INERCES MOMENTS: FORMULAS, VIENĀDOJUMI UN APRĒĶINU PIEMĒRI - FIZISKĀ - 2025

Inerces moments no cieta ķermeņa attiecībā uz noteiktu rotācijas ass veido savu izturību, lai mainot tās leņķisko ātrumu ap teica asi. Tas ir proporcionāls masai un arī rotācijas ass atrašanās vietai, jo korpuss atkarībā no tā ģeometrijas var vieglāk griezties ap noteiktām asīm nekā citās.

Pieņemsim, ka lielam objektam (kas sastāv no daudzām daļiņām), kas var griezties ap asi. Pieņemsim, ka spēks F iedarbojas tangenciāli uz masas elementu Δm _i , kas rada griezes momentu vai momentu, ko izsaka τ _neto = ∑ r _i x F _i . Vektors r _i ir Δm _i novietojums (skat. 2. attēlu).

1. attēls. Dažādu figūru inerces momenti. Avots: Wikimedia Commons.

Šis moments ir perpendikulārs griešanās plaknei (virziens + k = atstājot papīru). Tā kā spēks un radiālā stāvokļa vektors vienmēr ir perpendikulāri, šķērsprodukts paliek:

τ _neto = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

2. attēls. Daļiņa, kas rotācijas laikā pieder stingrai cietai daļai. Avots: Serway, R. 2018. Fizika zinātnei un inženierijai. Sējums 1. Cengage mācīšanās.

Paātrinājums a _i apzīmē paātrinājuma tangenciālo komponentu, jo radiālais paātrinājums neveicina griezi. Kā leņķiskā paātrinājuma α funkciju mēs varam norādīt, ka:

Tāpēc neto griezes moments izskatās šādi:

τ _neto = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Leņķiskais paātrinājums α ir vienāds visam objektam, tāpēc to neietekmē indekss “i” un tas var atstāt summēšanu, kas ir precīzs objekta inerces brīdis, ko simbolizē burts I:

Šis ir diskrēta masas sadalījuma inerces brīdis. Ja sadalījums ir nepārtraukts, summēšanu aizvieto ar integrālu un Δm kļūst par masas starpību dm. Integrāls tiek veikts visā objektā:

Inerces momenta vienības SI Starptautiskajā sistēmā ir kg xm ² . Tas ir skalārs un pozitīvs lielums, jo tas ir masas un attāluma kvadrāta reizinājums.

Aprēķinu piemēri

Pagarināts objekts, piemēram, josla, disks, lode vai cits, kura blīvums ρ ir nemainīgs, un zinot, ka blīvums ir masas un tilpuma attiecība, masas starpību dm uzraksta šādi:

Inerces brīdi aizstājot ar integrālu, mums ir:

Šī ir vispārēja izteiksme, kas derīga trīsdimensiju objektam, kura tilpums V un pozīcija r ir telpisko koordinātu x, y un z funkcijas. Ņemiet vērā, ka blīvums ir nemainīgs, un tas ir ārpus integrala.

Blīvumu ρ sauc arī par tilpuma blīvumu, bet, ja objekts ir ļoti līdzens, piemēram, loksne vai ļoti plāns un šaurs kā stienis, var izmantot arī citas blīvuma formas, redzēsim:

- Ļoti plānai loksnei izmantojamais blīvums ir σ, virsmas blīvums (masa uz laukuma vienību) un dA ir laukuma atšķirība.

- Un, ja tas ir plāns stienis, kur attiecas tikai garums, tad izmanto lineāro masas blīvumu λ un garuma starpību atbilstoši asij, kuru izmanto kā atskaites punktu.

Turpmākajos piemēros visi objekti tiek uzskatīti par stingriem (nav deformējami) un ar vienādu blīvumu.

Plānas joslas inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tās centru

Šeit mēs aprēķināsim plānas, stingras, viendabīgas stieņa, kura garums ir L un masa M, inerces momentu attiecībā pret asi, kas iet caur barotni.

Pirmkārt, ir jāizveido koordinātu sistēma un jāizveido figūra ar atbilstošu ģeometriju, piemēram:

3. attēls. Ģeometrija plānas stieņa inerces momenta aprēķināšanai attiecībā pret vertikālo asi, kas iet caur tās centru. Avots: F. Zapata.

