Kas iezīmēts leņķis pa apli , ir tāda, kas ir virsotne uz apli un tās stari ir secant vai pieskare uz to. Rezultātā ierakstītais leņķis vienmēr būs izliekts vai plakans.
1. attēlā attēloti vairāki leņķi, kas ierakstīti to attiecīgajos apkārtmēros. Leņķi ∠EDF apzīmē ar tā virsotni D uz apkārtmēru un abiem stariem =.
Vienādsānu trīsstūrī leņķi, kas atrodas blakus pamatnei, ir vienādi, tāpēc ∠BCO = ∠ABC = α. No otras puses, ∠COB = 180º - β.
Ņemot vērā trīsstūra COB iekšējo leņķu summu, mums ir:
α + α + (180º - β) = 180º
No kā izriet, ka 2 α = β vai kas ir ekvivalents: α = β / 2. Tas piekrīt 1. teorēmas teiktajam: ierakstītā leņķa lielums ir puse no centrālā leņķa, ja abi leņķi pakļauj vienu un to pašu akordu.
Demonstrācija 1b
6. attēls. Papildu konstrukcija, lai parādītu, ka α = β / 2. Avots: F. Zapata ar Geogebra.
Šajā gadījumā mums ir ierakstīts leņķis ∠ABC, kurā apļa centrs O atrodas leņķa robežās.
Lai šajā gadījumā pierādītu 1. teorēmu, uzzīmējiet papildu staru) .push ({});
Līdzīgi centrālie leņķi β 1 un β 2 atrodas blakus minētajam staram. Tātad mums ir tādā pašā situācijā kā šova 1a, tāpēc var teikt, ka α 2 = β 2 /2 and a 1 = β 1 /2. Kā α = α 1 + α 2 un β = β 1 + β 2 ir tāpēc, ka α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / divi.
Noslēgumā α = β / 2, kas izpilda 1. teorēmu.
- 2. teorēma
7. attēls. Aprakstītie leņķi ar vienādu izmēru α, jo tie izliek vienādu loku A⌒C. Avots: F. Zapata ar Geogebra.
- 3. teorēma
Ierakstītie leņķi, kas pakļauj viena un tā paša mēra akordus, ir vienādi.
8. attēls. Ierakstītie leņķi, kas pakļauj vienāda izmēra akordus, ir vienādi ar β. Avots: F. Zapata ar Geogebra.
Piemēri
- 1. piemērs
Parādiet, ka apzīmētais leņķis, kas pakļauj diametru, ir taisns leņķis.
Risinājums
Centrālais leņķis ∠AOB, kas saistīts ar diametru, ir plaknes leņķis, kura izmērs ir 180º.
Saskaņā ar 1. teorēmu katram leņķim, kas ierakstīts perimetrā, kas pakļauj to pašu akordu (šajā gadījumā diametram), ir puse no centrālā leņķa, kas pakļauj to pašu akordu, kas mūsu piemēram ir 180º / 2 = 90o.
9. attēls. Katrs uzraksts, kas pakļauts diametram, ir taisns leņķis. Avots: F. Zapata ar Geogebra.
- 2. piemērs
Līnijas (BC) pieskare pie A pret apkārtmēru C nosaka ierakstīto leņķi ∠BAC (sk. 10. attēlu).
Pārliecinieties, vai ir izpildīta ierakstīto leņķu 1. teorēma.
10. attēls. Ierakstītais leņķis BAC un tā centrālais izliektais leņķis AOA. Avots: F. Zapata ar Geogebra.
Risinājums
Leņķis ∠BAC ir ierakstīts, jo tā virsotne atrodas uz perimetra, un tā malas [AB) un [AC) ir pieskares perimetram, tāpēc ierakstītā leņķa definīcija ir izpildīta.
No otras puses, apzīmētais leņķis ∠BAC pakļauj loka A⌒A, kas ir viss apkārtmērs. Centrālais leņķis, kas pakļauj loku A⌒A, ir izliekts leņķis, kura izmērs ir pilnais leņķis (360º).
Ierakstītais leņķis, kas izliek visu loku, mēra pusi no saistītā centrālā leņķa, tas ir, ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Ņemot vērā visu iepriekš minēto, tiek pārbaudīts, vai šis konkrētais gadījums atbilst 1. teorēmai.
Atsauces
- Baldor. (1973). Ģeometrija un trigonometrija. Centrālamerikas kultūras izdevniecība.
- EA (2003). Ģeometrijas elementi: ar vingrinājumiem un kompasa ģeometriju. Medeljinas Universitāte.
- Ģeometrija 1. ESO. Leņķi uz apkārtmēru. Atgūts no: edu.xunta.es/
- Visa zinātne. Piedāvātie vingrinājumi leņķiem apkārtmērā. Atgūts no: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Ierakstīts leņķis. Atgūts no: es.wikipedia.com