NULLE LEŅĶIS: DEFINĪCIJA UN RAKSTUROJUMS, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Null leņķis ir viens, kuru pasākums ir 0, gan grādos un radiānos vai citā sistēmā leņķa mērījumiem. Tāpēc tai nav platuma vai atveres, tāpat kā starp divām paralēlām līnijām.

Lai arī tā definīcija izklausās pietiekami vienkārša, nulles leņķis ir ļoti noderīgs daudzos fizikas un inženierzinātņu pielietojumos, kā arī navigācijā un dizainā.

1. attēls. Starp automašīnas ātrumu un paātrinājumu ir nulles leņķis, tāpēc automašīna brauc arvien ātrāk. Avots: Wikimedia Commons.

Ir fiziski lielumi, kas jāsaskaņo paralēli, lai sasniegtu noteiktus efektus: ja automašīna pārvietojas taisnā līnijā pa šoseju un starp tā ātruma vektoru v un tā paātrinājuma vektoru a ir 0 °, automašīna pārvietojas ātrāk un ātrāk, bet, ja automašīna bremzes, tā paātrinājums ir pretējs ātrumam (sk. 1. attēlu).

Šajā attēlā parādīti dažādi leņķu veidi, ieskaitot nulles leņķi pa labi. Kā redzams, 0 ° leņķim nav platuma vai atveres.

2. attēls. Leņķu veidi, ieskaitot nulles leņķi. Avots: Wikimedia Commons. Orias.

Nulles leņķu piemēri

Ir zināms, ka paralēlas līnijas savstarpēji veido nulles leņķi. Ja jums ir horizontāla līnija, tā ir paralēla Dekarta koordinātu sistēmas x asij, tāpēc tās slīpums attiecībā pret to ir 0. Citiem vārdiem sakot, horizontālām līnijām ir nulle slīpuma.

3. attēls. Horizontālajām līnijām ir nulles slīpums. Avots: F. Zapata.

Arī nulles leņķa trigonometriskās attiecības ir 0, 1 vai bezgalība. Tāpēc nulles leņķis ir daudzās fiziskās situācijās, kas saistītas ar operācijām ar vektoriem. Šie iemesli ir:

-s 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-sekund 0º = 1

-glikoze 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

Un tie būs noderīgi, lai analizētu dažus piemērus situācijām, kurās nulles leņķa klātbūtnei ir būtiska loma:

- nulles leņķa ietekme uz fizisko lielumu

Vektoru pievienošana

Ja divi vektori ir paralēli, leņķis starp tiem ir nulle, kā redzams 4.a attēlā. Šajā gadījumā abu summu veic, izvietojot vienu pēc otras, un summas vektora lielums ir papildinājumu magnitūdu summa (4.b attēls).

4. attēls. Paralēlo vektoru summa, šajā gadījumā leņķis starp tiem ir nulles leņķis. Avots: F. Zapata.

Ja divi vektori ir paralēli, leņķis starp tiem ir nulle, kā redzams 4.a attēlā. Šajā gadījumā abu summa tiek aprēķināta, izvietojot vienu pēc otras, un summas vektora lielums ir papildinājumu magnitūdu summa (4.b attēls).

Griezes moments vai griezes moments

Griezes moments vai griezes moments izraisa ķermeņa griešanos. Tas ir atkarīgs no pielietotā spēka lieluma un tā pielietošanas veida. Ļoti reprezentatīvs piemērs ir uzgriežņu atslēga attēlā.

Lai panāktu vislabāko pagrieziena efektu, spēks tiek pielikts perpendikulāri uzgriežņu atslēgas rokturim uz augšu vai uz leju, bet, ja spēks ir paralēls rokturim, rotācija nav gaidāma.

5. attēls. Ja leņķis starp pozīciju un spēka vektoriem ir nulle, griezes moments netiek ražots, un tāpēc nav griešanās efekta. Avots: F. Zapata.

Matemātiski griezes momentu τ definē kā vektora produktu vai šķērsproduktu starp vektoriem r (pozīcijas vektors) un F (spēka vektors) 5. attēlā:

τ = r x F

Griezes momenta lielums ir:

τ = r F sin θ

Θ ir leņķis starp r un F . Ja grēks θ = 0, griezes moments ir nulle, šajā gadījumā θ = 0º (vai arī 180º).