Par griešanās asi tika izvēlēta x ass gar joslu un y ass. Integrālā principa noteikšanas procedūra prasa arī masas diferenciāla izvēli uz stieņa, ko sauc par dm, kam ir diferenciālais garums dx un tas atrodas patvaļīgā stāvoklī x attiecībā pret centru x = 0.

Saskaņā ar lineārā masas blīvuma λ definīciju:

Tā kā blīvums ir vienmērīgs, kas ir derīgs M un L, tas ir derīgs arī dm un dx:

No otras puses, masas elements atrodas x stāvoklī, tāpēc, aizstājot definīciju ar šo ģeometriju, mums ir noteikts integrālis, kura robežas ir joslu gali atbilstoši koordinātu sistēmai:

Aizvietojot lineāro blīvumu λ = M / L:

Lai atrastu stieņa inerces momentu attiecībā pret citu rotācijas asi, piemēram, tādu, kas iet caur vienu no tās galējībām, varat izmantot Šteinera teorēmu (sk. Uzdevuma atrisinājumu beigās) vai veikt tiešu aprēķinu, kas līdzīgs parādītajam. šeit, bet atbilstoši modificējot ģeometriju.

Diska inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tās centru

Ļoti plāns mazs izmēra disks ir plakana figūra. Ja masa ir vienmērīgi sadalīta pa visu A apgabala virsmu, masas blīvums σ ir:

Gan dm, gan dA atbilst diferenciālā gredzena masai un laukumam, kas parādīts attēlā. Mēs pieņemsim, ka viss mezgls griežas ap Y asi.

Jūs varat iedomāties, ka disku veido daudzi koncentriski gredzeni ar r rādiusu, katrs ar savu inerces momentu. Pievienojot visu gredzenu ieguldījumus līdz rādiusa R sasniegšanai, mums būs kopējais diska inerces moments.

4. attēls. Ģeometrija diska inerces momenta aprēķināšanai attiecībā pret asu asi. Avots: F. Zapata.

Kur M apzīmē visu diska masu. Diska laukums ir atkarīgs no tā rādiusa r kā:

Kas izriet no r:

Aizstājot iepriekšminēto I definīcijā:

Aizvietojot σ = M / (π.R ² ), iegūstam:

Cietas sfēras inerces moments ap diametru

R rādiusa R sfēru var uzskatīt par disku sēriju, kas ir sakrautas viena virs otras, kur katram diskam ar bezgalīgu masu dm, rādiusu r un biezumu dz ir inerces moments, ko piešķir:

Lai atrastu šo diferenciāli, mēs vienkārši paņēmām formulu no iepriekšējās sadaļas un attiecīgi aizstājām M un R ar dm un r. Šādu disku var redzēt 5. attēla ģeometrijā.

5. attēls. Ģeometrija, lai aprēķinātu R rādiusa cietas sfēras inerces momentu attiecībā pret asi, kas iet caur diametru. Avots: F. Zapata.

Pieskaitot visus bezgalīgi mazos salikto disku inerces momentus, iegūst sfēras kopējo inerces momentu:

Kas ir līdzvērtīgs:

Lai atrisinātu integrālu, jums ir nepieciešams pareizi izteikt dm. Kā vienmēr, to panāk ar blīvumu:

Diferenciālā diska tilpums ir:

Diska augstums ir biezums dz, savukārt pamatnes laukums ir πr ² , tāpēc:

Aizstājot piedāvāto integrāli, tas izskatās šādi:

Bet pirms integrēšanas ir jāņem vērā, ka r – diska rādiuss ir atkarīgs no z un R –lodes rādiusa, kā redzams 5. attēlā. Izmantojot Pitagora teorēmu:

Kas mūs ved pie:

Lai integrētos visā sfērā, jāņem vērā, ka z mainās starp –R un R, tāpēc:

Zinot, ka beidzot tiek iegūts ρ = M / V = ​​M / pēc vienkāršošanas:

Cieta cilindra inerces moments attiecībā pret asu asi

Šim objektam tiek izmantota metode, kas līdzīga sfērai izmantotajai, tikai šoreiz ir vieglāk, ja iedomājas, ka cilindru veido cilindriskas čaulas ar rādiusu r, biezumu dr un augstumu H, it kā tās būtu sīpola kārtas. .

6. attēls. Ģeometrija, lai aprēķinātu cietā cilindra R rādiusa inerces momentu attiecībā pret asu asi. Avots: Serway, R. 2018. Fizika zinātnei un inženierijai. 1. sējums. Cengage.

