeja rindā; tas ir, 5 augļu vienību skaits, kas ietver visus augļus, kas šajā dienā ir pieejami pārdošanai.

Stendu izvietojuma skaits = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Stendu izvietojuma skaits = 120 stendu noformēšanas veidi

b) Mēs vēlamies atrast dažādu veidu skaitu, kā pasūtīt visus augļus displeja rindā, ja būtu pievienoti 4 papildu priekšmeti; tas ir, to 9 augļu vienību skaits, kurās iesaistīti visi augļi, kas šajā dienā ir pieejami pārdošanai.

Stendu izvietojuma skaits = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Stendu izvietojuma skaits = 362 880 stenda noformēšanas veidi

2. vingrinājums

Nelielā pārtikas noieta vietā ir zemes gabals, kurā ir pietiekami daudz vietas 6 transportlīdzekļu novietošanai.

a) Cik dažādus transporta veida pasūtīšanas veidus zemes gabalā var izvēlēties?

b) Pieņemsim, ka tiek iegūts blakus esošs zemes gabals, kura izmēri ļauj novietot 10 transportlīdzekļus, cik daudz dažādu transporta līdzekļu izvietojuma veidu tagad var izvēlēties?

a) Mēs vēlamies atrast dažādu veidu pasūtīšanas veidus 6 transportlīdzekļiem, kurus var izvietot zemes gabalā.

6 transportlīdzekļu izkārtojumu skaits = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

6 transportlīdzekļu izvietojumu skaits = 720 dažādu veidu, kā pasūtīt 6 transportlīdzekļus zemes gabalā.

b) Mēs vēlamies atrast dažādu veidu pasūtīšanas veidus 10 transportlīdzekļiem, kurus var izvietot zemes gabalā pēc zemes gabala paplašināšanas.

10 transportlīdzekļu izvietojuma skaits = P10 = 10!

Transportlīdzekļa izvietojuma skaits = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

10 transportlīdzekļu izkārtojumu skaits = 3628800 dažādu veidu, kā pasūtīt 10 transporta līdzekļus zemes gabalā.

3. vingrinājums

Floristam ir 6 dažādu krāsu ziedi, lai izgatavotu ziedu karogus ar valstīm, kurām ir tikai 3 krāsas. Ja ir zināms, ka karogos ir svarīga krāsu secība,

a) Cik dažādu karodziņu no 3 krāsām var izgatavot ar 6 pieejamajām krāsām?

b) Pārdevējs nopērk 2 papildu krāsu ziedus tiem 6, kas viņam jau bija, tagad cik daudz dažādu karogu var izgatavot 3 krāsās?

c) Tā kā jums ir 8 krāsas, jūs nolemjat paplašināt savu karodziņu klāstu. Cik daudz dažādu četrkrāsu karodziņu jūs varat izgatavot?

d) Cik no 2 krāsām?

a) Mēs vēlamies atrast dažādu krāsu 3 krāsu karogu skaitu, ko var izgatavot, izvēloties no 6 pieejamajām krāsām.

Trīs krāsu karogu skaits = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Trīs krāsu karogu skaits = 6 * 5 * 4 = 120 karodziņu

b) Jūs vēlaties atrast dažādu krāsu 3 krāsu karogu skaitu, ko var izgatavot, izvēloties no 8 pieejamajām krāsām.

Trīs krāsu karogu skaits = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Trīs krāsu karogu skaits = 8 * 7 * 6 = 336 karogi

c) Jāaprēķina dažādu četrkrāsu karodziņu skaits, ko var izgatavot, izvēloties no 8 pieejamajām krāsām.

4 krāsu karogu skaits = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

4 krāsu karogu skaits = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 karodziņu

d) Jūs vēlaties noteikt dažādu 2 krāsu karodziņu skaitu, ko var izgatavot, izvēloties no 8 pieejamajām krāsām.

2 krāsu karogu skaits = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Divkrāsu karogu skaits = 8 * 7 = 56 karodziņi

Atsauces

1. Boada, A. (2017). Permutācijas ar atkārtošanu izmantošana kā eksperimentu mācīšana. Žurnāls Vivat Academia. Atgūts no researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Varbūtība un statistika. Pielietojumi un metodes. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Stikls, G .; Stenlijs, J. (1996). Sociālajās zinātnēs neizmantojamās statistiskās metodes. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistika. Ceturtais ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Jā, Ka. (2007). Varbūtība un statistika inženieriem un zinātniekiem. Astotais ed. Pearson Education Starptautiskā Prentice zāle.
6. Vebsters, A. (2000). Uzņēmējdarbībai un ekonomikai piemērotā statistika. Trešais ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019. gads). Permutācija. Atgūts no vietnes en.wikipedia.org.