Elektriskā lauka plūsma

Elektriskā lauka plūsma ir skalārs lielums, kas atkarīgs no elektriskā lauka intensitātes, kā arī no tās virsmas orientācijas, caur kuru tā iziet.

6. attēlā ir apaļa virsma zonas A caur kuru elektriskā lauka līnijas E caurlaides . Virsmas orientāciju nosaka parastais vektors n . Kreisajā laukā un parastais vektors veido patvaļīgu akūtu leņķi θ, centrā tie veido nulles leņķi viens ar otru, un labajā pusē tie ir perpendikulāri.

Kad E un n ir perpendikulāri, lauka līnijas nešķērso virsmu un tāpēc plūsma ir nulle, savukārt, kad leņķis starp E un n ir nulle, līnijas pilnībā šķērso virsmu.

Elektriskā lauka plūsmas apzīmējums ar grieķu burtu Φ (lasīt “fi”), tā vienotā lauka definīcija, kā parādīts attēlā, izskatās šādi:

Φ = E • n A

Punkts abu vektoru vidū apzīmē punktveida produktu vai skalāru reizinājumu, ko alternatīvi definē šādi:

Φ = E • n A = EAcosθ

Treknraksts un bultiņas virs burta ir resursi, lai atšķirtu vektoru un tā lielumu, kas apzīmēts ar parastajiem burtiem. Tā kā cos 0 = 1, plūsma ir maksimāla, ja E un n ir paralēli.

6. attēls. Elektriskā lauka plūsma ir atkarīga no orientācijas starp virsmu un elektrisko lauku. Avots: F. Zapata.

Vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Divi spēki P un Q vienlaikus darbojas uz objekta X, abi spēki sākotnēji veido leņķi θ starp tiem. Kas notiek ar iegūtā spēka lielumu, kad θ samazinās līdz nullei?

7. attēls. Leņķis starp diviem spēkiem, kas iedarbojas uz ķermeni, samazinās, līdz tas tiek atcelts, un tādā gadījumā iegūtā spēka lielums iegūst tā maksimālo vērtību. Avots: F. Zapata.

Risinājums

Iegūtā spēka Q + P lielums palielinās pakāpeniski, līdz tas ir maksimālais, kad Q un P ir pilnīgi paralēli (7. attēls pa labi).

- 2. vingrinājums

Norādiet, vai nulles leņķis ir šāda trigonometriskā vienādojuma risinājums:

Risinājums

Trigonometriskais vienādojums ir tāds, kurā nezināmais ir daļa no trigonometriskās attiecības argumenta. Piedāvātā vienādojuma atrisināšanai ir ērti izmantot dubultā leņķa kosinusa formulu:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Tā kā šādā veidā arguments kreisajā pusē kļūst x, nevis 2x. Tātad:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

No otras puses, cos ² x + sin ² x = 1, tātad:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Termins cos ² x atceļ un paliek:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Tagad tiek veiktas šādas mainīgās izmaiņas: sinx = u un vienādojums kļūst:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Kuru risinājumi ir: u = 0 un u = -4. Atgriežot izmaiņas, mums būtu divas iespējas: sin x = 0 un sinx = -4. Šis pēdējais risinājums nav dzīvotspējīgs, jo jebkura leņķa sinuss ir no -1 līdz 1, tāpēc mums atliek pirmā alternatīva:

sin x = 0

Tāpēc x = 0º ir risinājums, bet darbojas arī jebkurš leņķis, kura sinuss ir 0, un tas var būt arī 180º (π radiāni), 360º (2 π radiāni) un arī attiecīgie negatīvi.

Trigonometriskā vienādojuma vispārīgākais risinājums ir: x = kπ, kur k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k vesels skaitlis.

Atsauces

1. Baldor, A. 2004. Plaknes un kosmosa ģeometrija ar trigonometriju. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Sērija: Fizika zinātnei un inženierijai. Sējums 3. Daļiņu sistēmas. Rediģēja Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Sērija: Fizika zinātnei un inženierijai. 5. sējums. Elektriskā mijiedarbība. Rediģēja Douglas Figueroa (USB).
4. Tiešsaistes matemātika. Leņķu veidi. Atgūts no: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, trigonometrija un analītiskā ģeometrija. McGraw Hill Interamericana.