PAPILDINOŠIE LEŅĶI: KURI UN KĀ TIEK APRĒĶINĀTI, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Divi vai vairāki leņķi ir savstarpēji papildinoši leņķi, ja to mērījumu summa atbilst taisnā leņķim. Kā zināms, taisnā leņķa mērs grādos ir 90º, un radiānos tas ir π / 2.

Piemēram, divi leņķi, kas atrodas blakus taisna trīsstūra hipotenūzei, ir savstarpēji papildinoši, jo to mērījumu summa ir 90º. Šis skaitlis šajā sakarā ir ļoti ilustratīvs:

1. attēls. Kreisajā pusē vairāki leņķi ar kopēju virsotni. Pa labi - 60 ° leņķis, kas papildina leņķi α (alfa). Avots: F. Zapata.

Kopumā četri leņķi ir parādīti 1. attēlā. α un β ir savstarpēji papildinoši, jo tie atrodas blakus un to summa aizpilda taisnu leņķi. Līdzīgi β papildina γ, no kā izriet, ka γ un α ir vienādi.

Tā kā α un δ summa ir vienāda ar 90 grādiem, var apgalvot, ka α un δ ir savstarpēji papildinoši. Turklāt, tā kā β un δ ir vienādi komplementāri α, var teikt, ka β un δ ir vienāds izmērs.

Papildinošo leņķu piemēri

Šajos piemēros tiek lūgts atrast nezināmus leņķus, kas 2. attēlā apzīmēti ar jautājuma zīmēm.

2. attēls. Dažādi papildinošu leņķu piemēri. Avots: F. Zapata.

- A, B un C piemēri

Šie piemēri ir sakārtoti sarežģītības secībā.

A piemērs

Iepriekš redzamajā attēlā ir redzams, ka blakus esošie leņķi α un 40 ° veido taisnleņķi. Tas ir, α + 40º = 90º, tāpēc α = 90º- 40º = 50º.

B piemērs

Tā kā β papildina 35º leņķi, tad β = 90º - 35º = 55º.

C piemērs

No attēla 2C redzams, ka γ + 15º + 15º = 90º summa. Citiem vārdiem sakot, γ papildina leņķi 30º = 15º + 15º. Tātad:

γ = 90º - 30º = 60º

- D, E un F piemēri

Šajos piemēros ir iesaistīti vairāk leņķi. Lai atrastu nezināmos, lasītājam tik bieži, cik nepieciešams, jāpiemēro papildinošā leņķa jēdziens.

D piemērs

Tā kā X ir papildinājums 72º, no tā izriet, ka X = 90º - 72º = 18º. Turklāt Y papildina X, tātad Y = 90º - 18º = 72º.

Visbeidzot, Z papildina Y. No visa iepriekšminētā izriet, ka:

Z = 90º - 72º = 18º

E piemērs

Leņķi δ un 2δ ir savstarpēji papildinoši, tāpēc δ + 2δ = 90º.

Tas ir, 3δ = 90º, kas nozīmē, ka δ = 90º / 3 = 30º.

F piemērs

Ja mēs U saucam par leņķi starp ω un 10º, tad U ir abiem papildinājums, jo tiek novērots, ka to summa aizpilda taisnu leņķi. No tā izriet, ka U = 80º. Tā kā U papildina ω, tad ω = 10º.

Vingrinājumi

Zemāk ir ierosināti trīs vingrinājumi. Visās no tām jāatrod leņķu A un B vērtība grādos, lai būtu izpildītas 3. attēlā parādītās attiecības.

3. attēls. Papildu leņķa vingrinājumu ilustrācijas. Avots: F. Zapata.

- 1. vingrinājums

Nosakiet 3. attēla leņķu A un B vērtības no I daļas).

Risinājums

No parādītā attēla redzams, ka A un B ir savstarpēji papildinoši, tāpēc A + B = 90º. Mēs aizstājam izteicienu A un B kā x funkciju, kas dota I daļā):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Pēc tam termini tiek attiecīgi sagrupēti un tiek iegūts vienkāršs lineārs vienādojums:

(5x / 2) + 22 = 90

Atņemot 22 no abiem dalībniekiem, mums ir:

5x / 2 = 90 -22 = 68

Visbeidzot tiek noskaidrota x vērtība:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Tagad leņķi A atrod, aizstājot X vērtību:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

Kamēr leņķis B ir:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347/5 = 69,4º.

- 2. vingrinājums

Atrodiet II attēla leņķu A un B vērtības, 3. attēls.

Risinājums

Atkal, tā kā A un B ir savstarpēji papildināti leņķi, no tā izriet, ka: A + B = 90 °. Aizstājot A un B izteiksmi kā x funkciju, kas dota 3. attēla II daļā, mums ir:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Līdzīgi termini ir sagrupēti, lai iegūtu vienādojumu:

6 x + 30 = 90

Sadalot abus biedrus ar 6, iegūsit:

x + 5 = 15

No tā izriet, ka x = 10º.

Tādējādi:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- 3. vingrinājums

Nosakiet 3. attēla A un B leņķa vērtības no III daļas).

Risinājums

Atkal figūru rūpīgi analizē, lai atrastu papildinošos leņķus. Šajā gadījumā mums ir A + B = 90 grādi. Aizstājot attēlā doto izteiksmi A un B kā x funkciju, mums ir:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Sadalot abus biedrus ar 3, iegūst šādu rezultātu:

x + 10 = 30

No tā izriet, ka x = 20º.

Citiem vārdiem sakot, leņķis A = -20 +45 = 25º. Un no savas puses: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Perpendikulāri sānu leņķi

Diviem leņķiem ir perpendikulāras malas, ja abām pusēm ir atbilstošs perpendikulārs otrai. Šis attēls skaidro jēdzienu:

4. attēls. Perpendikulāru malu leņķi. Avots: F. Zapata.

Piemēram, 4. attēlā tiek novēroti leņķi α un θ. Tagad ievērojiet, ka katram leņķim ir atbilstošs perpendikulārs otram leņķim.

Ir arī redzams, ka α un θ ir vienāds papildinošais leņķis z, tāpēc novērotājs tūlīt secina, ka α un θ ir vienāds izmērs. Šķiet, ka tad, ja diviem leņķiem ir malas, kas ir perpendikulāras viena otrai, tās ir vienādas, bet apskatīsim citu gadījumu.

Tagad ņem vērā leņķus α un ω. Šiem abiem leņķiem ir arī atbilstošas ​​perpendikulāras malas, tomēr nevar apgalvot, ka tiem ir vienāds izmērs, jo viens ir akūts, bet otrs ir izteikts.

Ņemiet vērā, ka ω + θ = 180º. Turklāt θ = α. Ja jūs aizvietojat šo izteiksmi ar z pirmajā iegūtajā vienādojumā:

δ + α = 180º, kur δ un α ir savstarpēji perpendikulāri sānu leņķiem.

Vispārīgs noteikums perpendikulāru sāniem

1. Baldor, JA 1973. Plaknes un kosmosa ģeometrija. Centrālamerikas kultūras.
2. Matemātiskie likumi un formulas. Leņķa mērīšanas sistēmas. Atgūts no: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane ģeometrija. Atgūts no: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Papildinošie leņķi. Atgūts no: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Konveijers. Atgūts no: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: vēsture, daļas, darbība. Atgūts no: lifeder.com