- Kombinatori
- Demonstrācija
- Piemēri
- 1. identitāte
- 2. identitāte
- Vēl viena demonstrācija
- Indukcijas pierādījums
- Ziņkārības
- Atsauces
Ņūtona binoms ir vienādojums, kas stāsta mums, kā attīstīt izpausmi veidlapas (A + B) n kādu dabīgo numuru n. Binoms nav nekas vairāk kā divu elementu summa, piemēram, (a + b). Tas arī ļauj mums uz k b n-k norādīto terminu zināt, kāds ir pavadošais koeficients.
Šī teorēma parasti tiek piedēvēta angļu izgudrotājam, fiziķim un matemātiķim Seram Īzakam Ņūtonam; Tomēr ir atrasti dažādi ieraksti, kas norāda, ka tā pastāvēšana bija zināma jau Tuvajos Austrumos, ap 1000. gadu.
Kombinatori
Binomālā teorēma matemātiski pasaka sekojošo:
Šajā izteiksmē a un b ir reālie skaitļi, un n ir naturālais skaitlis.
Pirms demonstrācijas demonstrēšanas apskatīsim dažus nepieciešamos pamatjēdzienus.
Kombinatorisko skaitu vai n kombinācijas k izsaka šādi:
Šī forma izsaka vērtību, cik daudz apakšgrupas ar k elementiem var izvēlēties no n elementu kopas. Tās algebrisko izteiksmi piešķir:
Apskatīsim piemēru: pieņemsim, ka mums ir septiņu bumbiņu grupa, no kurām divas ir sarkanas, bet pārējās - zilas.
Mēs vēlamies zināt, cik daudzos veidos mēs varam tos sakārtot pēc kārtas. Viens veids varētu būt divu sarkano novietošana pirmajā un otrajā pozīcijā, bet pārējās bumbiņas - atlikušajās pozīcijās.
Līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā sarkanajām bumbiņām mēs varētu dot attiecīgi pirmo un pēdējo pozīciju, bet pārējās aizņemt ar zilajām bumbiņām.
Tagad efektīvs veids, kā saskaitīt bumbiņas pēc kārtas, ir kombinētais skaitlis. Katru pozīciju mēs varam redzēt kā šādas kopas elementu:
Tad atliek tikai izvēlēties divu elementu apakškopu, kurā katrs no šiem elementiem apzīmē stāvokli, kuru ieņems sarkanās bumbiņas. Mēs varam izdarīt šo izvēli atbilstoši attiecībām, kuras sniedza:
Tādā veidā mums ir 21 veids, kā pasūtīt šīs bumbiņas.
Šī piemēra vispārējā ideja būs ļoti noderīga, lai pierādītu binomālo teorēmu. Apskatīsim konkrētu gadījumu: ja n = 4, mums ir (a + b) 4 , kas ir nekas vairāk kā:
Izstrādājot šo produktu, mums paliek to nosacījumu summa, kas iegūti, reizinot vienu elementu no četriem faktoriem (a + b). Tādējādi mums būs šādi formu veidi:
Ja mēs gribētu iegūt terminu formā 4 , mums vienkārši jāreizina šādi:
Ņemiet vērā, ka ir tikai viens veids, kā iegūt šo elementu; bet kas notiek, ja mēs tagad meklējam formas a 2 b 2 apzīmējumu ? Tā kā "a" un "b" ir reāli skaitļi un tāpēc tiek piemērots komutācijas likums, mums ir viens veids, kā iegūt šo terminu, reizināt ar locekļiem, kā norādīts ar bultiņām.
Visu šo operāciju veikšana parasti ir nedaudz nogurdinoša, bet, ja mēs redzam terminu "a" kā kombināciju, kurā mēs vēlamies zināt, cik daudzos veidos mēs varam izvēlēties divus "a" no četru faktoru kopuma, mēs varam izmantot iepriekšējā piemēra ideju. Tātad, mums ir šādi:
Tādējādi mēs zinām, ka izteiksmes (a + b) 4 galīgajā paplašinājumā mums būs tieši 6a 2 b 2 . Izmantojot to pašu ideju citiem elementiem, jums:
Tad mēs pievienojam iepriekš iegūtos izteicienus, un mums ir šāds:
Tas ir formāls pierādījums vispārējam gadījumam, kad "n" ir jebkurš naturāls skaitlis.
