PAPILDU LEŅĶI: KĀDI TIE IR, APRĒĶINS, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Divi vai vairāk ir papildu leņķi, ja to mērījumu summa atbilst taisna leņķa izmēram. Taisna leņķa lielums, ko sauc arī par plaknes leņķi, grādos ir 180 °, un radiānos tas ir π.

Piemēram, mēs redzam, ka trīsstūra trīs iekšējie leņķi ir papildinoši, jo to mērījumu summa ir 180º. Trīs leņķi parādīti 1. attēlā. No visa iepriekš teiktā izriet, ka α un β ir papildinoši, jo tie atrodas blakus un to summa aizpilda taisnu leņķi.

1. attēls: α un β ir papildinājumi. α un γ ir papildinājumi. Avots: F. Zapata.

Tajā pašā attēlā mums ir arī leņķi α un γ, kas arī ir papildinoši, jo to mērījumu summa ir vienāda ar plaknes leņķa izmēru, tas ir, 180º. Nevar apgalvot, ka leņķi β un γ ir papildinoši, jo, tā kā abi leņķi ir izteikti, to izmēri ir lielāki par 90 ° un tāpēc to summa pārsniedz 180 °.

Avots: lifeder.com

Tā vietā var apgalvot, ka leņķa β lielums ir vienāds ar leņķa γ izmēru, jo, ja β papildina α un γ papildina α, tad β = γ = 135º.

Piemēri

Turpmākajos piemēros tiek lūgts atrast nezināmos leņķus, kas ar jautājuma zīmēm norādīti 2. attēlā. Tie svārstās no vienkāršākajiem piemēriem līdz dažiem, kas ir nedaudz sarežģītāki, lai lasītājam būtu jābūt uzmanīgākam.

2. attēls. Vairāki izstrādāti papildu leņķu piemēri. Avots: F. Zapata.

A piemērs

Attēlā redzam, ka blakus esošie leņķi α un 35º veido plaknes leņķi. Tas ir, α + 35º = 180º, un tāpēc ir taisnība, ka: α = 180º- 35º = 145º.

B piemērs

Tā kā β papildina 50 ° leņķi, tad no tā izriet, ka β = 180 ° - 50 ° = 130 °.

C piemērs

No 2.C attēla var novērot šādu summu: γ + 90º + 15º = 180º. Tas ir, γ papildina leņķi 105º = 90º + 15º. Tad tiek secināts, ka:

γ = 180º- 105º = 75º

D piemērs

Tā kā X ir papildinājums 72º, no tā izriet, ka X = 180º - 72º = 108º. Turklāt Y ir papildinājums ar X, tātad Y = 180º - 108º = 72º.

Un visbeidzot Z ir papildinājums ar 72º, tāpēc Z = 180º - 72º = 108º.

E piemērs

Leņķi δ un 2δ ir papildinoši, tāpēc δ + 2δ = 180º. Kas nozīmē, ka 3δ = 180º, un tas, savukārt, ļauj mums uzrakstīt: δ = 180º / 3 = 60º.

F piemērs

Ja mēs saucam leņķi starp 100º un 50º U, tad U ir abiem papildinājums, jo tiek novērots, ka to summa aizpilda plaknes leņķi.

Tieši no tā izriet, ka U = 150º. Tā kā U ir ar virsotni pretī W, tad W = U = 150º.

Vingrinājumi

Turpmāk tiek piedāvāti trīs vingrinājumi, un visos tajos jāatrod leņķu A un B vērtība grādos, lai būtu izpildītas 3. attēlā parādītās attiecības. Visu to risināšanā tiek izmantots papildu leņķu jēdziens.

3. attēls. I, II un III vingrinājuma papildu leņķu risināšanas attēls. Visi leņķi ir grādos. Avots: F. Zapata.

- I vingrinājums

Nosakiet 3. attēla leņķu A un B vērtības no I daļas).