Cilindriskā slāņa tilpums dV ir:

Tāpēc čaumalas masa ir:

Inerces momenta definīcijā tiek aizstāts šis izteiciens:

Iepriekš minētais vienādojums norāda, ka balona inerces moments nav atkarīgs no tā garuma, bet tikai no masas un rādiusa. Ja L mainītos, inerces moments ap aksiālo asi paliktu tāds pats. Šī iemesla dēļ cilindra I sakrīt ar iepriekš aprēķinātā plānā diska vērtību.

Taisnstūra loksnes inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tās centru

Par griešanās asi ir izvēlēta horizontālā y ass. Zemāk redzamajā attēlā parādīta integrācijai nepieciešamā ģeometrija:

7. attēls. Ģeometrija taisnstūrveida plāksnes inerces momenta aprēķināšanai attiecībā pret asi, kas ir paralēla loksnei un iet caur tās centru. Avots: F. Zapata.

Laukuma elements, kas apzīmēts ar sarkanu, ir taisnstūrveida. Tā platība ir pamatne x augstums, tāpēc:

Tāpēc masas starpība ir:

Runājot par attālumu no apgabala elementa līdz rotācijas asij, tas vienmēr ir z. Mēs to visu aizstājam ar inerces momenta integrālu:

Tagad virsmas masas blīvumu σ aizstāj ar:

Un tas noteikti izskatās šādi:

Ņemiet vērā, ka tā ir kā plānā josla.

Kvadrātveida loksnes inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tās centru

Kvadrātam ar L malu iepriekšējā izteiksmē, kas bija piemērota taisnstūrim, vienkārši aizstājiet b vērtību ar L:

Inerces teorēmu brīdis

Ir divas īpaši noderīgas teorēmas, lai vienkāršotu inerces momentu aprēķināšanu attiecībā pret citām asīm, kuras citādi varētu būt grūti atrast simetrijas trūkuma dēļ. Šīs teorēmas ir:

Šteinera teorēma

Saukta arī par paralēlu asu teorēmu, tā inerces momentu attiecībā pret asi saista ar citu, kas iet caur objekta masas centru, ja asis ir paralēlas. Lai to piemērotu, ir jāzina attālums D starp abām asīm un, protams, objekta masa M.

Ja I _z ir objekta inerces moments, kas pagarināts attiecībā pret z asi, I _CM inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur minētā objekta masas centru (CM), ir pārliecināts, ka:

Vai arī ar šāda attēla piezīmi: I _{z '} = I _z + Md ²

8. attēls. Šteinera teorēma vai paralēlas asis. Avots: Wikimedia Commons. Džeks See

Perpendikulāru asu teorēma

Šī teorēma tiek piemērota plaknes virsmām un iet šādi: plakana objekta inerces moments ap asi, kas ir perpendikulāra tai, ir inerces momentu summa ap divām asīm, kas ir perpendikulāras pirmajai asij:

9. attēls. Perpendikulāru asu teorēma. Avots: F. Zapata.

Ja objektam ir tāda simetrija, ka I _x un I _y ir vienādi, tad ir taisnība, ka:

Vingrinājums atrisināts

Atrodiet stieņa inerces momentu attiecībā pret asi, kas iet caur vienu no tās galiem, kā parādīts 1. attēlā (zemāk un pa labi) un 10. attēlā.

10. attēls. Viendabīga stieņa inerces moments ap asi, kas iet caur vienu galu. Avots: F. Zapata.

Risinājums:

Mums jau ir joslas inerces moments ap asi, kas iet caur tās ģeometrisko centru. Tā kā josla ir viendabīga, tajā brīdī atrodas tās masas centrs, tāpēc šis būs mūsu I _CM, lai piemērotu Šteinera teorēmu.

Ja joslas garums ir L, z ass atrodas attālumā D = L / 2, tāpēc:

Atsauces

1. Bauers, W. 2011. Fizika inženierzinātnēm un zinātnēm. 1. sējums. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rekss, A. 2011. Fizikas pamati. Pīrsons. 190-200.
3. Paralēlā ass teorēma. Atgūts no: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fizika zinātnei un inženierijai. 1. sējums. Cengage.
5. Seviļas universitāte. Sfērisko cietvielu inerces moments. Atgūts no: laplace.us.es.
6. Seviļas universitāte. Daļiņu sistēmas inerces moments. Atgūts no: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Paralēlas ass teorēma. Atgūts no: en.wikipedia.org