Demonstrācija
Jāņem vērā, ka kreisās puses paplašinot termini (A + B) n ir no pievienotās veidlapas k b n-k , kur k = 0,1, …, n. Izmantojot iepriekšējā piemēra ideju, mums ir veids, kā izvēlēties «k» mainīgos lielumus «k» no «n» faktoriem:
Šādi izvēloties, mēs automātiski izvēlamies nk mainīgos lielumus "b". No tā izriet, ka:
Piemēri
Ņemot vērā (a + b) 5 , kāda būtu tā attīstība?
Pēc binomālās teorēmas mums ir:
Binomālā teorēma ir ļoti noderīga, ja mums ir izteiciens, kurā mēs vēlamies zināt, kāds ir konkrēta termina koeficients, neveicot pilnīgu paplašināšanu. Kā piemēru mēs varam ņemt šādu nezināmo: kāds ir koeficients x 7 un 9 , paplašinot (x + y) 16 ?
Pēc binomālās teorēmas koeficients ir šāds:
Vēl viens piemērs varētu būt šāds: kāds ir x 5 un 8 koeficients (3x-7y) 13 izplešanās gadījumā ?
Vispirms izteiksmi pārrakstām ērtā veidā; tas ir:
Tad, izmantojot binomālo teorēmu, tiek iegūts, ka meklētais koeficients ir tad, kad mums ir k = 5
Vēl viens šīs teorēmas pielietošanas piemērs ir dažu kopīgu identitāšu pierādījumos, piemēram, tādu, kurus mēs pieminēsim tālāk.
1. identitāte
Ja «n» ir naturāls skaitlis, mums ir:
Lai pierādītu, mēs izmantojam binomālo teorēmu, kur gan "a", gan "b" ir vērtība 1. Tad mums ir:
Tādā veidā mēs esam pierādījuši pirmo identitāti.
2. identitāte
Ja "n" ir naturāls skaitlis, tad
Pēc binomālās teorēmas mums ir:
Vēl viena demonstrācija
Mēs varam veikt atšķirīgu binomālās teorēmas pierādījumu, izmantojot induktīvo metodi un Paskāla identitāti, kas mums saka, ka, ja «n» un «k» ir pozitīvi veseli skaitļi, kas atbilst n ≥ k, tad:
Indukcijas pierādījums
Vispirms redzēsim, ka induktīvā bāze turas. Ja n = 1, mums ir:
Patiešām, mēs redzam, ka tas ir izpildīts. Tagad pieņemsim, ka n = j ir šāds:
Mēs vēlamies redzēt, ka n = j + 1 ir taisnība, ka:
Tāpēc mums:
Pēc hipotēzes mēs zinām, ka:
Pēc tam, izmantojot izplatīšanas īpašumu:
Pēc tam, izstrādājot katru no summēšanām, mums ir:
Tagad, ja mēs ērti sagrupējamies, mums ir:
Izmantojot paskāla identitāti, mums ir:
Visbeidzot, ņemiet vērā, ka:
Tāpēc mēs redzam, ka binomārā teorēma attiecas uz visiem "n", kas pieder pie dabiskajiem skaitļiem, un ar to pierādījums beidzas.
Ziņkārības
Kombinatorisko skaitli (nk) sauc arī par binomiālo koeficientu, jo tieši koeficients parādās, veidojot binominālu (a + b) n .
Īzaks Ņūtons sniedza šīs teorēmas vispārinājumu gadījumam, kurā eksponents ir reāls skaitlis; Šī teorēma ir pazīstama kā Ņūtona binomālā teorēma.
Jau senatnē šis rezultāts bija zināms par konkrēto gadījumu, kad n = 2. Šis gadījums ir minēts Eiklida elementos.
Atsauces
- Džonsonsbērns Ričards. Diskrētā matemātika. PHH
- Kenneth.H. Roze.Diskrētā matemātika un tās pielietojumi. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Seimūrs Lipschutz Ph.D un Marc Lipson. Diskrētā matemātika. Makgrevs-Hils.
- Ralfs P. Grimaldi. Diskrētā un kombinatoriskā matemātika. Addison-Wesley Iberoamericana
- Zaļā zvaigzne Luiss. . Diskrētā un kombinatoriskā matemātika Anthropos