Risinājums

A un B ir papildinājumi, no kuriem mums izriet, ka A + B = 180 grādi, tad A un B izteiksme tiek aizstāta kā x funkcija, kā parādīts attēlā:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Tiek iegūts pirmās kārtas lineārais vienādojums. Lai to atrisinātu, termini ir sagrupēti zemāk:

6 x + 60 = 180

Sadalot abus biedrus ar 6, mums ir:

x + 10 = 30

Un, beidzot atrisinot, izriet, ka x ir 20º vērts.

Tagad mums ir jāpievieno x vērtība, lai atrastu pieprasītos leņķus. Tādējādi leņķis A ir: A = 20 +15 = 35º.

Un savukārt leņķis B ir B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- II vingrinājums

Atrodiet leņķu A un B vērtības no 3. daļas II daļas).

Risinājums

Tā kā A un B ir papildu leņķi, mums ir A + B = 180 grādi. Aizstājot A un B izteiksmi kā x funkciju, kas dota 3. attēla II daļā, mums ir:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Atkal tiek iegūts pirmās pakāpes vienādojums, kuram vārdi ir ērti jāsagrupē:

6 x + 60 = 180

Sadalot abus biedrus ar 6, mums ir:

x + 10 = 30

No tā izriet, ka x ir 20º vērts.

Citiem vārdiem sakot, leņķis A = -2 * 20 + 90 = 50º. Kamēr leņķis B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- III vingrinājums

Nosaka 3. attēla leņķu A un B vērtības no III daļas) (zaļā krāsā).

Risinājums

Tā kā A un B ir papildu leņķi, mums ir A + B = 180 grādi. A un B izteiksme ir jāaizstāj ar 3. funkcijas doto x funkciju, no kuras mums ir:

(5x – 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Sadalot abus locekļus ar 12, lai atrisinātu x vērtību, mums ir:

x + 5 = 15

Visbeidzot tiek atklāts, ka x vērtība ir 10 grādi.

Tagad mēs aizstājam, lai atrastu leņķi A: A = 5 * 10 -20 = 30º. Un leņķim B: B = 7 * 10 + 80 = 150º

Papildu leņķi divās paralēlēs, kuras sagriež secants

4. attēls. Leņķi starp divām paralēlēm, kuras sagriež secants. Avots: F. Zapata.

Divas paralēlas līnijas, kuras sagriež secants, dažās problēmās ir izplatīta ģeometriska konstrukcija. Starp šādām līnijām tiek izveidoti 8 leņķi, kā parādīts 4. attēlā.

No šiem 8 leņķiem daži leņķu pāri ir papildinājumi, kurus mēs uzskaitām zemāk:

1. Ārējie leņķi A un B un ārējie leņķi G un H
2. Iekšējie leņķi D un C, kā arī iekšējie leņķi E un F
3. Ārējie leņķi A un G un ārējie leņķi B un H
4. Iekšējie leņķi D un E, kā arī iekšējie leņķi C un F

Pilnības labad tiek nosaukti arī leņķi, kas ir vienādi viens ar otru:

1. Iekšējie pārmaiņus: D = F un C = E
2. Ārējie aizstājēji: A = H un B = G
3. Atbilstošās: A = E un C = H
4. Pretstati ar virsotnēm A = C un E = H
5. Atbilstošās: B = F un D = G
6. Vertex pretstati B = D un F = G

- IV vingrinājums

Atsaucoties uz 4. attēlu, kurā parādīti leņķi starp divām paralēlām līnijām, ko sagriež secents, nosaka visu leņķu vērtību radiānos, zinot, ka leņķis A = π / 6 radiāni.

Risinājums

A un B ir papildu ārējie leņķi, tāpēc B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

Atsauces

1. Baldor, JA 1973. Plakne un kosmosa ģeometrija. Centrālamerikas kultūras.
2. Matemātiskie likumi un formulas. Leņķa mērīšanas sistēmas. Atgūts no: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane ģeometrija. Atgūts no: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Papildu leņķi. Atgūts no: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Konveijers. Atgūts no: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: vēsture, daļas, darbība. Atgūts no: lifeder.com