APĻVEIDA PERMUTĀCIJAS: PIERĀDĪJUMS, PIEMĒRI, ATRISINĀTI VINGRINĀJUMI - DUDAS - 2025

Ar apļveida permutācijas ir dažādu veidu grupām visu kopumu elementiem, ja tie ir tiks sakārtoti aprindās. Šāda veida permutācijas gadījumā kārtība ir svarīga, un elementi netiek atkārtoti.

Piemēram, pieņemsim, ka vēlaties uzzināt atšķirīgu ciparu masīvu skaitu no viena līdz četriem, novietojot katru numuru vienā no romba virsotnēm. Tie kopumā būtu 6 pasākumi:

Nevajag jaukt to, ka numur viens vienmēr ir romba augšējā stāvoklī visos gadījumos kā fiksēts. Apļveida permutācijas nemaina masīva rotācija. Šīs ir vienas vai tās pašas permutācijas:

Demonstrācija un formulas

Dažādu četrciparu riņķveida bloku, kas atrodas romba virsotnēs, masīvu skaitu (6) var atrast šādi:

1- Jebkurš no četriem cipariem tiek ņemts par sākumpunktu jebkurā virsotnē un virzās uz nākamo virsotni. (nav svarīgi, vai to pagriež pulksteņrādītāja virzienā vai pretēji tam)

2 - Ir atlikušas 3 iespējas, lai atlasītu otro virsotni, tad ir 2 iespējas, lai atlasītu trešo virsotni, un, protams, ir tikai viena izvēles iespēja ceturtajai virsotnei.

3- Tādējādi apļveida permutāciju skaitu, kas apzīmēts ar (4 - 1) P (4 - 1), iegūst, iegūstot atlases iespēju katrā pozīcijā:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 dažādi četrciparu apļveida bloki.

Parasti apļveida permutāciju skaits, ko var sasniegt ar visiem komplekta n elementiem, ir:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Ņemiet vērā, ka (n - 1)! To sauc par n koeficientu un saīsina visu skaitļu reizinājumu no skaitļa (n - 1) līdz skaitlim viens (ieskaitot).

Piemēri

1. piemērs

Cik dažādos veidos 6 cilvēkiem jāsēž pie apaļa galda?

Jūs vēlaties atrast dažādu veidu skaitu, kā 6 cilvēki var sēdēt ap apaļo galdu.

Sēdēšanas veidu skaits = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Sēdēšanas veidu skaits = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 dažādi veidi

2. piemērs

Cik dažādos veidos 5 cilvēkiem jāatrodas pie piecstūra virsotnēm?

Tiek meklēti veidi, kā 5 cilvēki var atrasties katrā no piecstūra virsotnēm.

Izvietošanas veidu skaits = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Izvietojumu skaits = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 dažādi veidi

Atrisināti vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Juvelieris iegādājas 12 dažādus dārgakmeņus, lai tos novietotu pulksteņa stundās, kuras viņš gatavo kādas Eiropas valsts karaļa nama vārdā.

a) Cik dažādos veidos viņam ir jāsakārto akmeņi pulkstenī?

b) Cik dažādu formu tam ir, ja akmens, kas iet pulksten 12, ir unikāls?

c) cik daudz dažādu formu, ja pulksten 12 akmens ir unikāls, un pārējo trīs kardinālo punktu akmeņi, pulksten 3, 6 un 9; Vai ir trīs konkrēti akmeņi, kurus var apmainīt, un atlikušās stundas tiek atvēlētas no pārējiem akmeņiem?

Risinājumi

a) tiek prasīts visu veidu, kā visus akmeņus sakārtot uz pulksteņa apkārtmēru; tas ir, apļveida izkārtojumu skaits, kurā ir iesaistīti visi pieejamie akmeņi.

Izkārtojumu skaits pulkstenī = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Labojumu skaits pulkstenī = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Izkārtojumu skaits pulkstenī = 39976800 dažādas formas

b) viņš domā, cik daudz dažādu pasūtīšanas veidu pastāv, zinot, ka akmens uz pulksteņa 12 roktura ir unikāls un fiksēts; tas ir, apļveida izkārtojumu skaits, iesaistot atlikušos 11 akmeņus.

Izkārtojumu skaits pulkstenī = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Labojumu skaits pulkstenī = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Izkārtojumu skaits pulkstenī = 3,628,800 dažādas formas

c) visbeidzot, tiek meklēts visu akmeņu pasūtīšanas paņēmienu skaits, izņemot noteikto pulksten 12, kas ir fiksēts, 3, 6 un 9 akmeņus, kuriem ir 3 akmeņi, kas jāpiešķir viens otram; tas ir, 3! izvietojuma iespējas un apļveida izkārtojumu skaits, iekļaujot atlikušos 8 akmeņus.

Labojumu skaits pulkstenī = 3! * = 3! * (8–1)!

Izkārtojumu skaits pulkstenī = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Izkārtojumu skaits pulkstenī = 241920 dažādas formas

- 2. vingrinājums

Uzņēmuma vadības komitejā ir 8 locekļi, un viņi tiekas pie ovāla galda.

a) Cik dažādu komiteju formu ir pie galda?

b) Pieņemsim, ka priekšsēdētājs sēž pie galda galvas jebkurā komitejas sēdē, cik dažādu formu ir pārējai komitejai?

c) Pieņemsim, ka viceprezidents un sekretārs sēž abās prezidenta pusēs jebkurā komitejas sēdē. Cik dažādu formu ir pārējai komitejai?

Risinājumi

a) Mēs vēlamies atrast dažādus veidus, kā sakārtot 12 komitejas locekļus ap ovālu galdu.

Komitejas sēžu skaits = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Komitejas sēžu skaits = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Komitejas sanāksmju skaits = 39976800 dažādas formas

b) Tā kā komitejas priekšsēdētājs atrodas fiksētā stāvoklī, tiek meklēts, kā atlikušos 11 komitejas locekļus ap ovālo galdu pasūtīt.

Komitejas sēžu skaits = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Komitejas sēžu skaits = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Komitejas sanāksmju skaits = 3 628 800 dažādas formas

c) Prezidents atrodas fiksētā stāvoklī, un uz sāniem ir viceprezidents un sekretārs ar divām izkārtojuma iespējām: viceprezidents labajā pusē un sekretārs kreisajā pusē vai viceprezidents kreisajā pusē un sekretārs labajā pusē. Tad jūs vēlaties atrast dažādu veidu skaitu, kā sakārtot atlikušos 9 komitejas locekļus ap ovālu galdu un reizināt ar 2 vienošanās veidiem, kādi ir viceprezidentam un sekretāram.

Komitejas sēžu skaits = 2 * = 2 *

Komitejas sēžu skaits = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Komitejas sanāksmju skaits = 80640 dažādas formas

Atsauces

1. Boada, A. (2017). Permutācijas ar atkārtošanu izmantošana kā eksperimentu mācīšana. Žurnāls Vivat Academia. Atgūts no researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Varbūtība un statistika. Pielietojumi un metodes. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Stikls, G .; Stenlijs, J. (1996). Sociālajās zinātnēs neizmantojamās statistiskās metodes. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistika. Ceturtais ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Jā, Ka. (2007). Varbūtība un statistika inženieriem un zinātniekiem. Astotais ed. Pearson Education Starptautiskā Prentice zāle.
6. Vebsters, A. (2000). Uzņēmējdarbībai un ekonomikai piemērotā statistika. Trešais ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019. gads). Permutācija. Atgūts no vietnes en.wikipedia.org.